Annonce faite par le propriétaire et webmaster de ce site
Pour information voir le
site: https://www.rivieraantibes.com/fr/immobilier-biot/vente-maison-5-pieces-cagnes-sur-mer-06800-4196512
Contact: Riviera immobilier au +33 (0)4 89 70 02 50
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Humour
|
Belle égalité en rébus
Moins de HAINE égal plus de PAIX |
Une autre égalité déroutante, à
découvrir
|
|
|
|
Voir
Pensées et humour
/ Alphabet
parlant / Paradoxe
du pastis
|
IDENTITÉS REMARQUABLES & Formules à noter Les classiques du collège et
les moins connues (identités ou formules) … Les trois reines (plus une en complexe)
Factorisation des différences de
puissance
Voir Table pour n de 2 à 20
et applications à an – 1 Identité cachée (différence de deux
carrés)
Voir Puissances à étages |
Voir Exemple de technique opératoire avec
les parenthèses / Complexes et
carrés /
Démonstration de la formule
de Héron
|
|
|||
|
(a
+ b) (x + y) |
= |
ax
+ ay + bx+ by |
|
|
(10a
+ b) (10x + y) |
= |
100
ax + 10(ay + bx) + by |
|
|
(a
+ x) (a + y) |
= |
a
(a + x + y) + xy |
|
|
(a
+ b + c) (x + y + z) |
= |
ax + ay + az + bx + by + bz + cx
+ cy + cz |
|
|
(100a
+ 10b + c) (100x + 10y + z) |
= |
10000 ax + 1000 (ay + bx) + 100 (az + by + cx)
+ 10 (bz + cy) + 1 (cz) |
|
Voir Applications au calcul rapide des
multiplications
Curiosités
|
(n + 1)² – (n – 1)² =
4n (n + 2)² – (n – 2)² =
8n (n + 3)² – (n – 3)² = 12n … |
n = 100 101² – 99² = 400 102² – 98² = 800 103² – 97² = 1200 |
|
|
|||
|
a²
+ b² |
= |
½ (a + b)² + ½ (a – b)² |
|
|
a²
+ b² avec
2ab = c² |
= |
(a
+ b – c) (a + b + c) |
|
|
(a
+ b)² + (a – b)² |
= |
2
(a² + b²) Trigo >>> |
|
|
(a
+ b)² – (a – b)² |
= |
4
ab |
|
|
(a
+ b)² × (a – b)² |
= |
a4
– 2a²b² + b4 |
|
|
(a
+ b)² / (a – b)² |
|
pas intéressant |
|
|
|
= |
|
|
|
(a
+ b)² |
= |
(a
– b)² + 4ab (Problème de Viète) |
|
Merci à Mehdi R.
|
(a
+ b + c)² |
= |
a²
+ b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca |
|
(a
+ b + c + d)² |
= |
a² + b²
+ c² + d² + 2ab
+ 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd |
|
(a
+ b + c + d + …)² |
= |
a² + b²
+ c² + d² + … + 2ab + 2ac + 2ad
+ … + 2bc + 2bd + … + 2cd + … |
Voir Calcul du carré des nombres à n
chiffres
|
(a
+ b)² + (b + c)² + (c + a)² |
= = |
2 (a² + b² + c² +
ab + bc + ca) (a + b + c)² + a² +
b² + c² |
|
(a
+ b + c)² – (a – b + c)² |
= |
4
ab + 4 bc |
|
(a
+ b + c)² – (a – b – c)² |
= |
4
ab + 4 ac |
|
a² (b – c) + b² (c – a) + c² (a – b) |
= |
(a – c) (b – a) (c – b) |
Démonstration
|
(a²
+ b²)2 |
= |
(a²
– b²)2 + (2ab)2 |
|
(a
+ b)2 (a – b)2 |
= |
(a²
+ b²)2 – (2ab)2 |
|
(a²
– 2ab – b²) (a² + 2ab – b²) |
= |
(a²
– b²)2 – (2ab)2 |
|
a²
+ ab + b² |
= |
|
|
|
= |
|
Parfois
utile, même si trivial
|
ab |
= |
(a
+ 1)b – b |
|
a(b
+ 1) |
= |
ab
+ a |
Identités de
Lagrange (dites aussi de Fibonacci – 1202)
L'inversion des signes + et - ne
change pas l'égalité
Voir Somme de carrés/ Autres
identités de cette sorte
a, b, c > 0
|
a
+ ab + b + 1 |
= |
(a
+ 1) (b + 1) |
|
a²
– 1 |
= |
(a
+ 1) (a – 1) |
|
a3
– 1 |
= |
(a
– 1) (1 + a + a² ) |
|
a3
+ 1 |
= |
(a
+ 1) (1 – a + a² ) |
|
a6
– 1 |
= |
(a
+ 1) (a – 1) (a² + a + 1) (a² – a + 1) |
|
|
<=> |
c²
= uv avec a = c + u et b =
c + v |
|
|
= |
|
|
|
<=> |
(a – k) (b – k) = k² |
|
|
= |
|
|
|
= |
Voir Somme des inverses
et généralisation |
|
ab (a² – b²) + bc (b² – c²) + ca (c² – a²) |
= |
– (a – b) (b – c) (c – a)
(a + b + c) |
|
(1 + x)² – x |
= |
1
+ x + x² |
|
(1 + x + x²)2
– x² |
= |
(1
+ x) (1 + x + x² + x3) (1
+ x)2 (1 + x²) |
|
(1 + x + x² + x3)2
– x3 |
= |
(1
+ x + x²) (1 + x² + x3 + x4) |
|
(1 + x + x² + … + xn)2 – xn |
= |
(1
+ x + x² + … + xn – 1) (1
+ x + x² + … + xn + 1) |
Démonstration
|
On pose :
On calcule:
|
|
|
= |
|
|
|
= |
Voir Application |
|
|
= |
|
|
Exemple
|
||
Voir suite
en
Degré supérieur / Calcul avec des radicaux (racines) / Calculs avec
les racines carrées
Voir Factorisation des polynômes remarquables / Exemples d'application /
Calcul de la hauteur du
pentagone (calculs avec radicaux)
|
|
|
|
(a + b)² = a² + 2ab
+ b²
(a + b) (a –
b) = a² – b²
Aire du rectangle à
gauche = aire e l'équerre à droite. |
|
Voir Nombre 169 / Construction
de a², racine de a, 1/a / Calcul
de la racine carrée
|
|
|
|
Note: ces produits sont
divisibles par n, le facteur central, et
par k, la quantité de termes
(impaire) Ainsi: 5 x 6 x 7 x 8 x 9 = 15 120 = 7 x 5
x 432 |
|
Voir Calcul mental et factorielles tronquées
/ Divisibilité
des produits de nombres consécutifs
Suite Formule de De Moivre
|
|
|||
|
x² + y² |
= |
(x
– i . y)
(x + i . y) |
|
|
y = 1 => x² + 1 |
= |
(x
– i) (x
+ i) |
|
|
x = 1 => 1² + 1 |
= |
(1 – i)
(1 + i) = 2 |
|
Suite
Pages des nombres complexes / Nombre 2
|
Suite |
|
|
Voir |
|
|
Site |
|
|
Cette page |
Continuité de liens:
Identité degré 5
transférée