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ÉQUATIONS

La recherche de leurs solutions a marqué plusieurs étapes dans la vie des nombres. On a cherché des nombres entiers, réels puis imaginaires (complexes), etc.

Houp! Tout cela m'a toujours parut très compliqué!

Alors, allez voir les sujets suivants:

Initiation aux quatre opérations

SOS – Équations débutant

Techniques de base de l'algèbre

TOUR D'HORIZON – Une inconnue
>>>	1^ER DEGRÉ ax + b = 0	Solution simple.
>>>	QUADRATIQUE ax² + bx + c = 0	Connue depuis les Babyloniens en 1600 av. J.-C. Voir Puzzle du fermier
>>>	CUBIQUE ax^3+ bx²+...	Résolu à la Renaissance par Scipio del Ferro et Niccolo Fontana dit Tartaglia et publié par Girolamo Cordano en 1545. Voir Nombre 2,094
	QUARTIQUE ax^4+ bx^3+...	Résolu par Ludovico Ferrari et publié par Cordano son maître dans le même ouvrage que ci-dessus. La formule est particulièrement compliquée.
	QUINTIQUE ax^5+ bx^4+ ...	Pas de solution analytique. En 1770, Joseph-Louis Lagrange montre que pour résoudre les équations quadratiques, cubiques et quartiques, on utilise le même artifice. Il ne marche pas pour le cinquième degré. Mais existe-t-il un truc semblable utilisant les arrangements et permutations. Personne ne trouva. En 1824, Niels Hendrick Abel (20 ans), puis Évariste Galois, en 1831 (20 ans), prouvent séparément qu'aucune formule n'existe. Plus précisément >>> Voir Naissance de l'algèbre moderne / Résolution d'un cas particulier

Théorème d'Abel ou d'Abel-Ruffini

On s'intéresse aux polynômes P(x) de degré n et à l'équation P(x) = 0. L'équation du 5^e degré n'a pas de solution analytique. Il existe des polynômes de degré supérieur ou égal à cinq et à coefficients complexes dont les racines ne s'expriment pas par radicaux. Le groupe symétrique Sn n'est pas solvable pour n > 4. Théorème de d'Alembert-Gauss: une équation de degré cinq à coefficients complexes admet toujours au moins une solution, mais la racine ne s'exprime pas toujours par radical. Plus généralement, ce théorème indique qu'une équation à coefficients entiers, rationnels, réels ou complexes admet au moins une racine complexe. Il n'est pas toujours possible d'exprimer cette racine à partir des coefficients du polynôme, de la valeur 1, des quatre opérations, et de l'extraction des racines nièmes (radicaux). Il existe de méthodes numériques qui permettent la recherche des racines quel que soit le degré du polynôme, comme la méthode de Newton. Méthodes numériques, car les calculs sont réalisés sur de nombres. La formulation littérale (algébrique, avec des lettres …) n'est possible, systématiquement, que pour le polynôme de petit degré: 2, 3 et 4. La formule fait intervenir des racines comme dans le cas du deuxième degré. Historique 1799 – Paolo Ruffini montre qu'il n'y a pas de solution pour une équation quintique. 1824 – Niels Henrik Abel l'a démontré 1831 – Évariste Galois donnera une condition nécessaire et suffisante d'expression des racines sous forme de radicaux. Il montre que ce n'est pas le degré d'une équation qui mesure la difficulté de la résoudre mais c'est la nature de son groupe.

TOUR D'HORIZON – Deux inconnues
>>>	ax + by + c = 0	Si le  le PGCD de a et b divise le nombre c, l'équation possède une infinité de solutions.
>>>	ax + by + c = 0 a'x + b'y + c' = 0	Résolution des systèmes d'équations. Ce qui nécessite autant d'équations distinctes que d'inconnues.

TOUR D'HORIZON – Autres: Diophantienne, Pell …
>>>	Autres formes	Voir le lien indiqué qui conduit à "Glossaire et index"

HISTORIQUE

Sumériens La méthode de résolution des équations du second degré était déjà connue des Sumériens, aux environs de 2000 av. J.-C.  Au XVI^e siècle Les mathématiciens italiens Niccolò Tartaglia (1499-1557) et Jérôme Cardan (1501-1576) découvrirent des formules similaires, en utilisant des racines carrées et des racines cubiques, pour résoudre des équations du troisième et du quatrième degré (équations qui font intervenir les puissances trois et quatre de l'inconnue). Par la suite Les mathématiciens cherchèrent sans succès durant plusieurs siècles des formules analogues pour les équations du cinquième degré. Au début du XIXe siècle Les mathématiciens Paolo Ruffini, Niels Henrik Abel (1802-1829) et Évariste Galois (1811-1832) démontrèrent que ces formules n'existaient pas. Leurs travaux donnèrent naissance à une branche importante de l'algèbre moderne : la théorie des groupes, qui étudie la symétrie d'une manière générale, et en particulier celle des racines des polynômes. Voir Groupes

ÉCRITURE des équations
Exemple de problème	Traduction en équation
Énoncé Trouvez le nombre tel que le double de son carré diminué de cinq fois lui-même donne vingt-cinq Solutions -2,5 et 5	Moderne	2 x² – 5 x = 25
	Nicolas Chuquet 1470	2^2 m 5^1 égault a 25
	Cardan 1545	duo quad.m qumque reb. aequalis 25
	Stiffel 1525	2z aequatus 5x + 25
	Pierre de la Ramée 1586	2q – 5l aequatus sit 25
	Harriot 1631	2au – 5a = 25
	Descartes 1637	2zz – 5z ¥ 25

D'après Encyclopédie des jeunes - Larousse

Graphique de cette équation
Les racines (– 2,5 et 5) se trouvent à l'intersection de l'axe des x avec la courbe.

Suite	Équation – Glossaire et index Techniques de base Exercices simples Voir haut de page
Voir	Algorithme d'Héron Équation de Pell Méthode de Newton
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