NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 13/04/2012 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique
	Algèbre
Débutants Algèbre	IDENTITÉS			Glossaire Algèbre
INDEX Identités	Remarquables	Degré > 2	Trigonométrie	Euler & Riemann
		Spéciales	Puissance 5	x^n – 1
		Sommaire de cette page >>> Identités remarquables >>> Identités (a + b)² = a² + 2ab + b² … >>> Formule de De Moivre >>> Arithmétique >>> Complexe >>> Consécutifs

Belle égalité - 2 N = + 2 P Voir Alphabet parlant

Une autre égalité déroutante, à découvrir Il y autant d'eau dans le pastis que de pastis dans l'eau ?!. Voir Paradoxe du pastis / Humour

IDENTITÉS REMARQUABLES

Les classiques du collège et les moins connues …

Les trois reines (plus une en complexe)

Voir illustrations / Complexes et carrés

IDENTITÉS avec le 2^e degré
a² + b²	=	1/2 (a + b)² + 1/2 (a – b)²
(a + b)² + (a – b)²	=	2 (a² + b²)
(a + b)² – (a – b)²	=	4 ab
(a + b)² x (a – b)²	=	a^4 – 2a²b² + b^4
(a + b)² / (a – b)²		pas intéressant
	=
(a + b + c)²	=	a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca
(a + b)² + (b + c)² + (c + a)²	= =	2 (a² + b² + c² + ab + bc + ca) (a + b + c)² + a² + b² + c²
(a + b + c)² – (a – b + c)²	=	4 ab + 4 bc
(a + b + c)² – (a – b – c)²	=	4 ab + 4 ac
(a – b) (b – c) (c – a)	=	a² (c–b) + b² (a–c) + c² (b–a)
	=	– a² (b–c) + b² (c–a) + c² (a–b)

Identités de Lagrange (dites aussi de Fibonacci – 1202)

Voir Somme de carrés

a² – 1	=	(a + 1) (a – 1)
a^3 – 1	=	(a – 1) (1 + a + a² )
a^3 + 1	=	(a + 1) (1 – a + a² )
a^6 – 1	=	(a + 1) (a – 1) (a² + a + 1) (a² – a + 1)
	<=>	c² = uv avec a = c + u et b = c + v
	=

Voir suite en Degré supérieur

Voir Factorisation des polynômes remarquables / Exemples d'application

Démonstration muette (ou illustrée)
L'aire du grand carré est égale à la somme des aires des deux carrés et des deux rectangles: (a + b)² = a² + 2ab + b² L'aire du rectangle vertical est égale à la somme des aires du petit carré et des deux rectangles; elle est aussi égale à l'aire d'un grand carré (a²) auquel on retire un plus petit carré (b²). (a + b) (a – b) = a² – b²

Voir Nombre 169 / Construction de a², racine de a, 1/a

FORMULE de MOIVRE et d'EULER
Formule de Moivre Autre écriture: Abraham de Moivre (1667 – 1754) Étant âgé, il déclare qu’il lui est nécessaire de dormir chaque nuit ¼ heure de plus que la nuit précédente. La nuit dépassant les 24 heures, il est mort durant son sommeil ! Rapporté par David Wells. Formule d'Euler Euler (1707-1783) >>>

Voir Nombres complexes

IDENTITÉS avec complexes
x² + y²	=	(x – i . y) (x + i . y)
x² + 1	=	(x – i) (x + i)
x^3 + x² + x + 1	=	(x – i) (x + i) (x + 1)
x^3 – x² + x – 1	=	(x – i) (x + i) (x – 1)
x^4 – 1	=	(x – i) (x + i) (x – 1) (x + 1)
x = 1 => 1² + 1	=	(1 – i) (1 + i) = 2

Voir Factorisation avec les complexes / Nombre 2

Consécutifs
(n – 1) n (n + 1) = n (n² – 1) = n^3 – n (n – 2) (n – 1) n (n + 1) (n + 2) = n (n^4 – 5n^2 + 4) (n – 3) (n – 2) (n – 1) n (n + 1) (n + 2) (n+3) = n (n^6 – 14n^4 + 49n^2 - 36) Note: ces produits sont divisibles par n, le facteur central, et par k, la quantité de termes (impaire) Ainsi: 5 x 6 x 7 x 8 x 9 = 15 120 = 7 x 5 x 432

Voir Calcul mental et factorielles tronquées / Divisibilité

Suite	Identités pour degré supérieur à 2 Somme des entiers, des carrés, des inverses…
Voir	Application aux multiplications Applications aux divisions des puissances Constantes Différences entre puissances Égalités dans les triangles Factorisation selon Fermat Identité de Lagrange Identités trigonométriques Isopérimètre Pépites Somme de carrés de nombres consécutifs Somme des entiers, des carrés… Tautochronie Théorèmes
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Identite/Ident.htm

Continuité de liens:

Identité degré 5 transférée