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Passage du Sofa dans un angle

Comment faire passer un sofa dans couloir présentant un angle droit.
Le couloir étant donné, quelle est la forme optimale du sofa ?
Étant donné l'objet à faire passer, quelle est la largeur minimale du couloir?

Résolu par Jineon Baek en fin 2024.

Sommaire de cette page

>>> Cas général du sofa

>>> Cas particulier de la planche

Débutants

Nombres

Glossaire

Nombres

Anglais: Moving sofa problem

Passage du sofa

Crédit arXiv (2024)

Cas général du sofa ou canapé

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Problème du sofa

Problème formalisé par le mathématicien Leo Moser (austro-canadien) en 1966.

Trouver la forme rigide plane d'aire maximale que l'on peut déplacer dans un couloir d'un mètre de large avec un angle droit (en forme de L).

Problème non résolu.

Solution simple

Sofa demi-circulaire de rayon unité.

L'aire est alors égale à: = 1,5707…

Hammersley donne une limite supérieure:

Constante du sofa = aire maximale du sofa

Elle est comprise entre:

2,2195… obtenu avec une forme conçue par Gerver en 1992 et par Gibbs en 2014;

2,37, valeur prouvée en 2017 par Yoav Kallus et Dan Romik.

Solution trouvée en fin 2024

Jineon Baek (Université Yonsei, Corée) repart de la forme du canapé mis au point par Joseph Gerver. Il démontre que la surface maximale possible du canapé est bien celle que Gerver avait trouvée au départ, c’est-à-dire 2,2195 unités.

Sa solution doit encore être vérifiée par ses pairs.

Solution de John Hammersley (1968)

Un demi-cercle de rayon unité, coupé en deux, augmenté d'un rectangle intermédiaire, lequel est évidé d'un demi-cercle. Aire:

Source image: Wikipédia

Voir Brève 45-898 / Actualités 2024

Cas particulier de la planche

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Construction du couloir en L

Un couloir de largueur D = 64 cm et un retour de largueur d à déterminer.

Quelle est celle largueur minimale permettant de faire passer une planche très large et de longueur B = 125 cm d'un couloir à l'autre.

Se problème se ramène à un problème dans le plan tel que représenté sur cette figure.

Piste (figure du bas)

En traçant les deux segments noirs, on forme deux triangles rectangles semblables.

La planche est formée des deux morceaux L et l dont on peut calculer la longueur avec les sinus ou cosinus de l'angle téta.

Alors, reste à minimiser la largeur d. C'est possible en cherchant la racine de la dérivée (le passage par zéro de la fonction dérivée).

On se souvient que (la dérivée étant notée '):

Calculs

Vérification

Tracé obtenu par GeoGebra

En vert la fonction et en bleu sa dérivée:

Le point d'intersection avec l'axe des x est en 0,6435.

Ce qui est la valeur en radian de l'angle optimum. Son cosinus vaut 0,8 = 4/5.

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