NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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ALGÈBRE

 

Débutants

Structure

Structures algébriques

 

Glossaire

Ensemble

 

 

INDEX

Structures algébriques

Débutant

Morphisme – Transformations

Morphisme – Comparaison

 

Sommaire de cette page

>>> Premier ensemble

>>> Deuxième ensemble

>>> Comparaison

 

 

 

MORPHISME

vue par son résultat

 

La notion de morphisme, c'est la définition d'une sorte d'égalité entre ensembles. Quand peut-on affirmer que deux ensembles sont "égaux en morphologie"? Quelle est la fonction (l'application) qui permet cela?

La table de Cayley, montrant le résultat de l'application sous forme de tableau, sera l'outil de comparaison. La table est en quelque sorte l'empreinte digitale du morphisme.

 

 

Premier ensemble (départ)

 

*    Un ensemble:

 

*    Une application bijective:

C'est une rotation des nombres d'un cran ou permutation circulaire d'un pas.

 

E0 =  {0, 1, 2, 3}

 

f(0) = 1

f(1) = 2

f(2) = 3

f(3) = 0


f(E0) = E1 =  {1, 2, 3, 0}

 

 

*    En appliquant une nouvelle fois la rotation d'un cran

C'est une rotation de deux crans.

 

 

g = ff = f(E1) = f(f(E0)) =  {2, 3, 0, 1}

 

*    Encore un cran

C'est une rotation de trois crans.

 

 

h = fff =  fg =  {3, 0, 1, 2}

 

*    Et pour finir, nous retrouvons l'ensemble de départ.

 

 

k = ffff =  fh =  {0, 1, 2, 3 }

  = e (transformation identité)

 

*    Table de Cayley de la composition de ces quatre applications.

 

 

Deuxième ensemble (arrivée)

 

*    Un ensemble:

 

*    Une application bijective: la multiplication de ces nombres.

On voit venir la rotation autour du cercle complexe …

 

 

E0 =  {1, i, -1, -i}

 

1 x i = i

1 x – i = – i

etc.

 

*    Table de Cayley ou de multiplication de ces quatre nombres

 

 

Comparaison

 

*    Les deux tables ont un grand air de ressemblance. C'est un isomorphisme

 

L'application isomorphique qui fait passer d'un ensemble à l'autre est facile à définir:

 

(e) =   1

(f) =    i

(g) = – 1  

(h) = – i  

 

 

 

 

Retour

*         Morphisme (1/2)

Suite

*         Table de Cayley

*         Bijection

*         Vocabulaire des structures algébriques

Voir

*         Calcul – Index

*         Transformation du boulanger

Livre / Site

*         Mathématiques L1 – Pearson Education – 2007

Accès sur Google book >>>   Allez en page 201 Structure de groupe.
Livre très clair pour une niveau supérieur!

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http://villemin.gerard.free.fr/Referenc/Outils/Outils/Structur/MorphisT.htm