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DicoNombre

ENSEMBLES

Classes

 

 

 

Définitions

*        Collection d'éléments considérée dans sa totalité.

*        Notion qui correspond à  l'idée intuitive de collection, de groupement d'objets appelés éléments.

*        Un ensemble est une collection d'objets issus de notre perception ou de notre pensée, tous déterminés et distincts.
Ces objets s'appellent les éléments de l'ensemble.

*        À bien noter:

*      Selon le langage courant, une collection (ou une famille) peut comporter plusieurs copies du même élément {1, 1, 1, A, *, *},

*      Alors qu'un ensemble ne compte qu'un seul élément de chaque type {1, A, *}.
L'ensemble des nombres entiers est bien de ce type: {1, 2, 3, 4, 5, 6 …}.

Voir Redondance / Multiensemble

Ensemble ou classe

*        Une classe est constituée d'individus; c'est normalement une notion de la logique

*        Un ensemble est constitué d'éléments; c'est une notion de mathématiques

*        Ces deux termes sont souvent synonymes.

Oups!

Mais des relations et des règles d'emplois

et … des paradoxes, parfois.

Exemples d'ensembles

*    Les voyelles            {a, e i, o, u , y}

*    Les chiffres             {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

*    Les nombres pairs   {0, 2, 4, 6…}

*    Les nombres premiers inférieurs à 10 {2, 3, 5, 7}

*    Les nombres entiers naturels  (Voir Ensembles des nombres).

Notations

*    A, B, C (grandes lettres: réservées au nom des ensembles.

*    a, b, c (petites lettres): pour les éléments de l'ensemble.

*    a  A signifie que l'élément a appartient à l'ensemble A.

*    a  A signifie que l'élément a n'appartient pas à l'ensemble A.

*     désigne un ensemble vide, ne comprenant aucun élément.

 

Caractérisation

Un ensemble peut être caractérisé par l'une des deux manières suivantes:

*    par énumération de ses éléments {a, b, c}

*    a, b et c sont les trois éléments de l'ensemble.

*    par une propriété

*    {2, 3, 5, 7} = {x  P(x) et x<10} avec P(x) qui signifie x est un nombre premier.

*    {0, 1, 2, 3, …} = {x  x  N} tous les éléments x tel que x appartient à l'ensemble N des entiers naturels.

Types

Un ensemble peut-être:

*    un ensemble fini: on peut répertorier les éléments.

*    ou un ensemble infini: on ne peut que se référer à une propriété {x  E(x)}.

 

Intérêt

Trouver des caractéristiques communes à des groupes d'objets et, de ce fait, traiter globalement la collection (l'ensemble) au nom de tous les objets.

*    Base de toutes les mathématiques d'aujourd'hui.

*    Son vocabulaire constitue le langage des mathématiques modernes.

Théorie

La théorie des ensembles traite de toutes ces propriétés:

*    Théorie élémentaire des ensembles (ou naïve ou intuitive):

*    ensemble, éléments, sous-ensembles.

*    propriétés des opérations ensemblistes: produit cartésien, réunion, intersection, etc.

*    relations binaires sur un ensemble: équivalence, ordre, etc.

*    applications: surjection, injections, bijections.

*    Théorie axiomatique des ensembles

*    formalisation de la notion d'ensemble: systèmes axiomatiques.

*    en prenant soin de supprimer tout paradoxe qui pourraient en résulter.

Voir Théorie des ensembles - Développements

 

Paradoxe

De la définition originelle formulée par Cantor résultait des paradoxes.
On l'utilise toujours à condition de prêter garde aux frontières qui conduisent aux paradoxes (Comme en mécanique, on peut déjà faire beaucoup avec Newton sans aller chercher Einstein, à condition de rester dans un "monde ordinaire").

Célèbre mise en évidence par Russel dans le paradoxe qui porte son nom:

*    Soit l'ensemble de tous les ensembles
       qui ne se contiennent pas eux-mêmes.

*    Est-ce que ce nouvel ensemble se contient lui-même ?

 

Mathématiciens

Mathématiciens associés à la théorie des ensembles

*    Bolzano, Dedekind, Cantor

*    Zermelo, Fraenkel

*    Von Neumann, Bernays, Gödel, Quine

 

 

 

 

Anglais

Set

A well-defined collection of objects.

It may be possible to define a set by listing the elements or as consisting of all elements that satisfy some property.

 

Kamke's definition (Theory of Sets – 1950)

By a set we are to understand, according to G.   Cantor, "a collection into a whole, of definite,  well-distinguished objects (called the elements) of our perception or of our thought…" For a set, the order of succession of its elements shall not matter… Furthermore, the same element shall not be allowed to appear more than once. The number complex   1, 2, 1, 2, 3 consequently, becomes a set only after deleting the repeated elements.

 

A multiset is a collection of objects

(called elements) in which elements may occur more than once. >>>

 

Suite

*       Cardinal d'un ensemble fini

*       Ensemble comme outil de reconnaissance de redondance et de différence

*       Multiensemble (Multiset)

*       Parties d'un ensemble

*       Partition d'un ensemble

*       Produit cartésien de deux ensembles

*       Classes en statistiques

*       Structures algébriquesIndex

 

*       Les maths modernes

*       Le bon ordre (Zemerlo)

 

*       En savoir plus

 

 

 

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Cardinal d'un ensemble fini

Principe

On cherche à savoir quelle est la quantité d'éléments appartenant à un ensemble.

Un nouveau mot sert à désigner cette quantité.

E = {a, b, c}

F = {}

Cardinal

E un ensemble fini de n éléments.

n le nombre d'éléments de E.

n est le cardinal de E

Card(E) = 3

Card(F) = 2

Vide ?

Convention

Card () = O

Suite en Cardinal

 

 

 

Parties d'un ensemble

Identification

A sous-ensemble de E

E1

Réunion

A   B

partie jaune

(pensez au U de "union" ou à une coupe qui contient tout)

E2

Intersection

A   B

partie rouge

(pensez à une pince qui ne ramasse que le minimum)

e3

Complémentaire

 est le complémentaire de A dans l'ensemble E

partie grise

 

Propriété

A    = E

A    =

E4

Disjoints

A  B =

A et B n'ont aucun élément en commun

E5

Suite en Logique de Boole

 

 

 

Partition d'un ensemble

Partition

L'ensemble E complet est découpé en parties

A1 , A2 , A3 , A4 et A5

E6

Partition de E en

5 + 2 = 7 sous-ensembles

Définition

Les parties A1 , A2 , … Ap constituent une partition de E si elles sont

deux à deux disjointes

leur réunion est égale à E

Extra

Les deux ensembles suivants font parties de la partition:

l'ensemble complet, lui-même: E

l'ensemble vide: Æ

Notation

 (E) est l'ensemble de toutes les parties de E.

 (E) = {E, , 

A1 , A2 , A3 , A4 , A5}

Suite en Partition

 

 

 

Produit cartésien de deux ensembles

Principe

Associer les éléments d'un ensemble avec ceux d'un autre ensemble pour former des couples.

On les forme tous !

E = {a, b, c}

F = { }

Notation

E x F =

{(a, ), (a, ),

  (b, ), (b, ),

  (c, ), (c, )}

Couple

Les éléments du nouvel ensemble sont appelés couples.

Couple (a, )

Généralisation

E1 x E2 ... En

Les éléments du nouvel ensemble sont appelés n-uplets.

n-uplet (a, , 3, ...)

 

En savoir plus

 

 

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