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Nombres - Curiosités, Théorie & Usages

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ABÉCÉDAIRE DU DÉBUTANT

 

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Addition

Binaire

Chiffres

Décimal

Ensemble

Facteurs

Grands nombres

Hexadécimal

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A

Addition

 

*    L'addition est une opération bien connue qui consiste à ajouter une certaine quantité B à un nombre A

*      C'est la plus simple des opérations

*  Elle est docile et ne présente pas grande difficulté

*  L'ordre d'exécution des opérations peut être quelconque: 2 + 3 = 3 + 2 = 5

On dit que l'addition est commutative

*      L'addition est utilisée pour construire tous les nombres

*      Avec le zéro, l'addition fait du sur place

*      Le résultat de l'addition s'appelle la somme

 

Construction des nombres

 

0 + 1 = 1

1 + 1 = 2

2 + 1 = 3

3 + 1 = 4

 

 

Disposition classique de l'addition

 

 

      123

   + 456

   = 579

 

 

*    La soustraction consiste à retirer une certaine quantité B à un nombre A

*  Si la quantité à retirer est inférieure au nombre, le résultat est positif: il reste quelque chose

*  Si la quantité à retirer est supérieure au nombre, le résultat est négatif: c'est une dette en quelque sorte

Avec la soustraction, il est important de respecter l'ordre de l'opération

La soustraction n'est pas commutative

Soustraction

s = A – B

 

B < A

s est positif

B > A

s est négatif

 

 

 

 

 

s = 15 – 6 = 9

 

s = 6 – 15 = -9

 

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Un homme sage ne croit que la moitié de ce qu’il lit.

Plus sage encore, il sait laquelle.

Pensées et Humour

 

 

B

Binaire

 

*    En binaire, il n'existe que deux chiffres: 0 et 1

*    Ce système est le plus simple pour compter

*      Il est utilisé dans les ordinateurs

*      Selon le principe suivant

*  1 le courant passe dans le circuit

*  0 , il ne passe pas

 

Anecdote

*  Certaines peuplades comptaient : un, deux beaucoup

Nombres successifs en binaire

 

0, 1,

10, 11,

100, 101, 110, 111,

1000, 1001, 1010, 1011 …

 

Voir hexadécimal

 

 

Il suffit d'un gramme de merde pour gâcher un kilo de caviar.

Mais un gramme de caviar n'améliore en rien un kilo de merde.

 

C

Chiffres

*    Contrairement au système binaire,

*    Nous utilisons 10 symboles pour compter

*    Pour former un nombre, nous utilisons une convention importante

*    La position du chiffre dans le nombre est importante

*    De la droite vers la gauche, il y a

*  les unités

*  les dizaines

*  les centaines

*  les milliers

* etc.

*      Nous utilisons un système de numération de position à base dix

Les dix chiffres pour compter

 

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

 

Valeur du chiffre selon sa position dans le nombre

 

   4563

= 4000  milliers

+   500  centaines

+     60  dizaines

+       3   unités

 

 

 

 

*    Propriété intéressante sur les chiffres

*      Si la somme des chiffres est divisible par 3 ou 9, le nombre est lui-même divisible par 3 ou 9

Divisibilité par 3 ou 9

123 => 1 + 2 + 3 = 6 = 3 x 2

        => 123 est divisible par 3

              123 = 3 x 41

 

981 => 9 + 8 + 1 = 18 = 9 x 2

        => 981 est divisible par 9

              981 = 9 x 109

 

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Soyez aimable avec ceux que vous rencontrez pendant que vous montez, vous les retrouverez en descendant.

 

 

D

Décimal

*    À côté des dizaines et centaines, il est possible de former

*  les dixièmes,

*  les centièmes …

*    Les chiffres après la virgule sont les décimales

*      Un nombre comportant un nombre fini de chiffres après la virgule est dit   nombre décimal

*      Sans virgule, c'est un nombre entier



Formation d'un nombre décimal

 

   45,123

= 40

+   5

+   0,1

+   0,02

+   0,003

 

 

L'expérience est une lanterne accrochée dans le dos qui n'éclaire que le passé - Confucius

 

 

E

Ensemble

 

*    Les nombres forment des familles ou ensembles

*    dont il est possible de donner les propriétés communes

*    et cela est bien pratique

*      Par exemple

*  Lorsqu'on les additionne, on peut pratiquer dans un ordre quelconque

*  Mais, ce n'est plus le cas lorsqu'on effectue la soustraction!

Ensembles N et Q

 

N

désigne l'ensemble des nombres entiers

0, 1, 2, 3, 4 …

 

Q

est l'ensemble des nombres entiers qu'ils soient positifs ou négatifs

-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 …

 

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 Il n'est de bon vent que pour celui qui sait où il va - Sénèque

 

 

F

Facteurs

*    Les nombres, comme les humains, possède une empreinte digitale unique

*  Digital comme doigt pour l'humain

*  Digital comme digit ou chiffre pour les nombres

*    Deux possibilités pour un nombre:

*      il est égal au produit de plusieurs nombres plus petits, dits facteurs ou diviseurs: c'est un nombre composé

*      ou non: c'est alors un                 nombre premier

*  Un nombre composé est la multiplication unique de nombres premiers appelés les facteurs premiers du nombre

*      La liste de ces facteurs premiers est

*      "l'empreinte digitale" du nombre

*      ou, sa décomposition en facteurs premiers

Nombres premiers

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 …

 

Nombres composés

            = produits de facteurs

  4 = 2 x 2

  6 = 2 x 3

  8 = 2 x 2 x 2

  9 = 3 x 3

10 = 2 x 5

 

Empreintes digitales:

Facteurs premiers d'un nombre

    10 = 1 x 2   x 5

  100 = 1 x 22 x 52

1000 = 1 x 23 x 53

Le petit 2 veut dire que le nombre est multiplié par lui-même deux fois

5² = 5 x 5 = 25

 

Si je disposais de huit heures pour abattre un arbre,

j'en passerai six à affûter ma hache  - Abraham Lincoln

 

G

Grands Nombres

*    Pour noter les très grands, il est souvent plus pratique de dire

Combien de chiffres il possède,
en plus du premier chiffre

*  On note cette quantité par un exposant apposé au chiffre dix: 10 q

*  Qui se lit 10 puissance q

*  Et vaut effectivement 1 suivi de q zéros

*  À noter

*  On ajoute des décimales selon la précision souhaitée

*  Dans certains cas, il n'est pas possible d'écrire l'exposant, on utilise la notation chapeau

*  La notation des ingénieurs, dite scientifique, utilise la lettre E

Notation des grands nombres

 

912 345 678

=> 9 suivi de 8 chiffres

 

=> 9 10 8

   = 9 x 100 000 000

 

 

 

=> 9,12  10 8

=> 9,12  10^8

=> 9,12  E 8

 

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Les riches doivent vivre plus simplement pour que les pauvres puissent simplement vivre  - Mahatma Gandhi

 

 

H

Hexadécimal

*    Diverses façons de former les nombres

*      Les ordinateurs utilisent 2 chiffres

*      Les humains                    10

*      Les informaticiens          16

*  La quantité de chiffres s'appelle la base de numération

*  Le système hexadécimal est un système de numération                     à base 16

*  Le système décimal est à base 10

*  Le système binaire  est  à base  2

*    Les chiffres sont

*    aussi appelés digits (influence anglaise)

*    et bits dans le système binaire

*    Pour passer du binaire à l'hexadécimal

*  Il y a une astuce qui justifie l'emploi de l'hexadécimal par les informaticiens

*  Il suffit de transformer chaque groupe successif de 4 bits en un digit hexadécimal

Les seize chiffres des informaticiens

 

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,

A, B, C, D, E, F

 

Correspondance selon les systèmes de numération

 

Binaire

Décimal

Hexadécimal

0

1

10

1010

1111

1 0000

1 0001

0

1

2

10

15

16

17

0

1

2

A

F

10

11

 

 

 

 

1010 0001 1001 00112 = A19316

L'indice témoigne de la base utilisée

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