NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>>  En résumé

>>>  Approche

>>>  Doublet (détails)

>>>  Bilan

 

                                                                                                                                           

 

 

SUDOKU - DOUBLETS

 

 

Dans un premier temps, une grille de Sudoku se résout en cherchant les possibilités évidentes pour placer un chiffre. Puis, on en passe par l'inscription des chiffres possibles dans les cases.

 

C'est à ce stade qu'intervient le principe des tiroirs; principe aménagé au cas du Sudoku.

 

Comment éliminer des chiffres sur la base d'observations de doublets ou de triplets de chiffres?

 

La rencontre de doublets est extrêmement fréquente et l'identification des doublets est indispensable pour résoudre les grilles de Sudoku.

 

 

En résumé

 

*    Après inspection, les cases orange peuvent contenir l'un des nombres indiqués en petit. Que peut-on déduire de cette configuration?

 

 

*    Si deux cases contiennent seulement deux nombres, ces nombres peuvent être éliminés des autres cases où ils apparaissent.

*    Il existe des variantes explorées ci-dessous.
 

 

 

Avec ce résumé vous savez tout. Continuez la lecture pour approfondir le sujet.

 

 

APPROCHE – Principe des tiroirs généralisé

 

Rappel

PRINCIPE DES TIROIRS

 

Si j'ai trois balles à placer dans deux tiroirs …

 

 

Quelle que soit la manière de s'y prendre. On observe qu'il y a toujours au moins deux balles dans un tiroir (2 ou 3).

 

 

Ce qui est logique car au mieux je mets une balle dans chaque tiroir et quand vient le moment de placer la troisième, elle ira dans l'un des tiroirs. Or, il y a déjà une balle, ce qui fera deux balles dans l'un des tiroirs.

 

 

Trois balles dans deux tiroirs.

Voici les quatre cas possibles:

 

 

Tiroir 1

Tiroir 2

cas 1

 

cas 2

cas 3

cas 4

 

 

 

Vous constatez qu'il y a toujours au moins deux balles dans un des tiroirs (en rouge), l'un ou l'autre.

 

 

SUDOKU

 

 

Deux règles s'ajoutent au Sudoku:

*      Nous devons absolument mettre un objet de chaque type dans chaque tiroir

*      Mais seulement là où l'objet peut y être logé.

 

Voici une illustration imagée qui aidera à comprendre le principe …

                 

 

Illustration

 

 

Ranger les outils à raison de un par compartiment.

 

Résolution:

*        Marteau et tournevis peuvent se loger dans n'importe lequel des quatre compartiments.

*        Mais agrafeuse et loupe logent seulement dans les compartiments C et D.

*        Ne restent que A et B pour marteau et tournevis.

*        Je place le marteau dans l'un et le tournevis dans l'autre.

*        L'agrafeuse va bien en C, et la loupe loge sans difficulté en D, ou l'inverse.

*        Conclusion: marteau et tournevis sont en A et B et nulle par ailleurs.

 

 

Évident! Oui, eh bien transposons au Sudoku.

 

Mettre les chiffres 1, 2, 3 et 4 dans les cases, un par case et selon les possibilités de rangement indiquées pour chaque case.

 

12

12

123

124

 

Les chiffres 1 et 2 peuvent aller dans l'une des quatre cases. Bien!

Mais si je place l'un d'eux en première case, l'autre est automatiquement et obligatoirement en deuxième case. Alors, aucun autre chiffre ne peut aller dans ces deux premières cases.

Les chiffres 1 et 2 sont donc forcément dans ces deux premières cases et nulle part ailleurs.

Vous pouvez effacer les chiffres 1 et 2 dans les autres cases.

 

12

12

123

124

 

 

 

DOUBLET

 

Le constat  exposé ci-dessus permet  de résoudre certains cas au Sudoku.

 

Un  doublet permet d'éliminer la présence de ses propres chiffres sur le reste de la ligne, de la colonne ou de la région.

Le 1 et le 2 (doublet) est bien dans les deux premières cases et nulle part ailleurs.

 

 

Dans le cas qui suit

 

12

12

1234

…

 

 

Le doublet (1,2) est  présent dans les deux premières cases, alors ces deux chiffres sont là et pas ailleurs

 

12

12

1234

…

 

Voyons tout cela en détails…

 

 

CAS DU DOUBLET (étude détaillée)

CASES PARFAITES

(Deux chiffres dans deux cases)

CHIFFRES CONCENTRÉS

(Aucun des deux chiffres ailleurs)

 

Un doublet est formé de deux chiffres dans deux cases, sans autres chiffres dans les mêmes cases. Formées ainsi, les cases sont parfaites .

 

Lorsque les chiffres du doublet ne sont présents que dans deux cases, ils sont dits concentrés:

 

=> Dans ce cas les deux chiffres sont là et pas ailleurs (de manière évidente).

 

 

 

Chiffres du doublet repérés en rouge

 

12

12

34

56

 

Conclusion évidente

12

12

34

56

Les chiffres 1 et 2 sont dans les deux premières cases

 

Explication en choisissant 1 puis 2 pour la première case

12

12

34

56

12

12

34

56

 

 

 

CASES PARFAITES

(Deux chiffres dans deux cases)

CHIFFRES DILUÉS

(Les deux chiffres sont aussi ailleurs)

Lorsque les chiffres du doublet sont aussi présents dans d'autres cases, ils sont   dilués:

 

=> Dans ce cas les deux chiffres sont là malgré tout et pas ailleurs.

 

 

En effet, en essayant 1 en première case, le 2 vient en deuxième case éliminant la possibilité d'un 1 ou d'un 2 plus loin sur la ligne.

Même chose avec deux.

Dans les deux cas les 1 et 2 ne sont pas ailleurs.

 

Chiffres du doublet repérés en rouge

 

12

12

134

256

 

Conclusion

12

12

134

256

 

Explication en choisissant 1 puis 2 pour la première case

12

12

134

256

12

12

134

256

 

 

 

CASES ALTÉRÉES

(les deux chiffres ne sont pas seuls dans leurs cases)

CHIFFRES CONCENTRÉS

(Aucun des deux chiffres ailleurs)

Lorsque les cases du doublet contiennent d'autres chiffres, les cases sont altérées:

 

=> Si les chiffres du doublet sont concentrés, alors dans ce cas les deux chiffres sont là malgré tout et pas ailleurs.

 

 

Le 1 ne peut être que dans la première ou la deuxième case. J'essaie les deux cas.

 

 

Chiffres du doublet repérés en rouge

 

124

125

34

56

 

Conclusion

12

12

34

56

 

Explication en choisissant 1 puis 2 pour la première case

124

125

34

56

124

125

34

56

 

 

 

CASES ALTÉRÉES

(les deux chiffres ne sont pas seuls dans leurs cases)

CHIFFRES DILUÉS

(Les deux chiffres sont aussi ailleurs)

Si les cases sont altérées et les chiffres dilués:

 

=> Alors, pas de conclusion possible.

 

 

D'ailleurs pourquoi le doublet serait-il identifié avec les deux premières cases plutôt qu'avec d'autres où apparaissent ces chiffres du doublet?

 

Chiffres du doublet repérés en rouge

 

124

125

134

536

 

Conclusion

124

125

134

536

 

Explication en choisissant 1 puis 2 pour la première case

124

125

134

536

124

125

134

536

124

125

134

536

Pas de conclusion sur ce dernier cas!

 

 

BILAN  - TABLEAU Récapitulatif

 

Revoyons en un coup d'œil les trois cas de conclusion possibles.

Les chiffres 1 et 2 du doublet sont bien dans les deux premières cases et pas ailleurs.

 

Parfait concentré

12

12

34

56

 

Parfait dilué

12

12

134

256

 

Altéré concentré

12 4

126

34

56

Voyons tous les cas en un schéma.

Dans tous les cas, il est possible de conclure que les chiffres du doublet sont dans leurs cases, sauf dans le cas altéré dilué.

 

 

 

 

En pratique, on peut conclure et isoler les deux chiffres du doublet dans deux cases.

Lorsque

-   Le doublet est pur.

-   Les chiffres du doublet bavent dans les autres cases.

-   Le doublet est habité d'autres chiffres

Mais pas si le doublet bave et s'il est habité d'autres chiffres. Alors c'est n'importe quoi.

 

 

Chiffres

Cases du doublet

PARFAITES

ALTÉRÉES

CONCENTRÉS

OUI

OUI

DILUÉS

OUI

NON

 

 

OUI, les chiffres sont dans les cases du doublet
et pas ailleurs.

 

Si le doublet est parfait (pas d'autres chiffres dans ses cases), même si ses chiffres se retrouvent aussi ailleurs.

 

Ou

 

Si les chiffres sont concentrés dans leurs cases, même si elles sont aussi occupées par d'autres chiffres.

 

Bilan

Le cas du doublet est assez simple, n'est-ce pas?

Le cas du triplet n'est pas plus compliqué.

Sauf que le triplet peut se présenter sous forme complète ou tronquée.

 

 

 

 

Suite

*    Triplet au Sudoku

Voir

SUDOKU

*    Orientation

*    Principe des Tiroirs

*    Aide informatique - Tableur

*    Aide informatique - Programme

*    Carré latin

Aussi

*    Principe des Tiroirs

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