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Topologie

 

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Général

Transformation du Boulanger

 

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Général

 

 

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Topologie

 

Sommaire de cette page

>>> Principe de la transformation

>>> Transformation du boulanger

>>> Transformation photomaton

 

 

 

 

 

 

Principe de la transformation

 

Pâte feuilletée:

*    Imaginons un pâtissier qui étend sa pâte et la plie, la roule à nouveau, etc.

*    Une figure dessinée sur la pâte initiale va se couper, se déformer. Un point, par référence à un autre va se déplacer. La vitesse de déplacement est mesurée par les exposants de Lyapunov.

 

Illustration:

*    On a simplifié le processus en étirant la pâte dans une seule dimension et, on garde des surfaces constantes.

 

 

 

 

 

Dans cet exemple,

*    on aura deux coefficients:

*       l'un pour la vitesse de séparation horizontale et

*       l'autre pour celle verticale.

 

Généralisation:

*    Cet exemple de la pâte feuilletée illustre la marche des phénomènes chaotiques dont la principale caractéristique est d'être sensible aux conditions initiales: des points voisins peuvent subir des aventures totalement différentes. Évidemment, cet exemple à deux dimensions peut être généralisé à n dimensions.
 

 

 

 

 

 

Transformation du boulanger

 

*    C'est la même que ci-dessus, avec retournement de la partie qui vient en dessous:

 

 

 

 

*    Avec une découpe de la figure initiale en 256 x 256 cellules et un traitement par ordinateur, si on applique la transformation 17 fois on retrouve la figure initiale.

 

*    Avec une taille différente, le cycle serait différent.

Taille

Cycles

16

x

16

9

18

x

18

15 300

20

x

20

1 244 880

240

x

160

27 720 023 335 722 958 656

256

x

256

17

 

*    Lorsque les cycles sont grands, on peut voir apparaître l'image floue pour certaines valeurs dans le cycle.
 

 

 

Transformation photomaton

 

*    Avec une image de résolution n,  on forme 4 images de résolution n/4.

 

  

 

 

*    Là aussi, on observe un retour à l'image initiale après un nombre donné de transformations. 

 

Taille

Cycles

16

x

16

4

18

x

18

8

20

x

20

16

240

x

160

 

256

x

256

8

 

 

 

 

 

Suite

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Voir

*    Morphisme

*    Homothétie

*    Théorème de Thalès

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