Approche

 

*        Ce mot compliqué est, en fait, un synonyme de changement d'échelle.

*        C'est la transformation d'une figure en réduisant ou augmentant toutes les mesures dans une proportion donnée.

*        Sorte de zoom de centre O et de rapport k.

*        Agrandissement et réduction sont des homothéties.

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Voir Homothétie – Débutant

 

Définition

 

Homothétie: un point O du plan et k un réel, on appelle homothétie de centre O et de rapport k, la transformation qui à tout point M du plan associe le point M’ tel que   

 

 

 

Types

 

Avec k  > 1, l’homothétie est un agrandissement (zoom-avant);

 

Avec k  = 1, l’homothétie est l’identité I (lettre grand I);

 

Avec k  < 1, l’homothétie est une réduction (zoom-arrière);

 

Avec k = - 1, l’homothétie est la rotation de centre O et d’angle , appelée symétrie centrale de centre O.

Voir Symétrie

 

Propriétés

 

*        Si M’est l'image de M dans une homothétie de centre O, les points M, O et M' sont alignés.

*        L'homothétie de centre O, de rapport k  1 admet un seul invariant, le point O.

*        Pour qu'une application (transformation) soit une homothétie de rapport k  0 et  1, il faut et il suffit que tout coupe de points (A, B) se transforme suivant un couple de points (A', B') tel que

*        L'homothétie est une isométrie:

*    L'image d'une droite D est une droite D' parallèle à D.

*    L'homothétie conserve les angles.

*    L'homothétie conserve les parallèles; c'est une similitude sans rotation.

*    L'homothétie conserve le type de figure: un carré reste un carré, un cube reste un cube, etc.

*    L'homothétie conserve le barycentre

*        Pour deux figures homothétiques dans un rapport k:

*    Les longueurs sont multipliées par k,

*    Les aires par k², et

*    Les volumes par k3.

*        Dans le cas du cercle ou de la sphère, le centre-image est l'homothétique du centre du cercle d'origine.

 

 

 

 

Similitude

et homothétie

 

      Triangle origine       Similitude directe   Similitude indirecte

 

     Homothétie avec centre sur la figure (simple grossissement)

     Homothétie avec centre hors de la figure
(grossissement plus glissement)

Voir  Exemple avec le triangle des médianes

 

 

 

Composées

 

*        La composée de deux homothéties de rapport k et k' est

*    une translation si k.k' =1, ou alors

*    une homothétie de rapport k.k'

 

*        La composée d'une homothétie de rapport k et d'une translation est une homothétie de rapport k; cette transformation composée est appelée dilatation

*    L'ensemble des dilatations muni de la loi de composition des transformations est un groupe.

 

*        La composée d'une homothétie et d'un déplacement est une similitude directe.

 

Famille

 

*        L'homothétie est une application affine bijective.

 

Application

 Bijection

 Transformation

 Similitude

 Homothétie

 

Voir Théorème de Thalès, similitude

 

 

 

Anglais

 

Dilatation: a dilatation of the plane from O with scale factor c (c  0) is the transformation of the plane in which the origin O is mapped to itself and a point P is mapped to the point P', where O, P and P' are collinear and
          OP' = c.OP.

This is given in terms of Cartesian coordinates by
x' = c.x and y' = c.y

 

Note: attention au sens de dilatation en français

 

En savoir plus

Voir suite en cliquant sur les mots en haut de page

 

*           Anamorphose

*           DicoMot

*           Éléments de géométrie

*           Fractales

*           GéométrieIndex

*           Théorème de Thales

*           Transformation du boulanger

*           Trapèze et homothétie

 

Sites

*           Transformations - Wikipédia