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NOMBRES -
Curiosités, théorie et usages Accueil / Dictionnaire / Rubriques / Index / Références / Nouveautés ORIENTATION GÉNÉRALE - M'écrire - Édition du: 01/10/2005 |
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-Ý- FAQ - Foire
aux Questions |
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ALGÈBRE |
/ Polynômes |
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>>> DIVISION de a3 + b3 >>> DÉVELOPPEMENT de (a-b)5 >>> FACTORISATION DE POLYNÔMES >>> PUISSANCES ET RACINES EN EXPOSANTS |
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Théorie des
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Rubrique Question Factoriser a^3 + b^3 Réponse notation classique avec les exposants a3 + b3 = (a + b) (a² - ab + b² ) notation linéaire (au cas où la messagerie ne passerait pas les exposants) a^3 + b^3 = (a + b) (a^2 - a.b + b^2) Méthode Il faut essayer un facteur et effectuer la division On va tester un facteur naturel dans ce cas a^3 + b^3 = (a + b) X On effectue la division pour trouver X Pas de panique, c'est la même méthode qu'avec les nombres, même peut-être plus simple! Allons-y Je décompose beaucoup pour faciliter la compréhension Il ne faut pas se décourager Voici l'opération posée:
Étape 1 Diviser a^3 par "a plus quelque chose" Donne a^2 En effet a^2 multiplié par a donne a^3 On calcule le produit a^2 par (a+b) que l'on va retrancher de a^3 + b^3
Attention, on fait bien une soustraction! Après avoir divisé par a^2, il reste - a^2.b + b^3 Étape 2 Prenons ce reste et divisons le par a+ b
On refait comme précédemment, diviser - a^2.b par a donne - a.b
On va a nouveau voir ce que donne la multiplication de a + b par - a.b et on va retrancher cela
Il y a encore un reste! Il faut poursuivre Étape 3 On divise maintenant a.b^2 par a qui donne b^2
Enfin le reste est nul Et on obtient le résultat de la division a^3 + b^3 divisé par a + b donne a^2 - a.b + b^2 À Suivre … Quelques identités sont tellement utilisées qu'il est nécessaire de les apprendre ou d'avoir la liste disponible Retrouvez toutes les identités de ce type sur ma page en http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Identite/Ident.htm |
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Rubrique Question Il me faut l'identité remarquable (a-b)^5 S'il te plait
Réponse C'est la même que (a+k)^5 avec k = -b Or le développement d'une puissance s'appuie sur l'utilisation du triangle de Pascal (on dit aussi loi du binôme) 1 => 1 2 => 1 2 1 3 => 1 3 3 1 4 => 1 4 6 4 1 5
=> 1 5 10 10 5 1 De sorte que le développement pour la puissance 5 donne
Et pour b=-k
Formule recopiée (si puissances illisibles) (a - b)^5 = a^5 -
5a^4.b + 10a^3.b^2 - 10a^2.b^3 + 5a.b^4 - b^5 |
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Rubrique Question Factorisation de xy(a²+b²)+ab(x²+y²)
On développe xy(a²+b²)+ab(x²+y²) = xya² + xyb² + abx² +aby² Essayons de trouver des facteurs communs xy et ab ok, mais ce sont ceux que l'on avait avant Il faut en trouver d'autres xa par exemple xya² + xyb² + abx² +aby² = xa(ya + xb) + xyb² + aby² La voie est tracée = xa(ya + xb) + by(xb + ya) Mise en facteur (xa+by) (ya+xb) Bilan xy(a²+b²)+ab(x²+y²) =
(xa+by) (ya+xb) |
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Rubrique PUISSANCES
ET RACINES EN EXPOSANTS Question Est-ce que ces expressions sont justes?
racine (-n) de a = racine (n) de 1/a ou -n Öa = n Ö1/ Réponse Oui ces expressions sont justes an = ?
racine (c/n) de ac
= (ac)n/c = acn/c = an racine (-n) de a
= ? racine (n) de 1/a
= (1/a)1/-n = a-1/-n = a1/n = racine (-n) de
Belle maîtrise des exposants et radicaux Il est vrai qu'il est rare de mélanger les deux En général, on oublie la forme en racine pour ne conserver que des exposants fractionnaires |
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