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Groupes de SYMÉTRIE

ou de PERMUTATIONS

Découverte à travers l'historique.

Pour se familiariser avec les groupes de symétries, voir le groupe S₃.

Quatre types de groupes

En 1832, Galois (1811-1832) s'intéresse aux permutations de l'ensemble des racines d'un polynôme et découvre la structure de groupe. En 1860, Émile Mathieu (1835-1890) découvre cinq groupes de symétries: les groupes sporadiques dont le plus petit (M11) possède 7 920 éléments En 1901, Leonard Dickson (1874-1954), élève de Sophus Lie, écrit le texte fondateur sur les treize familles des groupes de Lie. Dickson est aussi connu pour son histoire de la théorie des nombres en trois tomes. Connaissance en1900 Groupe de rotations des polygones ayant un nombre premier de côtés, Groupes alternés de degré n, et Groupes simples de type Lie. En 1960, on compte 13 familles. Tous présentent un nombre pair de symétries.

Groupes finis simples

En 1897, William Burnside (1852-1927), dans son livre sur la théorie des groupes, il énonce son théorème qui fut d'abord une conjecture: Si un groupe a un nombre impair de symétries, il peut être divisé en briques simples avec un nombre premier de côtés, et ne peut donc donner de nouveaux groupes simples. En bref, il n'y a pas de nouveaux groupes simples d'ordre impair. Note: le groupe simple joue un peu le même rôle que les nombres premiers. En 1963, Feit et Thomson démontrent la conjecture de l'ordre impair de Burnside. Michel Suzuki puis Rimhak Ree découvrent trois nouvelles familles infinies de groupes indivisibles.Ces trois nouveaux groupes s'avèrent être trois de plus dans la famille des groupes de Lie. En 1966, Janko, correspondant avec Thomson, publie sa découverte: un groupe simple (J1) à 175 560 symétries, basé sur une forme dans l'espace à sept dimensions bâtie à partir d'un système à 11 éléments de 0 à 10. Puis, il en découvre deux autres: J2 = 604 800 et J3 = 50 232 960, construits par Marshall Hall Jr, Ghaham Higman et John McKay.

Monstruosités

En 1969, Higmans et Sim découvrent le 44 352 000 symétries, groupe de redistribution de 100 arêtes. Jack McLaughlin en trouve une autre avec 898 128 000 symétries. En 1968, Suzuki arrive à 500 milliards. En 1966, John Leech découvre un agencement géométrique spectaculaire de sphères en 24 dimensions, potentiellement un nouveau groupe de symétrie. John Conway (1937-) confirme et en trouve la dimension et les propriétés. Trois autres groupes sporadiques encore plus grands vont arriver, découverts par Fisher. Ce sont Fisher 22, 23 et 24. Ce dernier comporte 1 255 205 709 190 661 721 292 800 symétries. Il en suspecte trois autres encore plus gros. Conway les baptise: bébé monstre: 4 154 781 481 226 426 191 177 580 544 000 000 symétries. moyen monstre qui deviendra le Monstre avec 808 017 424 794 512 875 886 459 904 961 710 757 005 754 368 000 000 000 symétries super monstre qui s'est avéré inexistant. Prouver que ces groupes monstrueux existent dépassait la capacité des ordinateurs de cette époque, les années soixante-dix. Conway et Thompson s'interroge: quantité finie de groupes de symétries ou infinie?

Atlas des groupes

1974: Rob Curtis avait déjà établi le recensement des groupes de Conway. Une équipe se forme autour de Conway, Curtis, plus Simon Norton. Elle se lance dans la confection de l'atlas de tous les groupes de symétries. But: faire le bilan des connaissances sur les groupes sporadiques étranges, les groupes de redistribution et les 16 groupes de Lie. Le plus petit groupe est celui de redistributions paires de cinq cartes, découvert par Galois. Le plus grand: le Monstre de Fisher. Entre les deux, toute une panoplie de groupes dont peut être de nouveaux à découvrir. Le travail est immense et l'atlas ne l'est pas moins. 1972, Daniel Gorenstein rédige un plan en 16 points pour expliquer comment dresser la liste complète de toutes les briques constitutives de la symétrie. Les Américains Gorenstein et Michael Aschbacher rejoigne l'équipe de Cambrige (Conway et autres). Années soixante-dix: 25 groupes sporadiques recensés. Puis Janko en découvre un 26^e. En 1978: 24 des 26 ont été construits. Deux donnent du fil à retordre: le 26^e de Janko et le Monstre. Existent-ils et comment les construire? Les groupes de Lie exigent de travailler dans un espace de huit dimensions maximum. Le Monstre en exige au minimum 196 883. Hors de porté des ordinateurs de 1980. McKay remarque que 1 + 193 883 = 193 884, qui ferait apparaître un lien entre groupes de symétrie et fonctions modulaires. Thompson et Conway y viendrons aussi, sans que l'on sache ce que cela veut dire véritablement. Coïncidence ou structure plus profonde? En 1979, Bob Griess s'attaque jours et nuits au Monstre. Il le complète le 14 janvier 1980 et regretta que son nom resta Montre et non groupe de Fisher-Griess.

Les 26 groupes sporadiques

En 1980, l'équipe de Conway réussit à construire le 26^e groupe sporadique (le 4^e de Janko ou J4) avec force ordinateurs. C'est l'informaticien Richard Parker qui est à la manœuvre pour s'immerger dans ce monde à 112 dimensions. En 1980, le travail de construction des 26 groupes connus est terminé. On est pratiquement sûr que l'Atlas est complet. Mais cela reste une conjecture: il n'existe pas d'autres groupes de symétrie. Autre question: quels sont les liens entre les 26 groupes? À quelle logique de famille obéissent-ils? En 1985, Conway, Curtis, Norton, Parker et Wilson éditent l'Atlas des groupes finis. En 2004, Aschbacher et Stephen Smith finalisent la démonstration entreprise par Gorenstein prouvant la limite de 26 groupes de symétrie.

Page créée d'après le livre cité en référence

Suite	Groupe Monstre
Voir	Calcul – Index Géométrie – Index Vocabulaire des structures algébriques
Livre	La Symétrie ou les maths au clair de lune (Finding Moonshine) – Marcus du Sautoy - Traduit de l'anglais par Raymond Clarinard – Héloïse d'Ormesson – 2012
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Referenc/Outils/Outils/Structur/Morphism.htm