NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

Accueil                           DicoNombre            Rubriques           Nouveautés      Édition du: 01/02/2024

Orientation générale        DicoMot Math          Atlas                   Actualités                       M'écrire

Barre de recherche          DicoCulture              Index alphabétique        Références      Brèves de Maths   

            

Algèbre

 

Débutants

Algèbre

IDENTITÉS

 

Glossaire

Algèbre

 

 

INDEX

 

Identités

 

Algèbre

Remarquables

Degré > 2

Spéciales

Divers

Inverses

a^n – b^n (moins)

a^n – 1

Complexes

Puissances

a^n + b^n (plus)

(x+ x² + …) ^k

Trigonométrie

Newton

Puissance 5

Héron

Moivre

Dévelop. limités

Euler & Riemann

Racines (degré 1/n)

(a + b + c + d)k

Ramanujan

Degré 7

Polynômes symétriques élémentaires

 

Sommaire de cette page

>>> Identités remarquables – Premier degré
>>>
Identités remarquables – Deuxième degré

>>> Identités (a + b)² = a² + 2ab + b² …

>>> Consécutifs

>>> Formule de De Moivre

>>> Complexe 

 

 

 

Humour

Belle égalité en rébus

Moins de HAINE égal plus de PAIX

 

Une autre égalité déroutante, à découvrir

 

Voir Pensées et humour /  Alphabet parlant / Paradoxe du pastis 

 

 

IDENTITÉS REMARQUABLES

& Formules à noter

 

Les classiques du collège et les moins connues (identités ou formules) …

 

Les trois reines (plus une en complexe)

 

Factorisation des différences de puissance

Voir Table pour n de 2 à 20 et applications à an – 1

 

 

Identité cachée (différence de deux carrés)

Voir Puissances à étages

 

Voir Exemple de technique opératoire avec les parenthèses / Complexes et carrés /

Démonstration de la formule de Héron

 

IDENTITÉS avec le 1er  degré

(a + b) (x + y)

=

ax + ay + bx+ by

(10a + b) (10x + y)

=

100 ax + 10(ay + bx) + by

(a + x) (a + y)

=

a (a + x + y) + xy

(a + b + c) (x +  y + z)

=

ax + ay + az +

bx + by + bz +

cx + cy + cz

(100a + 10b + c) (100x + 10y + z)

=

10000 ax +

1000 (ay + bx) +

100 (az + by + cx) +

10 (bz + cy) +

1 (cz)

Voir Applications au calcul rapide des multiplications

 

 

 Curiosités

(n + 1)² – (n – 1)² =   4n

(n + 2)² – (n – 2)² =   8n

(n + 3)² – (n – 3)² = 12n

n = 100

101² – 99² =   400

102² – 98² =   800

103² – 97² = 1200

Voir Nombres pairs et impairs

 

IDENTITÉS avec le 2e  degré

a² + b²

=

½  (a + b)² + ½  (a – b)²

a² + b² avec 2ab  = c²

=

(a + b – c) (a + b + c)

(a + b)² + (a – b)²

=

2 (a² + b²)       Trigo >>>

(a + b)² – (a – b)²

=

4 ab

(a + b)² × (a – b)²

=

a4 – 2a²b² + b4

(a + b)²  / (a – b)²

 

pas intéressant

=

(a + b)²

=

(a – b)² + 4ab  (Problème de Viète)

Merci à Mehdi R.

 

(a + b + c)²

=

a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca

(a + b + c + d)²

=

a² + b² + c² + d² + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd

(a + b + c + d + …)²

=

a² + b² + c² + d² + … +  2ab + 2ac + 2ad + … + 2bc + 2bd + … + 2cd + …

Voir Calcul du carré des nombres à n chiffres

 

 

(a + b)² + (b + c)² + (c + a)²

=

=

2 (a² + b² + c² + ab + bc + ca)

(a + b + c)² + a² + b² + c²

(a + b + c)² – (a – b + c)²

=

4 ab + 4 bc

(a + b + c)² – (a – b – c)²

=

4 ab + 4 ac

a² (b – c) + b² (c – a) + c² (a – b)

=

(a – c) (b – a) (c – b)

 

Démonstration

 

(a² + b²)2

=

(a² – b²)2 + (2ab)2

(a + b)2 (a – b)2

=

(a² + b²)2 – (2ab)2

(a² – 2ab – b²) (a² + 2ab – b²)

=

(a² – b²)2 – (2ab)2

a² + ab + b²

=

=

 

Parfois utile, même si trivial

ab

=

(a + 1)b – b

a(b + 1)

=

ab + a

 

 

Identités de Lagrange (dites aussi de Fibonacci – 1202)

L'inversion des signes + et -  ne change pas l'égalité

Voir Somme de carrés/ Autres identités de cette sorte

 

 

a, b, c > 0

a + ab + b + 1

=

(a + 1) (b + 1)

a² – 1

=

(a + 1) (a – 1)

a3 – 1

=

(a – 1) (1 + a + a² )

a3 + 1

=

(a + 1) (1 – a + a² )

a6 – 1

=

(a + 1) (a – 1) (a² + a + 1) (a² – a + 1)

 

<=>

c² = uv

              avec a = c + u et b = c + v

=

<=>

(a – k) (b – k) = k²

=

=

Voir Somme des inverses et généralisation

   ab (a² – b²)

+ bc (b² – c²)

+ ca (c² – a²) 

=

– (a – b) (b – c) (c – a) (a + b + c)

 

 

(1 + x)² – x 

=

1 + x + x²

(1 + x + x²)2 – x² 

=

(1 + x) (1 + x + x² + x3)

(1 + x)2 (1 + x²)

(1 + x + x² + x3)2 – x3

=

(1 +  x + x²) (1 + x² + x3 + x4)

(1 + x + x² + … + xn)2xn

=

(1 + x + x² + … + xn – 1)

(1 + x + x² + … + xn + 1)

 

Démonstration

On pose :

On calcule:

.

 

 

Racine ou puissance 1/2

=

=

Voir Application

=

Exemple

 

Voir suite en Degré supérieur / Calcul avec des radicaux (racines) / Calculs avec les racines carrées

Voir Factorisation des polynômes remarquables / Exemples d'application /

Calcul de la hauteur du pentagone (calculs avec radicaux)

 

 

 

 

Démonstration muette (ou illustrée)

 

*    L'aire du grand carré (a + b) est égale à la somme des aires des deux carrés et des deux rectangles:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

 



*    L'aire du rectangle vertical est égale à la somme des aires du petit carré et des deux rectangles; elle est aussi égale à l'aire d'un grand carré (a²) auquel on retire un plus petit carré (b²).

 

(a + b) (a – b)  = a² – b²

 

Aire du rectangle à gauche = aire e l'équerre à droite.

 

 

Voir Nombre 169  / Construction de a², racine de a, 1/a / Calcul de la racine carrée

 

 

 

Produit de nombres consécutifs

 

*    (n – 1) n (n + 1) = n (n² – 1) = n3 – n

 


 

*    (n – 2) (n – 1) n (n + 1) (n + 2) = n (n4 – 5n2 + 4)

 

*    (n – 3) (n – 2) (n – 1) n (n + 1) (n + 2) (n+3) = n (n6 – 14n4 + 49n2 - 36)

 

Note: ces produits sont divisibles par n, le facteur central, et par k, la quantité de termes (impaire)

Ainsi: 5 x 6 x 7 x 8 x 9 = 15 120 = 7 x 5 x 432

 

 

Voir Calcul mental et factorielles tronquées / Divisibilité des produits de nombres consécutifs

 

 

 

 FORMULE de MOIVRE

 

 

  Suite Formule de De Moivre

 

IDENTITÉS avec complexes

x² + y²

=

(x – i . y)  (x + i . y)

y = 1 =>     x² + 1

=

(x – i)  (x + i)

x = 1 =>     1² + 1

=

(1 – i) (1 + i) = 2

Suite Pages des nombres complexes / Nombre 2

 

 

 

 

Suite

*      Identités pour degré supérieur à 2

*      Cube – Calcul mental

*      Formule du binôme

*      Somme des entiers, des carrés, des inverses…

*      Identité de Brahmagupta

*      Identités fractions

*      Identités trigonométriques

*      Identités nombres complexes

*      Identités entre puissances

*      Utilisation pour calcul de puissances complexes

Voir

*      Application aux multiplications

*      Applications aux divisions des puissances

*      Carré des nombres en aaa…ab

*      Constantes

*      Différences entre puissances

*      Égalités dans les triangles

*      Factorisation selon Fermat

*      FormulairesIndex

*      Identité de Lagrange

*      Identités trigonométriques

*      Isopérimètre

*      Pépites

*      Somme de carrés de nombres consécutifs

*      Somme des entiers, des carrés…

*      Somme et produit – Trouver les deux nombres

*      Tautochronie

*      Théorèmes

Site

*      A Collection of Algebraic Identities – Tito Piezas

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Identite/Ident.htm

 

 

 

Continuité de liens:

 Identité degré 5 transférée