NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 11/11/2014 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique
	ALGÈBRE
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INDEX Structures algébriques	Équations – Général		Équations 2^e degré	Équations 3^e degré (1/2)
	Racines cubiques de a			Équations 3^e degré (2/2)
		Sommaire de cette page >>> Principe de la démonstration >>> Coefficients et racines >>> Recherche de symétrie >>> Solutions

Équations du troisième degré

Recherche des solutions

(1/2)

Nous avons vu le cas du deuxième degré: résolution par la méthode de Lagrange introduisant les symétries. Trouver le cas de symétries avec le troisième degré ne sera pas si simple … du moins la série de calculs algébriques est copieuse, mais sans grande difficulté pour qui maîtrise les identités remarquables.

Galois et la première apparition de la notion de Groupe

"Soit une équation donnée, dont a, b, c, …, sont les m racines. Il y aura toujours un groupe de permutations des lettres a, b, c, …, qui jouira de la propriété suivante:

1) que toute fonction des racines, invariante par les substitutions de ce groupe, soit rationnellement connue;

2) réciproquement, que toute fonction des racines, déterminée rationnellement, soit invariante par ses substitutions."

Évariste Galois (1811-1832) qui prouva que

les équations de degré 5 ou plus n'ont pas de solution avec radicaux.

Principes (étapes) de la démonstration
Tableau de marche pour suivre la démonstration. Il montre essentiellement la valse de changement de variables. Ne cherchez pas à comprendre tout maintenant. Vous reviendrez au tableau lors de l'exploration de la démonstration détaillée. Principe du changement de variable et de la descente vers le deuxième degré Étapes de calcul
Degré	Variable	Coef.	Opérations	Résumé
3	x	a	Coefficients = f(Racines).	ai = f(xj)
	y		Fonctions symétriques en y. Introduisant la rotation du tiers de tour (j et j²). Choix de y1y2 et y1^3 + y2^3 (symétriques).	yi = f(xj)
	y	a	Expression en fonction des coefficients connus.	yi = f(aj)
2	Y = y^3	a	Équation du deuxième degré en Y.	Yi = f(aj)
	X = x + a1/3	pq	Équation en X sans terme du deuxième degré.	Xi = f(p,q)
	Y	pq	Expression en fonction des coefficients connus.	Yi = f(p,q)
	X	y	Valeurs de X en fonction de y en réutilisant les propriétés des fonctions symétriques.	Xi = f(yj)
	X	pq	Expression avec les valeurs calculées de Y donc de y en fonction de p et q.	Xi = f(p,q)
	x	a	Calcul avec x = X – a1/3 et (p, q) remplacés par leur valeur.	xi = f(aj)

Démonstration détaillée

Coefficients et racines
Équation générale classique. Avec indices et normalisation (division par a).	ax^3 + bx^2 + cx + d = 0
Factorisation avec ses trois racines.
Égalisation coefficients à coefficients

Recherche de symétrie
Nous choisissons les fonctions y en introduisant les racines cubiques complexes de l'unité: 1, j et j^2. Sorte de rotation par tiers de tour. (Revoir le cas du deuxième degré)
Recherche des combinaisons symétriques. On choisit le produit des deux premiers et la somme de leur cube. Calculs en tenant compte des propriétés de j et j^2 (En particulier: 1 + j + j² = 0).	Ces deux fonctions sont symétriques en xi (la permutation des x ne change pas la valeur des y).
Notation pour simplification (Indice indique la quantité de facteurs puis la puissance impliquée).
Nous devons calculer ces valeurs en fonction des a. Elles sont présentes dans certaines identités remarquables.
Retour sur les y en fonction des coefficients de l'équation. Ceci est faisable, car on démontre que tout polynôme symétrique permet ce calcul ne faisant intervenir que les coefficients.	)

Page créée d'après le site indiqué de Jan Nekovar

Suite	Page 2/2 de cette démonstration
Voir	Calcul – Index Équation du troisième degré – Résolution
Site	Introduction à la théorie de Galois et la géométrie algébrique par Jan Nekovar. Le texte se poursuit avec: le quatrième degré, les polynômes symétriques, le corps des racines d'équations, Groupes de Galois, résolution ou non des équations par radicaux.
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Referenc/Outils/Outils/Structur/Equat3.htm