NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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ITÉRATIONS

 

Débutants

Général

TRIANGLE de PASCAL

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

Itérations

 

Approche

Formules

Propriétés

Historique

Triangle

Valeurs

Fractal

Puissance 11

Angle en Pi / n

Binôme

Divisibilité

 

Sommaire de cette page

>>> Le taxi en ville

>>> Triangle de Pascal – Introduction

>>> Triangle de Pascal – Développement du binôme

>>> Puissances de 11

 

 

Autres triangles

Index

En géométrie

Des nombres

De Leibniz

 

 

 

 

 

 

TRIANGLE de PASCAL

ou triangle arithmétique

ou triangle de Stifel

 

Cette page est une introduction

 

Hep! Je voudrais simplement les valeurs du triangle de Pascal

Pour un triangle  développé jusqu'à la ligne 12      >>>

Pour un triangle plus complet      >>>

Pour le calcul et les formules     >>>

Voir Historique, Stifel 

 

 

 

Approche – LE TAXI EN VILLE

 

Combien de chemins entre A et B, les plus courts possibles ?

Avec 1 cellule

 

Il y a deux chemins

 

Avec 2 cellules

 

Il y a trois chemins

Avec 3 cellules

 

Il y a quatre chemins

Avec 2 x 2 cellules

 

Il y a six chemins

Voir Escalier

 

 

Généralisation

 

*           Avec n x p cellules,
il y a autant de chemins que le nombre correspondant dans le triangle de Pascal.

 

*           Découvrons la construction du triangle de Pascal.

 

 

 

TRIANGLE DE PASCAL – Introduction

 

Approche

*           Voyons le tableau suivant:

*           Observez la cascade qui se construit en ajoutant les deux nombres du dessus. Lorsque le nombre est seul, le manquant est considéré comme nul.

 

Autre présentation

 

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

 

1

3

6

10

15

21

28

36

 

 

1

4

10

20

35

56

84

 

 

 

1

5

15

35

70

126

 

 

 

 

1

6

21

56

126

 

 

 

 

 

1

7

28

84

 

 

 

 

 

 

1

8

36

 

 

 

 

 

 

 

1

9

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*           Chaque nombre est la somme de son voisin du haut et de celui de gauche
Exemples: 6 =3 + 3; 10 = 6 + 4;  15 = 10 + 5 ; etc.

 

Voir Triangle Pascal jusqu'au rang 30 et plus

 

 

Triangle de Pascal

ou triangle arithmétique (comme l'appelait Pascal)

ou triangle d'al Karaji (mathématicien arabe)

 

*           Tableau de nombres baptisé d'après Blaise Pascal (1623-1662), qui rédigea un traité sur le triangle arithmétique vers 1650.

Mais connu bien avant lui par les Arabes, dès le XIe siècle

 

*           Les nombres correspondent aux coefficients des développements des puissances successives de x + y,
C'est-à-dire de:

 

(x + y)1         (x + y)2            ...              (x + y)n

 

*           Voici le début de ces expressions avec comparaison avec les valeurs des nombres du triangle de Pascal:

 

Triangle de Pascal

Développements

1

1

 

(x + y) 1

=

x  +    y

1

2

1

 

(x + y) 2

x² + 2xy  +        

1

3

3

1

 

(x + y) 3

x3 + 3x2y +    3xy2 +     y3

1

4

6

4

1

 

(x + y) 4

x4 + 4x3y +   6x²y² + 4xy3 + y4

1

5

10

10

5

1

(x + y) 5

x5 + 5x4y + 10x3y2 + ...

 

 

*           On constate que chaque coefficient est bien la somme des deux au-dessus:

Exemple: 10 = 6 + 4

 

*           Petit truc: la somme des exposants d'un monôme est égale au degré de l'expression de départ:

Exemple:       10x3y2  => 3 + 2 = 5 ; 5 de (x + y) 5

 

Voir Formule du binôme

 

 

 

Puissance de 11

 

 

La suite est toujours conforme au triangle de Pascal à condition de tenir compte des retenues. L'exemple montre une façon de disposer les calculs:

 

 

Voir Nombre 11 / Repunit

 

 

 

 

 

 

Suite

*    Triangle de Pascal – Formules

Voir

*    Combinaisons

*    Formule du binôme

*    Petit théorème de Fermat

*    TriangleIndex

Aussi

*    Boucle infernale

*    Calcul mental

*    GéométrieIndex

*    Récurrence

*    Théorie des nombres

Graphes

*    Graphes et chemins optimums

*    Parcours des abeilles

*    Voyageur de commerce

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