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		Sommaire de cette page >>> Approche >>> Morphisme de groupe >>> Exemples simples >>> Exemples : logarithme et exponentielle >>> Exemples avancés >>> Propriétés >>> Types de morphismes >>> Isomorphisme >>> Anglais

MORPHISME

Imaginez: le produit des puissances qui se transforme en somme des exposants: e^x . e^y = e^{x + y}. Il s'agit d'une sorte de morphing qui transforme les multiplications en additions. (Je veux voir tout de suite)

Deux façons de voir:

Vision de l'action: un morphisme est la transformation d'un ensemble en un autre telle qu'elle conserve les règles de calcul dans chacun de ces ensembles. Objet de cette page.

Vision du résultat: la notion de morphisme, c'est la définition d'une sorte d'égalité entre ensembles. Quand peut-on affirmer que deux ensembles sont "égaux en morphologie"? Quelle est la fonction qui permet cela? Voir page suivante.

Le concept est relativement compliqué dans sa généralité et cela pour permettre de nombreuses possibilités. Nous allons nous focaliser sur les ensembles qui ont une structure de groupe. Ce qui est le cas le plus fréquent pour nous qui cherchons simplement à aborder le sujet. Les autres cas seraient les anneaux, corps, espaces vectoriels, etc.

Approche

Morphisme rappelle le mot morphologie ou morphing tous ces mots venant du grec morphé, la forme. Morphologie: étude des formes et des structures externes des animaux. Comparaison de la morphologie des femmes pour déterminer le type de vêtement qui convient le mieux. On rencontre ainsi les sept morphologies suivantes : Le Sablier, le Huit, le Rond, le Rectangle, le Triangle, le Trapèze et le Mixte. Elles sont définies selon la largeur des épaules, celle de la poitrine, celle de la taille et celle des hanches. Site: Illustration des autres formes Morphing: déformation progressive d'une image (d'un objet) pour en donner une toute autre. Site: autres exemples Morphisme en mathématique: une application (fonction, opération) passant d'un ensemble E à un autre F tout en laissant intactes les propriétés respectives des deux ensembles. L'opération logarithme ne dérange pas la manière de jouer dans chacun des ensembles.

Morphisme de groupe

Nous connaissons la loi de composition interne à un ensemble. Chaque groupe possède la sienne. Nous allons ajouter une application (sorte de loi de composition externe) de l'un des ensembles vers l'autre. Situation: Un groupe G et sa loi de composition interne, notée ; Un groupe H et sa loi de composition interne, notée ; Une application f de G H. Cette application f est un morphisme si: Quels que soient x et y appartenant chacun à G (on note G^2), le groupe de départ; Le nouvel élément crée étant dans H). f(x*y) est l'opération dans G et f(x) f(y) est l'opération dans H. Comme, par exemple: log(a . b) = log(a) + log(b) ou encore e^x + y = e^x . e^y Illustration

Exemples simples

Exemple 1 - Identité Soit f l'application: f(x) = e pour tout x de l'ensemble G. L'élément e est l'élément neutre ou identité. L'application ramène tous les x à e, comme le fait la multiplication par 0 pour tous les nombres. f(x * y) = f(z) = e f(x) * f(y) = e * e = e L'application conserve la structure, c'est un morphisme de groupe. c'est un morphisme d'un ensemble sur lui-même, c'est un endomorphisme. Exemple 2 - Lui-même Soit f l'application: f(x) = x pour tout x de l'ensemble G. L'application pourrait être la multiplication par 1 sur les nombres. f(x * y) = f(z) = x * y f(x) * f(y) = x * y L'application conserve la structure, c'est un endomorphisme de groupe. Exemple 3 - Facteur avec l'addition (Z est l'ensemble des entiers relatifs) Soit f l'application: f(n) = 2n (multiplication par 2) f(n * m) = 2 (n + m) f(n) * f(m) = 2n + 2m = 2(n + m) L'application conserve la structure, c'est un endomorphisme de groupe. Formalisation à partir de cet exemple Soit . La fonction définie par f(n) = k.n est un endomorphisme de groupe car: Exemple 4 - Puissance de deux Application f de définie par f(n) = 2^n La fonction puissance de 2 est un morphisme de groupe, comme la puissance de a.

Voir Notation des ensembles de nombres

Merci à Amandine B. pour ses remarques

Exemple

Considérons tous les couples de nombres (x, y) qui forment un ensemble muni de deux opérations:

addition: (x, y) + (u, v) = (x + u, y + v)

multiplication scalaire: a (x, y) = (ax, ay)

Soit une forme linéaire telle que: 2x + 3y

Alors, les opérations sont préservées :

addition: 2(x + u) + 3(y + v) = (2x + 3y) + (2u + 3v)

multiplication scalaire: 2ax+ 3ay = a(2x + 3y)

C'est donc un morphisme:

L'image de la somme est la somme des images

L'image du produit par a est le produit de l'image par a.

En effet et par exemple:

image (1, 1) = 2x1 + 3x1 = 5

image (1, 4) = 2x1 + 3x4 = 14; leur somme: 5 + 14 = 19

image (1, 1) + (1, 4) = image (2, 5) = 2x2 + 3x5 = 19

Exemple donné par Gerald Tenenbaum dans Des mots et des maths – Odile Jacob

Exemples logarithme et exponentielle

Pour une approche Autrefois, faire une multiplication, cela prenait un temps fou. Et puis un jour, Neper fit un parallèle entre ces deux listes: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 …. (progression arithmétique) 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 ….(progression géométrique) On aurait aussi pu prendre: 1 10 100 1000 10 000 100 000… Si on additionne deux éléments de la ligne du haut, par exemple 2 + 3 = 5 alors les éléments de la ligne du bas se multiplient entre eux, ici 4 × 8 = 32 (ou 100 * 1000 = 100 000 dans l'autre version) Alors, si je veux multiplier deux nombres de la ligne du bas, je choisis les nombres de la ligne du haut qui correspondent, je les additionne puis je regarde le nombre de la ligne du bas qui correspond. En systématisant, on dispose des premières tables de logarithme. Il s’agit du premier homomorphisme de l’histoire de l’humanité. Il établit une correspondance entre la multiplication et l’addition permettant de passer de l’un à l’autre. Un endomorphisme est notion un peu plus abstraite. On essaie de trouver une correspondance entre une loi et … elle-même. Disons, qu’en algèbre linéaire, les endomorphismes, c’est juste la règle de trois, généralisée et raffinée. Tellement raffinée que cela donne des outils puissants, les matrices, qu’on retrouve partout dans les sciences de la nature. Exemple 5 - Logarithme népérien (Le + indique: limité aux nombres positifs et élimine le 0.) Le logarithme népérien est un morphisme de groupe, comme le log décimal, d'ailleurs. Exemple 6 - Exponentielle en complexe La fonction exponentielle est un morphisme de groupe.

Voir Logarithme / Exponentielle / Complexe

Exemples avancés

Exemple 7 - Fonction inverse Application f : définie par f(x) = x^-1 G est un groupe abélien (commutatif) Cette application est un morphisme de groupe. Exemple 8 - Exponentielle sur le groupe des unités U L'ensemble des unités (ou plus exactement le groupe des unités de ), c'est l'ensemble de tous les nombres complexes ayant pour module 1. Les points représentatifs sont sur le cercle unité. L'application considérée est: (rotation d'un angle t sur le cercle unité) Cette fonction est un morphisme de groupe. L'application f(z) = z½ (module du nombre complexe z) de est un morphisme de groupe dont le noyau est . Le noyau est le sous-ensemble de tous les éléments du groupe de départ qui sont envoyés sur l'élément neutre du groupe d'arrivée Exemple 9 - Symétries G = S3 avec les symétries du triangle Rotations {123, 231, 312}, et Réflexions {213, 132, 321} H = { } avec la multiplication Soit f l'application: S(x) = 1 si 1 rotation S(x) = -1 si 1 réflexion S(123, 231) = S(231 ) = 1 et S(123) . S (213) = 1 x 1 = 1 S(231, 213) = S(321) = -1 et S(313) . S (213) = 1 x -1 = -1 Etc. L'application conserve la structure, c'est un morphisme de groupe

Propriétés du morphisme de groupe
Le morphisme respecte les structures de départ et d'arrivée. L'élément neutre eG du groupe de départ G devient l'élément neutre eH du groupe d'arrivée H: f(eG) = eH L'inverse d'un élément se retrouve en tant qu'inverse de l'élément transformé: Puissance Transitivité des morphismes de groupe: Si , alors

Types de morphismes
Du général au particulier:

Isomorphisme

Définition Homomorphisme avec f une bijection (correspondance un à un). Morphisme admettant un inverse qui est lui-même un morphisme. Dans ce cas les éléments de G sont tous envoyés vers H et de même dans l'autre sens. On se souvient que le préfixe ISO veut dire égal en grec. Exemple 1 – Exponentielle et logarithme (Voir exemple de l'homomorphisme) avec l'addition et avec la multiplication Soit f l'application: f(x) = e^x 1) Elle est bijective Pour tout x, f(x) = e^x est défini. Son inverse, g(x) = ln(x) est aussi défini sur R strictement positif. 2) f(x + y) = e^x + y f(x) . f(y) = e^x . e^y = e^x + y L'application est bijective et elle conserve la structure, c'est un isomorphisme de groupe. Exemple 2 – Rotation quart de tour et nombres complexes (Voir page 2 sur les morphimes) En comparant leur table de Cayley, deux groupes sont isomorphes si les éléments de l'un s'obtiennent par permutations des éléments de l'autre.

Exemple de figures isomorphiques

Voir Isomorphe – DicoMot Maths, Graphes isomorphes, Graphes isomorphes à cinq sommets

English corner
Let G and H be groups and let f : G H a mapping from G into H. If for all x, y G then f is called a (group) homomorphism.

Remarque de notation – Simplification d'écriture

Si G est un groupe et a et b appartiennent à ce groupe: l'application ab est parfois appelée multiplication et notée a.b et même simplement ab. Alors l'élément neutre e, ou élément identité, est noté 1.

Voir Notations de la multiplication

Suite	Morphisme (suite) Exemple du mot Fibonacci Table de Cayley Bijection Vocabulaire des structures algébriques
Voir	Calcul – Index Transformation du boulanger
Livre / Site	Mathématiques L1 – Pearson Education – 2007 Accès sur Google book >>> Allez en page 201 Structure de groupe. Livre très clair pour un niveau supérieur!
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Referenc/Outils/Outils/Structur/Morphism.htm