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ALGÈBRE

 

Débutants

Structure

Structures algébriques

 

Glossaire

Ensemble

 

 

INDEX

Structures algébriques

Débutant

Morphisme – Transformations

Morphisme – Comparaison 

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Morphisme de groupe

>>> Exemples simples

>>> Exemples : logarithme et exponentielle

>>> Exemples avancés

>>> Propriétés

>>> Types de morphismes

>>> Isomorphisme

>>> Anglais

 

 

 

 

 

MORPHISME

 

Imaginez: le produit des puissances qui se transforme en somme des exposants: ex . ey = ex + y. Il s'agit d'une sorte de morphing qui transforme les multiplications en additions. (Je veux voir tout de suite)

 

Deux façons de voir:

*    Vision de l'action: un morphisme est la transformation d'un ensemble en un  autre telle qu'elle conserve les règles de calcul dans chacun de ces ensembles. Objet de cette page.

*    Vision du résultat: la notion de morphisme, c'est la définition d'une sorte d'égalité entre ensembles. Quand peut-on affirmer que deux ensembles sont "égaux en morphologie"? Quelle est la fonction qui permet cela? Voir page suivante.

 

Le concept est relativement compliqué dans sa généralité et cela pour permettre de nombreuses possibilités. Nous allons nous focaliser sur les ensembles qui ont une structure de groupe. Ce qui est le cas le plus fréquent pour nous qui cherchons simplement à aborder le sujet. Les autres cas seraient les anneaux, corps, espaces vectoriels, etc.

 

 

 

Approche

 

*    Morphisme rappelle le mot morphologie ou morphing tous ces mots venant du grec morphé, la forme.
 

*    Morphologie: étude des formes et des structures externes des animaux.

Comparaison de la morphologie des femmes pour déterminer le type de vêtement qui convient le mieux. On rencontre ainsi les sept morphologies suivantes : Le Sablier, le Huit, le Rond, le Rectangle, le Triangle, le Trapèze et le Mixte. Elles sont définies selon la largeur des épaules, celle de la poitrine, celle de la taille et celle des hanches. Site: Illustration des autres formes

 

*    Morphing: déformation progressive d'une image (d'un objet) pour en donner une toute autre.


Site: autres exemples

 

*    Morphisme en mathématique: une application (fonction, opération) passant d'un ensemble E à un autre F tout en laissant intactes les propriétés respectives des deux ensembles.

L'opération logarithme ne dérange pas la manière de jouer dans chacun des ensembles.

 

 

 

Morphisme de groupe

 

*    Nous connaissons la loi de composition interne à un ensemble. Chaque groupe possède la sienne. Nous allons ajouter une application (sorte de loi de composition externe) de l'un des ensembles vers l'autre.

 

*    Situation:

*      Un groupe G et sa loi de composition interne, notée  ;

*      Un groupe H et sa loi de composition interne, notée  ;

*      Une application f  de G  H.

*    Cette application f est un morphisme si:

 

*    Quels que soient x et y appartenant chacun à G (on note G2), le groupe de départ; Le nouvel élément crée étant dans H).

*    f(x*y) est l'opération dans G et f(x) * f(y) est l'opération dans H.

 

Comme, par exemple: log(a . b) = log(a) + log(b) ou encore ex + y = ex . ey

 

 

Illustration

 

 

 

Exemples simples

 

Exemple 1 - Identité

 

Soit f l'application: f(x) = e pour tout x de l'ensemble G.

L'élément e est l'élément neutre ou identité.

L'application ramène tous les x à e, comme le fait la multiplication par 0 pour tous les nombres.

 

f(x * y) = f(z) = e

f(x) * f(y) = e * e = e

 

L'application conserve la structure, c'est un morphisme de groupe. c'est un morphisme d'un ensemble sur lui-même, c'est un endomorphisme.

 

Exemple 2 -  Lui-même

 

Soit f l'application: f(x) = x pour tout x de l'ensemble G.

L'application pourrait être la multiplication par 1 sur les nombres.

 

f(x * y) = f(z) = x * y

f(x) * f(y) = x * y

 

L'application conserve la structure, c'est un endomorphisme de groupe.

 

Exemple 3 -  Facteur

 

  avec l'addition (Z est l'ensemble des entiers relatifs)

Soit f l'application: f(x) = 2n (multiplication par 2)

 

f(n * m) = 2 (n + m)

f(n) * f(m) = 2n + 2m = 2(n + m)

 

L'application conserve la structure, c'est un endomorphisme de groupe.

 

Formalisation à partir de cet exemple

 

Soit . La fonction  définie par f(n) = k.n est un endomorphisme de groupe car:

 

 

Exemple 4 -  Puissance de deux

 

Application f de définie par f(n) = 2n

 

 

La fonction puissance de 2 est un morphisme de groupe, comme la puissance de a.

 

Voir Notation des ensembles de nombres

 

 

 

Exemples logarithme et exponentielle

 

 

Exemple 5 -  Logarithme népérien

 

(Le + indique: limité aux nombres positifs et  élimine le 0.)

 

 

Le logarithme népérien est un morphisme de groupe, comme le log décimal, d'ailleurs.

 

Exemple 6 -  Exponentielle en complexe

 

 

 

La fonction exponentielle est un morphisme de groupe.

 

 

Voir Logarithme / Exponentielle / Complexe

 

 Exemples avancés

 

Exemple 7 -  Fonction inverse

 

Application f :  définie par f(x) = x-1

G est un groupe abélien (commutatif)

 

 

Cette application est un morphisme de groupe.

 

Exemple 8 -  Exponentielle sur le groupe des unités U

 

L'ensemble des unités (ou plus exactement le groupe des unités de ), c'est l'ensemble de tous les nombres complexes ayant pour module 1. Les points représentatifs sont sur le cercle unité.

 

L'application considérée est:  (rotation d'un angle t sur le cercle unité)

 

 

 

Cette fonction est un morphisme de groupe.

 

L'application f(z) = z½ (module du nombre complexe z)

de est un morphisme de groupe dont le noyau est  .

 

Le noyau est le sous-ensemble de tous les éléments du groupe de départ qui sont envoyés sur l'élément neutre du groupe d'arrivée

 

 

Exemple 9 -  Symétries

 

G = S3 avec les symétries du triangle

*    Rotations   {123, 231, 312}, et

*    Réflexions {213, 132, 321}

H = {  } avec la multiplication

 

Soit f l'application:

S(x) = 1 si 1 rotation

S(x) = -1 si 1 réflexion

 

S(123, 231) = S(231 ) = 1 et S(123) . S (213) = 1 x 1 = 1

S(231, 213) = S(321) = -1 et S(313) . S (213) = 1 x -1 = -1

Etc.

L'application conserve la structure, c'est un morphisme de groupe

 

 

 

Propriétés du morphisme de groupe

 

*    Le morphisme respecte les structures de départ et d'arrivée.

 

*    L'élément neutre eG du groupe de départ G devient l'élément neutre eH du groupe d'arrivée H:

f(eG) = eH

 

*    L'inverse d'un élément se retrouve en tant qu'inverse de l'élément transformé:


 

*    Puissance

 

*    Transitivité des morphismes de groupe:

 

Si ,   alors
 

 

Types de morphismes

 

Du général au particulier:



 

 

Isomorphisme

 

Définition

 

*    Homomorphisme avec f une bijection (correspondance un à un).

*    Morphisme admettant un inverse qui est lui-même un morphisme.

Dans ce cas les éléments de G sont tous envoyés vers H et de même dans l'autre sens. On se souvient que le préfixe ISO veut dire égal en grec.

 

Exemple 1 – Exponentielle et logarithme

(Voir exemple de l'homomorphisme)

 

 

  avec l'addition et   avec la multiplication

Soit f l'application: f(x) = ex

 

1) Elle est bijective

Pour tout x, f(x) = ex est défini.

Son inverse, g(x) = ln(x) est aussi défini sur R strictement positif.

 

2) f(x + y) = ex + y

f(x) . f(y) = ex . ey  = ex + y

 

L'application est bijective et elle conserve la structure, c'est un isomorphisme de groupe.

 

 Exemple 2 – Rotation quart de tour et nombres complexes

(Voir page 2 sur les morphimes)

 

 

*    En comparant leur table de Cayley, deux groupes sont isomorphes si les éléments de l'un s'obtiennent par permutations des éléments de l'autre.

 

 

 

English corner

 

*    Let G and H be groups and let f : G   H a mapping from G into H. If

 for all x, y  G

then f is called a (group) homomorphism.

 

 

Remarque de notation – Simplification d'écriture

Si G est un groupe et a et b appartiennent à ce groupe: l'application ab est parfois appelée multiplication et notée a.b et même simplement ab. Alors l'élément neutre e, ou élément identité, est noté 1. 

 

 

 

 

Suite

*         Morphisme (suite)

*         Table de Cayley

*         Bijection

*         Vocabulaire des structures algébriques

Voir

*         CalculIndex

*         Transformation du boulanger

Livre / Site

*         Mathématiques L1 – Pearson Education – 2007

Accès sur Google book >>>   Allez en page 201 Structure de groupe.
Livre très clair pour un niveau supérieur!

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http://villemin.gerard.free.fr/Referenc/Outils/Outils/Structur/Morphism.htm