NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Algèbre

 

Débutants

Algèbre

IDENTITÉS

 

Glossaire

Algèbre

 

 

INDEX

 

Identités

 

Algèbre

Remarquables

Degré > 2

Spéciales

Divers

Inverses

a^nb^n

a^n – 1

Complexes

Puissances

Puissance 5

(x+ x² + …) ^k

Trigonométrie

Newton

Euler & Riemann

Héron

Moivre

 

Sommaire de cette page

>>> Identités remarquables

>>> Identités (a + b = a² + 2ab + b² …

>>> Consécutifs

>>> Formule de De Moivre

>>> Complexe 

 

 

 

Humour

Belle égalité en rébus

Moins de HAINE égal plus de PAIX

 

Une autre égalité déroutante, à découvrir

 

Voir Pensées et humour /  Alphabet parlant / Paradoxe du pastis 

 

 

IDENTITÉS REMARQUABLES

 

Les classiques du collège et les moins connues …

 

Les trois reines (plus une en complexe)

 

Factorisation des différences de puissance

Voir Table pour n de 2 à 20 et applications à an – 1

 

 

Identité cachée (différence de deux carrés)

Voir Puissances à étages

 

Voir Exemple de technique opératoire avec les parenthèses / Complexes et carrés /

Démonstration de la formule de Héron

 

 

 

IDENTITÉS avec le 2e  degré

a² + b²

=

½  (a + b)² + ½  (a – b)²

(a + b)² + (a – b)²

=

2 (a² + b²)       Trigo >>>

(a + b)² – (a – b)²

=

4 ab

(a + b)² x (a – b)²

=

a4 – 2a²b² + b4

(a + b)²  / (a – b)²

 

pas intéressant

=

(a + b + c)²

=

a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca

(a + b)² + (b + c)² + (c + a)²

=

=

2 (a² + b² + c² + ab + bc + ca)

(a + b + c)² + a² + b² + c²

(a + b + c)² – (a – b + c)²

=

4 ab + 4 bc

(a + b + c)² – (a – b – c)²

=

4 ab + 4 ac

(a – b) (b – c) (c – a)

=

  a² (c–b) + b² (a–c) + c² (b–a)

 

=

– a² (b–c) + b² (c–a) + c² (a–b)

 

a² + ab + b²

=

=

 

Parfois utile, même si trivial

ab

=

(a + 1)b – b

a(b + 1)

=

ab + a

 

 

Identités de Lagrange (dites aussi de Fibonacci – 1202)

L'inversion des signes + et -  ne change pas l'égalité

Voir Somme de carrés/ Autres identités de cette sorte

 

 

a² – 1

=

(a + 1) (a – 1)

a3 – 1

=

(a – 1) (1 + a + a² )

a3 + 1

=

(a + 1) (1 – a + a² )

a6 – 1

=

(a + 1) (a – 1) (a² + a + 1) (a² – a + 1)

 

<=>

c² = uv

              avec a = c + u et b = c + v

=

<=>

(a – k) (b – k) = k²

=

=

Voir Somme des inverses et généralisation

 

=

=

Voir Application

 

Voir suite en Degré supérieur / Racines

Voir Factorisation des polynômes remarquables / Exemples d'application

 

 

 

 

Démonstration muette (ou illustrée)

 

*    L'aire du grand carré (a + b) est égale à la somme des aires des deux carrés et des deux rectangles:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

 



*    L'aire du rectangle vertical est égale à la somme des aires du petit carré et des deux rectangles; elle est aussi égale à l'aire d'un grand carré (a²) auquel on retire un plus petit carré (b²).

 

(a + b) (a – b)  = a² – b²

 

Aire du rectangle à gauche = aire e l'équerre à droite.

 

 

Voir Nombre 169  / Construction de a², racine de a, 1/a / Calcul de la racine carrée

 

 

 

Produit de nombres consécutifs

 

*    (n – 1) n (n + 1) = n (n² – 1) = n3 – n

 


 

*    (n – 2) (n – 1) n (n + 1) (n + 2) = n (n4 – 5n2 + 4)

 

*    (n – 3) (n – 2) (n – 1) n (n + 1) (n + 2) (n+3) = n (n6 – 14n4 + 49n2 - 36)

 

Note: ces produits sont divisibles par n, le facteur central, et par k, la quantité de termes (impaire)

Ainsi: 5 x 6 x 7 x 8 x 9 = 15 120 = 7 x 5 x 432

 

 

Voir Calcul mental et factorielles tronquées / Divisibilité des produits de nombres consécutifs

 

 

 

 FORMULE de MOIVRE

 

 

  Suite Formule de De Moivre

 

IDENTITÉS avec complexes

x² + y²

=

(x – i . y)  (x + i . y)

y = 1 =>     x² + 1

=

(x – i)  (x + i)

x = 1 =>     1² + 1

=

(1 – i) (1 + i) = 2

Suite Pages des nombres complexes / Nombre 2

 

 

 

 

Suite

*    Identités pour degré supérieur à 2

*    Formule du binôme

*    Somme des entiers, des carrés, des inverses…

*    Identité de Brahmagupta

*    Identités fractions

*    Identités trigonométriques

*    Identités nombres complexes

*    Identités entre puissances

*    Utilisation pour calcul de puissances complexes

Voir

*    Application aux multiplications

*    Applications aux divisions des puissances

*    Carré des nombres en aaa…ab

*    Constantes

*    Différences entre puissances

*    Égalités dans les triangles

*    Factorisation selon Fermat

*    Identité de Lagrange

*    Identités trigonométriques

*    Isopérimètre

*    Pépites

*    Somme de carrés de nombres consécutifs

*    Somme des entiers, des carrés…

*    Somme et produit – Trouver les deux nombres

*    Tautochronie

*    Théorèmes

Site

*    A Collection of Algebraic Identities – Tito Piezas

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Identite/Ident.htm

 

 

 

Continuité de liens:

 Identité degré 5 transférée