NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Matrice 2 x 2

 

 

 

 

 

MATRICES – Inversion

 

Un produit de deux matrices qui donne la matrice identité.

M x M' = I

 

 

APPROCHE

 

On sait trouver deux nombres qui multipliés entre eux donne l'unité.

 

Peut-on faire la même chose avec une matrice?

Une multiplication de deux matrices qui donne la matrice identité.

 

 

Oui, mais pas toujours!

La matrice doit être carrée.

Le déterminant doit être non nul.

La seconde matrice est appelée l'inverse de la première.

 

 

2 x 1/2 = 1

5 x 0,2 = 1

 

 

a

b

x

u

v

=

1

0

c

d

w

t

0

1

 

 

 

 

3

5

x

7

-5

=

1

0

4

7

-4

3

0

1

 

Matrice              Son inverse     Matrice identité

 

 

 

MATRICE 2 x 2

 

Comment calculer l'inverse d'une matrice?

 

Le truc est de calculer son déterminant.

 

et de diviser chaque coefficient par ce déterminant en les plaçant dans un ordre bien particulier: intervertir a et d , puis prendre le négatif de b et c.

 

 

D = ad - bc

 

 

a

b

x

d/D

-b/D

=

1

0

c

d

-c/D

a/D

0

1

 

 

 

 

 

Exemple

 

Calcul du déterminant.

Calcul des coefficients de la matrice inverse.

 

 

 

3

5

x

7/1

-5/1

=

1

0

4

7

-4/1

3/1

0

1

D = 3x7 – 5x4 = 21 – 20 = 1

 

 

 

 

Autres exemples

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Note

Il est rare de trouver une matrice et son inverse à coefficients entiers ayant un déterminant autre que 1 ou -1

 

1

2

x

-2

1

=

1

0

3

4

3/2

-1/2

0

1

D = 1x4 – 2x3 = -2

 

1

0

x

1

0

=

1

0

0

1

0

1

0

1

D = 1x1 – 0x0 = 1

 

1

1

x

1

-1

=

1

0

0

1

0

1

0

1

D = 1x1 – 0x1 = 1

 

 

 

100

22

x

1

-11

=

1

0

9

2

-9/2

50

0

1

D = 100x2 – 22x9 = 2

 

 

 

 

 

 

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