Nombres – Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Présentation

>>> Construction

>>> Présentation des pièces

>>> Les pièces jumelées

>>> Triangles à aire rationnelle

>>> Pièces compatibles

 

 

 

Loculus d'Archimède

Stomachion (de Suter)

             Ostomachion

 

Archimède (287 av. J.-C. - 212 av. J.-C.) décrit ce puzzle dans le palimpseste d'Archimède. Sans doute le plus vieux puzzle connu. Jeu de découpage façon Tangram.

Dissection du carré.

Anglais: loculus of Archimedes, Archimedes' box, syntemachion, stomachion, ostomachion

A put-together puzzle / Tiling the square

 

 

 

Présentation – Deux configurations

 

 

En chiffres

 

Carré de 12 x 12

14 pièces dont deux non-triangulaires et deux d'entre elles sont dupliquées.

 

17 152 façons d'assembler les pièces en un carré.

536  en éliminant les rotations et réflexions. Calculé par Bill Cutler et indépendamment par d'autres mathématiciens: Persi Diaconis, Susan Holmes, Ronald Graham et Fan Chung.

 

Les pièces peuvent être posées recto ou verso. Si elles sont toutes recto sur l'exemple du haut, alors six sont verso sur l'exemple du bas (points rouges).

 

Comme le Tangram, les pièces peuvent être assemblées en diverses figures.

 

Nom

 

Stomachion est un diminutif d'Ostomachion qui signifie lutte, combat d'os, car joué avec des pièces en os ou en ivoire.

 

 

Historique

Connu d'Archimède et de bien d'autres Grecs.

Ce n'était pas un jeu, mais une dissection du carré en 14 pièces avec la contrainte que l'aire de chaque pièce soit une proportion rationnelle (une fraction exacte) de l'aire du grand carré.

 

Heinrich Suter (1848-1922) est un historien des sciences spécialisé en mathématiques et astronomie islamique. Il proposait le nom de syntemachion.

 

 

 

Construction

 

Construction

Pour obtenir les pièces de ce puzzle:

*      Découper un carré;

*      Dessiner les médiatrices;

*      Dessiner un triangle isocèle avec le bas du carré comme base;

*      Dessiner une diagonale du carré.

Ensuite :

*      Dessiner les traits roses.

 

Avec une feuille quadrillée, c'est plus facile.

 

Propriété

Toutes les pièces ont été choisies avec des sommets sur le quadrillage du carré  12 x 12.   Bien!  C'est facile !

Mais les aires de toutes ces pièces sont des nombres entiers. Bravo ! C'est astucieux et pas banal.

 

 

Les aires et les coordonnées des sommets sont des nombres rationnels. Pas toutes les longueurs des côtés.

 

 

Présentation des 14 pièces

 

 

 

Formes

 

Deux paires isométriques:

  3 =   4

10 = 12

 

Deux non triangulaires:

1 et 2

Ce sont les deux plus grandes.

 

Deux triangles avec trois longueurs irrationnelles:

6 et 9

Les autres triangles ont au moins une longueur rationnelle (nombre entier sur la grille pour les côtés horizontaux sur la figure du bas)

 

 

Aires

 

Aire totale: 144

 

Les pièces non-simples sont découpées en triangles rectangles, carrés ou rectangles, comme 1a + 1b + 1c = 1

 

 

 

Angles

 

Exemple de calcul

Le premier angle en bas à gauche correspond à:

tan (A)  = 2/10 = 0,2

arctan(0,2) = 11,31°

 

Un autre en haut:

tan(A) = 4/2 = 2

arctan(2) = 63,43°

 

La figure montre les angles calculés avec GeoGebra.

 

 

 

 

 

Les pièces jumelées

Trois paires de pièces sont toujours ensembles et dans la même position pour toutes les solutions.

 

De sorte que le puzzle pourrait se limiter à 11 pièces (figure de droite).

 

 

Triangles à aire rationnelle

 

Notre question

Quelle est la probabilité d'obtenir un triangle à aire rationnelle en choisissant les sommets sur une grille  4 x4  (par exemple) ?

 

Cas des triangles rectangles

En partant du sommet en bas à gauche, il suffit de positionner l'autre sommet sur un des points verts. Ils se trouvent sur une ligne ou une colonne paire.

Cas des triangles non-rectangles

Le choix du sommet peut se faire n'importe où sur la colonne, l'aire du triangle reste constante (demi produit de la base par la hauteur).

Même chose pour les hauteurs plus importantes.

 

Conclusion

Sans minimiser la trouvaille des Anciens, la probabilité de sélectionner des triangles rationnels est assez grande. Encore faut-il trouver une combinaison astucieuse !

 

 

L'aire de chacun de ces triangles est rationnelle. Le produit des (mesures des) deux côtés de l'angle droit est divisible par 2.

Tous ces triangles, avec la même base et la  même hauteur, ont la même aire rationnelle (= 4x1/2 = 2).

 

 

Pièces compatibles

Identification des pièces

Il existe 9 types de côtés pour ces 11 pièces (jumelages faits). 

Il y a 8 types de pièces en regroupant les 3 doublons (3,4; 10,12; 8,11).

 

On note la longueur des côtés en unités de grille pour les côtes horizontaux ou verticaux, ou en longueur oblique avec la pente pour les autres côtés.

Ainsi (6, rac5) veut dire que la longueur oblique vaut 6 et la pente vaut racine de 5.

Types de pièces selon côtés

Le tableau montre quels sont les types de côtés pour chaque pièce de 1 à 14.

 

C'est avec ce type de recensement que l'on peut associer les pièces selon leur longueur (ou  un multiple) et la nature de la pente.

 

Il est possible d'établir un graphe des possibilités d'assemblage et d'en déduire des règles pour reconstituer le carré complet.

Exemples de possibilités d'assemblage

 

 

 

Suite

*         Tangram à motifs convexes

*         Sapin de Noël

Voir

*         Carré en 5

*         Carré parfait

*         Dissection

*         GéométrieIndex

*         JeuxIndex

*         Stomachion d'Archimède

DicoNombre

*         Nombre 536

Sites

*         Loculus d'Archimède – Wikipédia

*         Stomachion – Wolfram MathWorld

*         Loculus Archimedis – Early Puzzle

*         A tour of Archimedes' Stomachion by Fan Chung and Ron Graham – Accès aux nombreuses pages sur le sujet et la manière de compter les solutions

*         Archimedes'Stomachion – pi.math.cornell.edu – Les 536 solutions

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http://villemin.gerard.free.fr/aJeux1/Societe/Stomachi.htm