NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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ALGÈBRE

 

Débutants

Général

Structures algébriques

 

Glossaire

Ensemble

 

 

INDEX

Structures algébriques

Débutant

Loi de composition

Table de Cayley

Relation binaire

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Première vision

>>> Maths modernes ?

>>> Utilité des structures algébriques

>>> Bilan

>>> Mots à retenir

 

 

 

 

Structures algébriques

Débutants - Novices

 

Les opérations, je sais les faire mais, au fait, comment ça fonctionne vraiment? Quel est l'envers du décor? Quelle est la mécanique qui permet la réalisation de calculs algébriques? Je ne suis pas mathématicien, mais je voudrais approcher ce domaine et comprendre quelques principes.

 

 

Approche

 

Ce que nous avons tous appris

 

*    En primaire, les opérations sont apprises et nous les réalisons automatiquement, sans penser à une quelconque  théorie.

*    Au collège, ce sont les équations que nous apprivoisons. Nous apprenons les techniques de calcul: opérations littérales, développement et factorisation de polynômes, résolution d'équations, etc. Mais pourquoi tout cela marche-t-il? Quelle est la logique sous-jacente?

*    La première approche est souvent prétexte à assouvir une certaine curiosité.  La découverte est un ravissement. Puis, en présence d'explications graduées, l'envie d'aller plus loin se dessine.

 

Analogie horlogère

 

La montre au poignet, nous savons lire l'heure. Parfois, pour les plus sophistiquées d'entre-elles, celles munies de complications, elles renseignent sur les phases de la lune ou autre informations sur les fuseaux horaires.

Qui n'a pas été tenté d'explorer les mystères de la montre, des horloges. Comment c'est fait? Pourquoi elles sont justes? Comment donner toutes ces indications avec des ressorts et des pignons, ou avec de l'électronique. Quels sont les principes qui permettent d'établir les phases de la lune ou toute autre information du genre.
 

 

Intérêt de ces pages et … limitations

 

*    En fait, les bases de ce domaine des mathématiques sont très abordables. Elles étaient autrefois enseignées au lycée. Cependant, le niveau d'abstraction va croissant et cela se complique assez vite. Accrochez-vous et soyez patient!

*    Le but de ces pages est de présenter ces bases. Attention, ce n'est certainement pas un cours. Notamment, certaines précisions seront volontairement ignorées pour faciliter l'assimilation des premières notions. Vous serez ainsi prêts à vous lancer dans la lecture de cours sur Internet ou avec de bons bouquins.

 

 

 

Première vision

 

*    Nous faisons régulièrement des opérations sur les nombres en appliquant des règes apprises à l'école.

*    Plutôt que de voir ces procédés comme des recettes à appliquer "bêtement", nous pouvons tenter de trouver les principes qui conduisent à ces règles.

 

Illustration
Aux nombres sont appliquées des opérations selon certaines règles (lois). Quels sont les principes généraux qui permettre de fonder ces lois.

*    Satisfaits de mieux comprendre la logique des opérations, nous pouvons désormais

*      avoir meilleure assurance pour réaliser les calculs, et

*      avoir la possibilité de généraliser.
 

 

Les maths modernes: bien ou mal?

 

*    Certains d'entre-nous, les plus anciens, connaissent ce vocable. 

*    Ce fut la grande réforme de l'enseignement des mathématiques dans les années 1960 dans le monde occidental.

*    Imbus de la beauté logique de cette théorie, les instigateurs ont crû que, connaître les principes du calcul algébrique aiderait à mieux pratiquer l'algèbre à partir d'un socle permettant un raisonnement logique.

*    Cela partait d'une bonne intention: inclure les avancées mathématiques dans le corpus éducatif et cela assez tôt. Mais le niveau d'abstraction était bien trop élevé pour la majorité des jeunes élèves du primaire et des collèges.

Comme si, pour apprendre le français, il fallait d'abord passer par étudier la grammaire. La preuve: l'enseignement de l'anglais en insistant sur la grammaire est le plus sûr moyen de ne pas parler anglais. L'esprit se mobilise sur les règles de grammaire et sortir une phrase devient un exploit. Enseigner l'anglais avec un niveau de tolérance progressif sur les fautes de grammaires est le secret. Comme pour l'apprentissage de la langue maternelle, en fait.

 

*    Il est vrai que pour ceux qui pouvaient suivre, les maths modernes leur  permettaient de raisonner juste et de disposer d’un formalisme efficace pour ses études futures. Mais les autres se perdaient et s'enfonçaient dans un rejet marqué pour les maths.

*    Le programme comprenait l'apprentissage:

*      des bases de numération, notamment la base 2 (binaire), utilisée en informatique;

*      de la théorie des ensembles, pour le développement du raisonnement logique; et

*      des structures algébriques (groupe, anneaux et corps) comme base des calculs algébriques; manipulation des polynômes et résolution des équations.

 

*    Certains pensent que, après l'abandon de cette abstraction à outrance, le balancier est reparti trop loin dans l'autre sens. Et, ceci à la faveur des calculettes, tableurs et ordinateurs qui favorisent l'expérience mathématique plutôt que le raisonnement déductif. Tendance amplifiée par les réformes pédagogiques récentes (2010) et  l'emploi des technologies de l'information et de la communication pour l'enseignement (TICE).

 

 

 

Utilité des structures algébriques

 

*    Plusieurs buts:

*      comprendre les principes qui sous-tendent les calculs classiques;

*      étendre ces principes à différents types d'objets; et

*      généraliser dans diverses directions: objets abstraits et opérateurs variés.

*    L'illustration montre trois étages:

*      Au centre: les opérations et les règles de calcul. On ne va pas se priver d'inventer d'autres opérations notés *, par exemple. Il suffira de définir ce que fait cet opérateur: calcul d'une moyenne, d'une dérivée d'une intégrale …

*      En haut, les objets sur lesquels portent les calculs: les nombres, les polynômes, les matrices, les vecteurs, les tenseurs … les objets mathématiques

 

*      En bas: un regard théorique sur les deux étages du haut. Mieux le fondement des calculs sur les objets du haut de l'illustration:

*      propriétés des objets, appelés éléments. Relations entre eux (égaux, plus petits, inclus …) et, surtout

*      propriétés communes à toute une famille d'objets, appelé ensemble. Comme

*         l'ensemble des nombres entiers (qui permet de compter) ou

*         l'ensemble des nombres relatifs (qui permet d'effectuer des soustractions), ou

*         l'ensemble des nombres rationnels (qui permet les divisions), etc.

 

 

Bilan

 

Après cette introduction, nous allons aborder tous ces sujets progressivement. Les concepts abordés sont très simples (ou conservés simples dans ces pages). Le but est de nous familiariser avec le vocabulaire, inévitable pour être précis dans ce monde qui va s'orienter progressivement vers l'abstraction.

Par exemple: opérations, applications et fonctions sont des notions proches, mais les nuances sont importantes.

Les ensembles ayant les mêmes propriétés seront baptisés: magma, monoïde, groupe, anneau, corps …

Les propriétés seront baptisées:

*    entre deux éléments: réflexive, symétrique, transitive;

*    opérations: commutative, associative, transitive;

*    éléments: neutre, symétrique, opposé, inverse, régulier.

 

Mots à retenir

Pour se lancer retenez quelques mots d'usage très courant.

Lorsqu'on entend ce mot spécialisé, il faut entendre grosso modo:

 

Ensemble               Famille, collection d'objets.

Éléments               Un objet de la collection (un nombre, une fleur …).

Application            Opération (addition, multiplication …).

Groupe                  Ensemble particulier accompagné d'une opération.

Commuter              Intervertir: a x b = b x a

Permutations         Toutes les possibilités d'échanges entre éléments.

Inverse                 L'inverse de 3 est 1/3.

Opposé                  L'opposé de 3 est – 3.

Relation                 Entre deux éléments comme: égalité, plus grand …

Voir précisions en  Vocabulaire des Structures algébriques

 

 

Suite

*         Loi de composition

Voir

*         DébutantsIndex

Livre

*         Mathématiques L1 – Pearson Education – 2007 

Site

*         Mathématiques modernes – Wikipédia

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