NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 12/10/2010 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique
	FRACTALES
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	Sommaire de cette page >>> Approche – Définitions >>> Notion de fractales >>> Objet fractal >>> Anglais

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FRACTALES

Objets qui se répètent à l'infini.

En zoomant une partie, le tout refait son apparition.

Autosimilarité à toutes les échelles.

Le même objet est observable même en augmentant l'échelle.

Bizarrerie mathématique! Objets pathologiques comme les qualifient certains.

Je crois que le savoir scientifique a des propriétés fractales, quelle que soit l'étendue de nos connaissances, ce qui en reste, aussi petit que cela paraisse, est aussi infiniment complexe que la totalité l'était au début. Voilà, je crois le secret de l'Univers.

Isaac Azimov

Cité par Clifford Pickover – Oh, encore des nombres - Dunod

Voir Pensées & humour

APPROCHE – Définitions
Vocabulaire Fractal, fractale, adjectif: Un objet fractal, une image fractale. Une fractale, nom féminin La construction d'une fractale est finalement assez simple. Définition Larousse fractal, e, als adjectif (latin fractus, brisé) Se dit d'objets mathématiques dont la création ou la forme ne trouve ses règles que dans l'irrégularité ou la fragmentation, et des branches des mathématiques qui étudient de tels objets. Objet fractal. Géométrie fractale. La nature offre de nombreux exemples de formes présentant un caractère fractal : flocons de neige, ramifications des bronches et bronchioles, des réseaux hydrographiques, etc. Définition Encarta Fractales, figures géométriques de structure complexe dont la création ou la forme met en jeu des règles utilisant le fractionnement. Les fractales sont à la base d’un nouveau système de géométrie permettant de représenter des objets très irréguliers tels que les reliefs montagneux, les amas galactiques ou les côtes rocheuses très découpées.	Fractales – un aperçu. Pieuvre Fractale
Définition Wikipédia On nomme figure fractale ou "fractale" par substantivation de l'adjectif (ou encore en anglais fractal), une courbe ou surface de forme irrégulière ou morcelée qui se crée en suivant des règles déterministes ou stochastiques impliquant une homothétie interne. Le terme « fractale » est un néologisme créé par Benoît Mandelbrot en 1974 à partir de la racine latine fractus, qui signifie brisé, irrégulier. Dans la « théorie de la rugosité » développée par Mandelbrot, une fractale désigne des objets dont la structure est liée à l'échelle. Ma définition Objet géométrique obtenu par exploration du comportement d'une fonction en chaque point d'un plan (par exemple). Sa représentation graphique montre des formes esthétiques qui se reproduisent quelle que soit l'échelle de représentation (autosimilarité ou homothétie interne).

Voir Réflexions sur les fractales

NOTION DE FRACTALES
Habituellement Les formes classiques de la géométrie – triangles, cercles, sphères … – perdent leur structure classique lorsqu'elles sont agrandies dans une fenêtre. En "zoomant", apparaît un morceau particulier de la figure. Ce seul morceau ne caractérise plus l'objet d'origine. Avec ce segment, il est impossible de reconstituer le triangle et même d'annoncer qu'il provient d'un triangle.	Triangle Cette seule zone agrandie ne permet pas de dire qu'elle provient d'un triangle. Voir introduction sympathique en Sauts de grenouille

Benoît Mandelbrot inventa le terme "fractale" pour décrire un type d'objet très différent: un objet qui continue à présenter une structure détaillée sur un grand éventail d'échelles. Ces objets fractals prennent de l'intérêt lorsque les motifs observés se répètent à toutes les échelles: idée d'autosimilarité. Une ligne de côte est un bon exemple d'un objet fractal présent dans la nature: chaque baie possède ses baies ou caps plus petits. La boite de " vache qui rit " montre une vache dont la boucle d'oreille et une boite de " vache qui rit ", et ainsi de suite ad infinitum.

Chaque disque est percé de deux disques, lesquels sont percés de deux disques, lesquels sont percés …

OBJET FRACTAL
Le concept de fractal a été introduit par Benoît Mandelbrot en 1975 dans le but d'étudier les processus et les formes irrégulières ou / et fragmentées: que l'on trouve dans la nature éponges, nuages, trous du fromage de gruyère, etc. ou en mathématique courbes de Peano, courbe de von Koch, ensemble triadique de Cantor, ensemble de Mandelbrot, attracteurs, etc.	Si on mesure la longueur d'un contour, par exemple une côte: sur une carte donnée et sur la même carte, à des échelles de plus en plus fines, on trouve des longueurs différentes. En poussant ce procédé à la limite, nous sommes amenés à remettre en cause les notions classiques de longueur, d'aire, de volume et de dimension. Cette étude conduit à introduire notamment une notion d'ensemble fractal et de dimension fractale attribuée à certains objets, dimension qui n'est pas nécessairement exprimée par un nombre entier. Oups! On connaît les dimensions 1, 2 et 3; La relativité nous demande d'admettre une 4^e dimension; mais une dimension fractionnaire …

Exemples

Papillons fractals de Peter Raedschelders

Arbre fractal

English corner

A fractal is a geometric figure, often characterized as being self-similar; that is, irregular, fractured, fragmented, or loosely connected in appearance. Benoit Mandelbrot coined the term fractal to describe such figures, deriving the word from the Latin "fractus" meaning broken, fragmented, or irregular. J. R. Maddocks A fractal is a rough or fragmented geometric shape that can be split into parts, each of which is (at least approximately) a reduced-size copy of the whole, a property called self-similarity. Wikipedia A fractal is really only a mathematical concept, not something in real life, just as a point is something that doesn't exist in the real world (it has no size) but it can be visualized by imagining a very small dot. Math Forum

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Suite	Réflexions sur le paradigme des fractales Trait de côte et sa mesure Fractales – Index
Voir	Chaîne d'Or Chaos Complexité Crises en maths Géométrie Jeux Lunules en fractales Paradoxes Points Sauts de grenouille Symétries Transformation du Boulanger

Sites sélectionnés par TANGENTE	Les fractales sur Internet – Listes des principaux sites Album de J-P Louvet Fractales naturelles et leurs applications Galerie et animations par J-C Michel Histoire et galerie par J-F Colonna L'art fractal de Charles Vassalo Mathworld d'Eric Weisstein Site pédagogique sur les fractales de Robert Ferréol Site-dictionnaire de Gérard Villemin The SPANKY Fractal Database
Autres Sites	Pour de belles images, voir le site Fractal de Jean-Christophe MICHEL The Mandelbrot Set - Par Andy Burbanks Fractales Les fractales Mathematical Figures de Robert M. Dickau Clifford Picover Graphics Mind boggling fractals de Paul Carlson Mathematical Art, Graphics, Chaos and Fractals - Répertoire de sites sur ces sujets Animated fractals - Formes de base Animated fractals - Joli et poétique! Fractals unleashed
Théorie	Mémoire sur la géométrie fractale par Josiane Lajoie (pdf – 193 pages)
Sites connexes	Encyclopédie des formes mathématiques remarquables