Notion d'ouvert en toplologie

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OUVERT en TOPOLOGIQUE

Un OUVERT est un ensemble qui ne contient aucun BORD. Avec les bords, il est FERMÉ.

Concrètement, cela signifie que si vous prenez n’importe quel point de cet ensemble, vous pouvez toujours tracer autour de ce point une petite boule entièrement contenue dans l’ensemble.

Cette notion permet de définir la notion de voisinage et d'en déduire les propriétés structurelles des ensembles.

Ouvert ou fermé ? Tout dépend du comportement sur les bords.

Sommaire de cette page

>>> Ensemble OUVERT

>>> Ensemble FERMÉ

>>> Propriétés

Débutants

Géométrie

Glossaire

Géométrie

Anglais: Open set and closed set

Ensemble OUVERT

haut

Dans R (dimension 1)

La droite réelle

Tout intervalle de la forme (a, b) est un ouvert.

Car, quel que soit le point x dans (a, b), il existe un petit intervalle autour de x qui reste inclus dans (a, b).

Dans R² (dimension 2)

Le plan

Un disque de diamètre inférieur à r est un ouvert.

Car, quel que soit le point x dans le disque il existe un petit disque autour de x qui reste inclus dans le disque initial.

Dans Rⁿ (dimension n)

L'espace de dimension n

Soit U inclus dans Rⁿ.

On dit que U est ouvert si, pour tout point s de U, il existe un rayon r > 0 tel que la boule ouverte centrée en x, définie par:

soit entièrement contenue dans U.

Cela veut dire qu'autour de chaque x de U, il existe un intervalle (pour n = 1), un disque (pour n = 2), une sphère (pour n = 3), etc. , qui ne sort jamais de U.

"Liberté de circulation"

Si un ensemble est ouvert, alors chaque point de U est un point intérieur.

On peut se déplacer autour de chaque point sans jamais atteindre une limite de l'ensemble.

Ensemble FERMÉ

haut

Points frontière

Un ensemble F de Rⁿ est fermé s'il contient tous ses points frontières, aussi appelés points d'accumulation.

Autrement dit, toute suite convergente de F a sa limite dans F.

Comparaison

Dans un ensemble ouvert, la bordure n'est jamais incluse.
Lorsqu'il est définit par l'intervalle (a, b), les points a et b de font pas partie de l'ensemble bien que définissant ses limites.

Dans un ensemble fermé, la frontière est incluse.
L'intervalle fermé [a, b] contient les points a, b et tous les points intermédiaires

Intérêt

En analyse, les fonctions continues et les suites convergentes interagissent différemment avec des ensembles selon qu'ils sont ouverts ou fermés.

Exemples du disque (R²)

Disque ouvert

Disque fermé

Ouvert-fermé

(Clopen set)

Deux cas seulement

l'ensemble vide et

l'espace entier

Propriétés

haut

Les ouverts sont les blocs de construction fondamentaux en topologie.

Comprendre le concept d'ouvert est essentiel. Il forme la base pour étudier des notions plus avancées comme la continuité, la compacité, et la connexité dans l’analyse et la géométrie.

Par exemple, la définition d'une fonction continue repose sur le fait que l'image réciproque d’un ouvert est un ouvert.

Élément d'appréciation d'une structure de l'ensemble

Que ce soit dans l’étude théorique des espaces ou dans des applications pratiques (comme en analyse numérique ou en modélisation géométrique), la notion d’ouvert permet d’appréhender la structure locale d’un espace en s’assurant que chaque point possède un certain "espace de liberté" avant de toucher les limites de l’ensemble.

Les ouverts définissent la notion de voisinage

La notion d'ouverts et fermés est fondamentale dans l'étude de voisinage.

Continuité,

Compacité,

Connexité,

Convergence.

Unions et Intersections

Les unions de tout ensemble ouvert (même en infinité) sont ouvertes.

Les intersections finie d'ouverts sont ouvertes, mais une intersection infinie peut ne pas être ouverte

Les intersections finie de fermés sont fermées.

L'union d'une collection infinie de fermés peut être fermée.

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