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Humour
Belle égalité en rébus Moins de HAINE égal plus de PAIX |
Une autre égalité déroutante, à
découvrir |
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Voir
Pensées et humour
/ Alphabet
parlant / Paradoxe
du pastis
IDENTITÉS REMARQUABLES & Formules à noter Les classiques du collège et
les moins connues (identités ou formules) … Les trois reines (plus une en complexe) Factorisation des différences de
puissance Voir Table pour n de 2 à 20
et applications à an – 1 Identité cachée (différence de deux
carrés)
Voir Puissances à étages |
Voir Exemple de technique opératoire avec
les parenthèses / Complexes et
carrés /
Démonstration de la formule
de Héron
a²
+ b² |
= |
½ (a + b)² + ½ (a – b)² |
|
(a
+ b)² + (a – b)² |
= |
2
(a² + b²) Trigo >>> |
|
(a
+ b)² – (a – b)² |
= |
4
ab |
|
(a
+ b)² x (a – b)² |
= |
a4
– 2a²b² + b4 |
|
(a
+ b)² / (a – b)² |
|
pas intéressant |
|
|
= |
|
|
(a
+ b)² |
= |
(a
– b)² + 4ab (Problème de Viète) |
|
(a
+ b + c)² |
= |
a²
+ b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca |
|
(a
+ b)² + (b + c)² + (c + a)² |
= = |
2 (a² + b² + c² +
ab + bc + ca) (a + b + c)² + a² +
b² + c² |
|
(a
+ b + c)² – (a – b + c)² |
= |
4
ab + 4 bc |
|
(a
+ b + c)² – (a – b – c)² |
= |
4
ab + 4 ac |
|
a² (b – c) + b² (c – a) + c² (a – b) |
= |
(a – c) (b – a) (c – b) |
|
Démonstration
a²
+ ab + b² |
= |
|
|
= |
|
Parfois
utile, même si trivial
ab |
= |
(a
+ 1)b – b |
a(b
+ 1) |
= |
ab
+ a |
Identités de
Lagrange (dites aussi de Fibonacci – 1202)
L'inversion des signes + et - ne
change pas l'égalité
Voir Somme de carrés/ Autres
identités de cette sorte
a²
– 1 |
= |
(a
+ 1) (a – 1) |
a3
– 1 |
= |
(a
– 1) (1 + a + a² ) |
a3
+ 1 |
= |
(a
+ 1) (1 – a + a² ) |
a6
– 1 |
= |
(a
+ 1) (a – 1) (a² + a + 1) (a² – a + 1) |
|
<=> |
c²
= uv avec a = c + u et b =
c + v |
|
= |
|
|
<=> |
(a – k) (b – k) = k² |
|
= |
|
|
= |
Voir Somme des inverses
et généralisation |
Racine ou
puissance 1/2
|
= |
|
|
= |
Voir Application |
|
= |
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Exemple |
Voir suite
en
Degré supérieur / Racines
Voir Factorisation des polynômes remarquables / Exemples d'application /
Calcul de la hauteur du
pentagone (calculs avec radicaux)
|
|
(a + b)² = a² + 2ab
+ b²
(a + b) (a –
b) = a² – b² Aire du rectangle à
gauche = aire e l'équerre à droite. |
Voir Nombre 169 / Construction
de a², racine de a, 1/a / Calcul
de la racine carrée
|
|
Note: ces produits sont
divisibles par n, le facteur central, et
par k, la quantité de termes
(impaire) Ainsi: 5 x 6 x 7 x 8 x 9 = 15 120 = 7 x 5
x 432 |
Voir Calcul mental et factorielles tronquées
/ Divisibilité
des produits de nombres consécutifs
Suite Formule de De
Moivre
x² + y² |
= |
(x
– i . y)
(x + i . y) |
|
y = 1 => x² + 1 |
= |
(x
– i) (x
+ i) |
|
x = 1 => 1² + 1 |
= |
(1 – i)
(1 + i) = 2 |
|
Suite
Pages des nombres complexes / Nombre 2
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Identité degré 5
transférée