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Structures algébriques Débutants - Novices Les opérations, je sais les
faire mais, au fait, comment ça fonctionne vraiment? Quel est l'envers du
décor? Quelle est la mécanique qui permet la réalisation de calculs
algébriques? Je ne suis pas mathématicien, mais je voudrais approcher ce
domaine et comprendre quelques principes. |
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Ce que nous avons tous appris
En primaire, les opérations
sont apprises et nous les réalisons automatiquement, sans penser à une
quelconque théorie.
Au collège, ce sont les
équations que nous apprivoisons. Nous apprenons les techniques de calcul:
opérations littérales, développement et factorisation de polynômes,
résolution d'équations, etc. Mais pourquoi tout cela marche-t-il? Quelle est
la logique sous-jacente?
La première approche est
souvent prétexte à assouvir une certaine curiosité. La découverte est un ravissement. Puis, en
présence d'explications graduées, l'envie d'aller plus loin se dessine. |
Analogie horlogère La montre au poignet,
nous savons lire l'heure. Parfois, pour les plus sophistiquées d'entre-elles,
celles munies de complications,
elles renseignent sur les phases de la lune
ou autre informations sur les fuseaux horaires. Qui n'a pas été tenté d'explorer les mystères de la montre, des horloges. Comment c'est fait?
Pourquoi elles sont justes? Comment donner toutes ces indications avec des
ressorts et des pignons, ou avec de l'électronique. Quels
sont les principes qui permettent d'établir les phases de la lune ou toute
autre information du genre. |
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Intérêt de ces pages et … limitations
En fait, les bases de ce
domaine des mathématiques sont très abordables. Elles étaient autrefois enseignées au lycée. Cependant, le niveau d'abstraction va
croissant et cela se complique assez vite. Accrochez-vous et soyez patient!
Le but de ces pages est de
présenter ces bases. Attention, ce n'est certainement pas un cours.
Notamment, certaines précisions seront volontairement ignorées pour faciliter
l'assimilation des premières notions. Vous serez ainsi prêts à vous lancer
dans la lecture de cours sur Internet ou avec de bons bouquins. |
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Nous faisons régulièrement
des opérations sur les nombres en appliquant des règes apprises à l'école.
Plutôt que de voir ces
procédés comme des recettes
à appliquer "bêtement", nous pouvons tenter de trouver les
principes qui conduisent à ces règles. Illustration
Satisfaits de mieux
comprendre la logique des opérations, nous pouvons désormais
avoir meilleure assurance
pour réaliser les calculs, et
avoir la possibilité de
généraliser. |
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Certains d'entre-nous, les
plus anciens, connaissent ce vocable.
Ce fut la grande réforme de
l'enseignement des mathématiques dans les années 1960 dans le monde
occidental.
Imbus de la beauté logique de
cette théorie, les instigateurs ont crû que, connaître les principes du
calcul algébrique aiderait à mieux pratiquer l'algèbre à partir d'un socle
permettant un raisonnement logique.
Cela partait d'une bonne
intention: inclure les avancées mathématiques dans le corpus éducatif et cela
assez tôt. Mais le niveau d'abstraction était bien trop élevé pour la
majorité des jeunes élèves du primaire et des collèges. Comme si, pour apprendre le français, il fallait d'abord passer par
étudier la grammaire. La preuve: l'enseignement
de l'anglais en insistant sur la grammaire est le plus sûr moyen de ne
pas parler anglais. L'esprit se mobilise sur les règles de grammaire et
sortir une phrase devient un exploit. Enseigner l'anglais avec un niveau de
tolérance progressif sur les fautes de grammaires est le secret. Comme pour
l'apprentissage de la langue maternelle, en fait.
Il est vrai que pour ceux
qui pouvaient suivre, les maths modernes leur
permettaient de raisonner juste et de disposer d’un formalisme
efficace pour ses études futures. Mais les autres se perdaient et
s'enfonçaient dans un rejet marqué pour les maths.
Le programme comprenait
l'apprentissage:
des bases de numération,
notamment la base 2 (binaire),
utilisée en informatique;
de la théorie des ensembles, pour
le développement du raisonnement
logique; et
des structures
algébriques (groupe, anneaux et corps) comme base des calculs algébriques; manipulation
des polynômes et
résolution des équations.
Certains pensent que, après
l'abandon de cette abstraction à outrance, le balancier est reparti trop loin
dans l'autre sens. Et, ceci à la faveur des calculettes, tableurs et ordinateurs qui favorisent
l'expérience mathématique plutôt que le raisonnement déductif.
Tendance amplifiée par les réformes pédagogiques récentes (2010) et l'emploi des technologies de l'information
et de la communication pour l'enseignement (TICE). |
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Plusieurs buts:
comprendre les principes qui
sous-tendent les calculs
classiques;
étendre ces principes à
différents types d'objets; et
généraliser dans diverses
directions: objets abstraits et opérateurs variés.
L'illustration montre trois
étages:
Au centre: les opérations et
les règles de calcul. On ne
va pas se priver d'inventer d'autres opérations notés *, par exemple. Il
suffira de définir ce que fait cet opérateur: calcul d'une moyenne, d'une
dérivée d'une intégrale …
En haut, les objets sur
lesquels portent les calculs: les nombres,
les polynômes, les matrices, les vecteurs, les tenseurs … les objets mathématiques
En bas: un regard théorique
sur les deux étages du haut. Mieux le fondement des calculs sur les objets du
haut de l'illustration:
propriétés des objets,
appelés éléments. Relations entre eux
(égaux, plus petits, inclus …) et, surtout
propriétés communes à toute
une famille d'objets, appelé ensemble.
Comme
l'ensemble des nombres entiers (qui permet de
compter) ou
l'ensemble des nombres relatifs (qui permet d'effectuer des soustractions),
ou
l'ensemble des nombres rationnels (qui permet les
divisions), etc. |
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Après cette
introduction, nous allons aborder tous ces sujets progressivement. Les
concepts abordés sont très simples (ou conservés simples dans ces pages). Le but
est de nous familiariser avec le vocabulaire,
inévitable pour être précis dans ce monde qui va s'orienter progressivement
vers l'abstraction. Par exemple:
opérations, applications et fonctions sont des
notions proches, mais les nuances sont importantes. Les ensembles
ayant les mêmes propriétés seront baptisés: magma, monoïde, groupe, anneau,
corps … Les propriétés
seront baptisées: entre deux éléments: réflexive, symétrique, transitive; opérations:
commutative, associative, transitive; éléments:
neutre, symétrique, opposé, inverse, régulier. |
Pour se lancer
retenez quelques mots d'usage très courant. Lorsqu'on entend ce
mot spécialisé, il faut entendre grosso modo: Ensemble Famille, collection
d'objets. Éléments Un objet de la
collection (un nombre, une fleur …). Application Opération (addition, multiplication …). Groupe Ensemble particulier
accompagné d'une opération. Commuter Intervertir: a x b = b x
a Permutations Toutes les possibilités d'échanges entre
éléments. Inverse L'inverse de 3 est 1/3. Opposé L'opposé de 3 est – 3. Relation Entre deux éléments
comme: égalité, plus grand … |
Voir
précisions en Vocabulaire des Structures algébriques
Suite |
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Voir |
Débutants – Index
|
Mathématiques L1 – Pearson
Education – 2007 |
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Site |
Mathématiques
modernes – Wikipédia |
Cette page |
http://villemin.gerard.free.fr/Referenc/Outils/Outils/Structur/SADebut.htm
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