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Outils mathématiques

 

Débutants

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Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Applications

>>> Définition

>>> English corner

 

 

 

 

 

MATRICES – Introduction

 

Tableau de nombres qui devient un objet mathématique avec ses propriétés propres.

 

Matrice 3 x 3 avec numérotation des éléments    

 

C'est le mathématicien anglais James Sylvester qui introduit ce nom en 1850 et en développe la théorie.

 

 

 

APPROCHE

Il est parfois plus simple de faire un tableau plutôt qu'une énumération

 

Dans ce cas, avec ses lignes et colonnes, le tableau est pratique pour effectuer des sommes, des statistiques.

 

Données

 

Famille A:   2 adultes,  1 garçon    et 1 fille

Famille B:   2 adultes,  3 garçons  et 1 fille

Famille C:   1 adulte,    0 garçon   et 1 fille

Famille D:   4 adultes,  2 garçons  et 4 filles

 

Mise en tableau

 

 

Adultes

Garçons

Filles

A

2

1

1

B

2

3

1

C

1

0

1

D

4

2

4

Tableau des composition familiale

 

Il est des cas où ce tableau représente des valeurs liées entre-elles

Le tableau de nombres devient un objet mathématique à part entière, une matrice.

Comme un simple nombre, ce tableau, dispose de propriétés arithmétiques, précieuses pour effectuer des calculs globalement et systématiquement.

Données

5x + 3y – 5z + 21 = 0

8x + 6y + 2z    4 = 0

2x – 4y – 3z +   2 = 0

Mise en tableau

5

3

- 5

21

8

6

2

- 4

2

- 4

- 3

2

Matrice du système d'équations

Résolution par la méthode des déterminants

Les matrices font partie des outils mathématiques

Elles forment des entités globales, disposant de propriétés propres et de règles de calcul.

Elles sont pratiques car elles donnent le moyen d'effectuer des opérations sur des tableaux de nombres, chacun considéré comme un objet (analogie avec le langage objet en programmation).

Une fois adoptées, il est inutiles de re-décrire les opérations élémentaires à chaque fois que l'on utilise de tels tableaux de nombres.

 

 

 

 

APPLICATIONS

*    Résolution des systèmes d'équations linéaires.

 

*    Changement d'axes dans l'espace, images calculées en 3D. Et, d'une manière générale, transformation géométriques: translation, rotation, symétrie …

 

*    Calculs sur les nombres hypercomplexes

 

*    Application à la résolution de graphes (recensement du nombre d'arêtes sur un sommet)

 

*    Mécanique quantique

 

*    Etc.

 

*    Plus généralement, les matrices permettent une systématisation d'opérations qui se prêtent facilement au calcul automatique (algorithmique)

 

Illustration (purement indicative)

Axes%203D

 

Extrait de Virtual Reality – John Vince – Pearson Education – 1995

 

 

 

 

DÉFINITIONS

 

Matrice à n lignes et p colonnes

 

Usuel

Tableau rectangulaire de nombres disposés suivant n lignes et p colonnes, n et p pouvant être égaux (matrice carrée)

 

Maths (pour initiés)

1) On appelle matrice à n lignes et p colonnes, possédants n x p éléments (ou coefficients) dans K, une application de (1, ... , n) x (1, … , p) dans K

 

2) Soient n et p deux entiers naturels non nuls et les ensembles I = {1, 2, …, n} et J = {1, 2, …, p}. On appelle matrice à n lignes et p colonnes à éléments dans un corps commutatif K ou matrice (n,p) une application M de I x J dans K

L'image du couple (i,j) se note aij et s'appelle un élément de la matrice M

(Selon Dictionnaire des mathématiques – puf)

 

Matrices particulières

 

Matrice colonne:(ou vecteur-colonne ou unicolonne) si p = 1

Matrice ligne (ou vecteur-ligne ou uniligne) si n = 1

 

Matrice carrée: Si même quantité de lignes et de colonnes (n= p). C'est une matrice d'ordre n

Les éléments en aii forment la diagonale

Il existe 3 matrices carrées d'ordre 2 et 45360 d'ordre 3

 

Autres types de matrices >>>

 

 

Notation linéaire

 

 

 

Représentation par un tableau

bordé par deux segments (droits ou crochets)

 

Dénominations

 

*      Matrice de dimension, taille ou format (n,p) .

*      Matrice à n lignes et p colonnes

*      n et p sont les dimensions de la matrice

 

*      Formée des éléments (termes ou coefficients) ai j

 

*      Déterminants >>>

 

NB

La matrice est notée en lettre majuscule; ses éléments en minuscules, doublement indexés.

Avec plus de deux dimensions la matrice est appelée tenseur

 

 

 

ENGLISH CORNER

A matrix is an ordered set of numbers listed rectangular form.

*   With a matrix having three rows and four columns, we say it is a 3 x 4 matrix.

*   We denote the element on the i row and j column with a i,j

 

 

If a matrix has n rows and n columns then we say it's a square matrix.

 

A matrix, several matrices

Row;  Row-matrix

Column; Column-matrix

Square matrix

Diagonal matrix

Identity matrix

Determinant

The transpose of a matrix

The inverse of a matrix

Simultaneous equations

 

 

En anatomie

La matrice au sens utérus se dit womb.

 

 

 

 

 

Suite

*         Addition des matrices

*         Historique

Voir

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*         Matrices et nombres complexes

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Sites

*         Matrice (mathématiques) – Wikipédia

*         Matrice (types de -) – BibMAths

*           Matrixfrom Wolfram MathWorld

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http://villemin.gerard.free.fr/Referenc/Outils/Outils/Matrice/Intro.htm