NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Algèbre

 

Débutants

Équations

ÉQUATIONS

 

Glossaire

Équations

2e degré

 

 

INDEX

Algèbre

 

Généralités

Techniques de base

Premier degré

Deuxième degré

Troisième degré

Deux inconnues

Deux équations ou plus

Déterminant

 

Sommaire de cette page

>>> Tour d'horizon

>>> Historique

>>> Théorème d'Abel ou d'Abel-Ruffini

>>> Écriture

 

 

 

 

ÉQUATIONS

 

La recherche de leurs solutions a marqué plusieurs étapes dans la vie des nombres. On a cherché des nombres entiers, réels puis imaginaires (complexes), etc.

 

Houp! Tout cela m'a toujours parut très compliqué!

Alors, allez voir les sujets suivants:

*    Initiation aux quatre opérations

*    SOS – Équations débutant

*    Techniques de base de l'algèbre

 

 

TOUR D'HORIZON – Une inconnue

>>>

 1ER DEGRÉ

 

ax + b = 0

 

*    Solution simple.

>>>

QUADRATIQUE

 

ax² + bx + c = 0

 

*    Connue depuis les Babyloniens en 1600 av. J.-C.

 

Voir Puzzle du fermier

>>>

CUBIQUE

 

ax 3 + bx²+...

 

*    Résolu à la Renaissance par Scipio del Ferro et Niccolo Fontana dit Tartaglia et publié par Girolamo Cordano en 1545.

Voir Nombre 2,094

 

QUARTIQUE

 

ax4 + bx3 +...

 

*    Résolu par Ludovico Ferrari et publié par Cordano son maître dans le même ouvrage que ci-dessus.

*    La formule est particulièrement compliquée.

Voir Résolution par tableur

 

QUINTIQUE

 

ax5 + bx4 + ...

*    Pas de solution analytique.

*    En 1770, Joseph-Louis Lagrange montre que pour résoudre les équations quadratiques, cubiques et quartiques, on utilise le même artifice. Il ne marche pas pour le cinquième degré. Mais existe-t-il un truc semblable utilisant les arrangements et permutations. Personne ne trouva.

*    En 1824, Niels Hendrick Abel (20 ans), puis Évariste Galois, en 1831 (20 ans), prouvent séparément qu'aucune formule n'existe. Plus précisément >>>

 

Voir Naissance de l'algèbre moderne / Résolution d'un cas particulier / Symétries et solvabilité des équations / Hermite

 

 

 

 

TOUR D'HORIZON – Deux inconnues

>>>

 

ax + by + c = 0

 

*    Si le  le PGCD de a et b divise le nombre c, l'équation possède une infinité de solutions.

>>>

 

ax  + by  + c = 0

a'x + b'y + c' = 0

 

*    Résolution des systèmes d'équations.

*    Ce qui nécessite autant d'équations distinctes que d'inconnues.

 

 

TOUR D'HORIZON – Autres: Diophantienne, Pell …

>>>

 

Autres formes

*    Voir le lien indiqué qui conduit à  "Glossaire et index"

Voir Équations avec des radicaux

 

 

 

 

HISTORIQUE

 

 Sumériens

*    La méthode de résolution des équations du second degré était déjà connue des Sumériens, aux environs de 2000 av. J.-C. et Babyloniens vers 1700 av. J.-C. 

 

Au XVIe siècle

*    Les mathématiciens italiens Niccolò Tartaglia (1499-1557) et Jérôme Cardan (1501-1576) découvrirent des formules similaires, en utilisant des racines carrées et des racines cubiques, pour résoudre des équations du troisième et du quatrième degré (équations qui font intervenir les puissances trois et quatre de l'inconnue).

*    Ludovico Ferrari (1522-1565), élève de Cardan, aura raison du quatrième degré en 1540.

 

Par la suite

*    Les mathématiciens cherchèrent sans succès durant plusieurs siècles des formules analogues pour les équations du cinquième degré.

 

Au début du XIXe siècle

*    Les mathématiciens Paolo Ruffini, Niels Henrik Abel (1802-1829) et Évariste Galois (1811-1832) démontrèrent que ces formules n'existaient pas. Leurs travaux donnèrent naissance à une branche importante de l'algèbre moderne :

la théorie des groupes,

 

qui étudie la symétrie d'une manière générale, et en particulier celle des racines des polynômes.

Voir Groupes

 

Historique

 

1er degré

Linéaire

Fonction affine

 

2e (second)

Quadratique

 

 

3e

Cubique

 

4e

Quartique

 

5e et +

Quintique

 

 

 

Théorème d'Abel ou d'Abel-Ruffini

 

On s'intéresse aux polynômes P(x) de degré n et à l'équation P(x)  = 0.

 

L'équation du 5e degré n'a pas de solution analytique.

 

Il existe des polynômes de degré supérieur ou égal à cinq et à coefficients complexes dont les racines ne s'expriment pas par radicaux.

 

Le groupe symétrique Sn n'est pas solvable pour n > 4.

 

*    Théorème de d'Alembert-Gauss: une équation de degré cinq à coefficients complexes admet toujours au moins une solution, mais la racine ne s'exprime pas toujours par radical.

Plus généralement, ce théorème indique qu'une équation à coefficients entiers, rationnels, réels ou complexes admet au moins une racine complexe.

*    Il n'est pas toujours possible d'exprimer cette racine à partir

*      des coefficients du polynôme,

*      de la valeur 1,

*      des quatre opérations, et

*      de l'extraction des racines nièmes (radicaux).

*    Il existe de méthodes numériques qui permettent la recherche des racines quel que soit le degré du polynôme, comme la méthode de Newton. Méthodes numériques, car les calculs sont réalisés sur de nombres.

*    La formulation littérale (algébrique, avec des lettres …) n'est possible, systématiquement, que pour le polynôme de petit degré: 2, 3 et 4. La formule fait intervenir des racines comme  dans le cas du deuxième degré.

 

Historique

 

*    1799 – Paolo Ruffini  montre qu'il n'y a pas de solution pour une équation quintique.

*    1824 – Niels Henrik Abel l'a démontré en utilisant un raisonnement par l'absurde.

*    1831 – Évariste Galois donnera une condition nécessaire et suffisante d'expression des racines sous forme de radicaux. Il montre que ce n'est pas le degré d'une équation qui mesure la difficulté de la résoudre mais c'est la nature de son groupe.

 

Abel démontre qu'il n'existe pas de formule permettant la résolution systématique des équations quintiques. Il essaie de caractériser les solutions lorsqu'elles existent. Mort trop tôt, c'est Galois qui va s'attaquer à cette tâche. Il aura l'idée de traiter le problème via les symétries des solutions des équations. Jusqu'au degré quatre, les symétries sont "sages", régulières; par contre, à partir de cinq, "ça dérape!".

 

 

 

ÉCRITURE des équations

Exemple de problème

Traduction en équation

 

Énoncé

 

Trouvez le nombre tel que

 

*      le double de son carré

*      diminué de cinq fois lui-même

*      donne vingt-cinq

 

Solutions

 

-2,5  et  5

Moderne

2 x² – 5 x = 25

Nicolas Chuquet

1470

22 m 51 égault a 25

Cardan

1545

duo quad.m qumque reb.

 aequalis 25

Stiffel

1525

2z aequatus 5x + 25

Pierre de la Ramée

1586

2q – 5l aequatus sit 25

Harriot

1631

2au – 5a = 25

Descartes

1637

2zz – 5z ¥ 25

 D'après Encyclopédie des jeunes - Larousse

 

 

Graphique de cette équation (ci-dessus)

Les racines (– 2,5 et 5) se trouvent à l'intersection

de l'axe des x avec la courbe.

 

 

 

 

Suite

*    ÉquationGlossaire et index

*    Techniques de base

*    Exercices simples

*    Voir haut de page

Voir

*    Algorithme d'Héron

*    Équation de Pell

*    Les 17 équations qui ont changé le monde

*    Méthode de Newton

*    Puissance quatrième

*    Structure algébriques et équations

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*    http://villemin.gerard.free.fr/ThNbDemo/EqaGene.htm