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FRACTALES

 

Débutants

Général

Généralités

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

 

Fractales

 

Débutant

Introduction

Réflexions

 

Sommaire de cette page

>>> Approche – Définitions

>>> Notion de fractales

>>> Objet fractal

>>> Historique

>>> Citations

>>> Anglais

 

 

 

 

 

 

FRACTALES

 

*     Objets qui se répètent à l'infini.

En zoomant une partie, le tout refait son apparition.

 

*    Autosimilarité à toutes les échelles.

Le même objet est observable même en augmentant l'échelle.

 

*    Bizarrerie mathématique! Objets pathologiques comme les qualifient certains.

 

 

 

 

Je crois que le savoir scientifique a des propriétés fractales, quelle que soit l'étendue de nos connaissances, ce qui en reste, aussi petit que cela paraisse, est aussi infiniment complexe  que la totalité l'était au début. Voilà, je crois le secret de l'Univers.

Isaac Azimov

Cité par Clifford Pickover – Oh, encore des nombres - Dunod

Voir Pensées & humour

 

 

APPROCHE – Définitions

 

Vocabulaire

 

Fractal, fractale, adjectif:
Un objet fractal, une image fractale.

 

Une fractale, nom féminin

La construction d'une fractale est finalement assez simple.

 

 

Définition Larousse

fractal, e, als adjectif
(latin fractus, brisé)
Se dit d'objets mathématiques dont la création ou la forme ne trouve ses règles que dans l'irrégularité ou la fragmentation, et des branches des mathématiques qui étudient de tels objets.

Objet fractal. Géométrie fractale. La nature offre de nombreux exemples de formes présentant un caractère fractal : flocons de neige, ramifications des bronches et bronchioles, des réseaux hydrographiques, etc.

 

Définition Encarta

Fractales, figures géométriques de structure complexe dont la création ou la forme met en jeu des règles utilisant le fractionnement. Les fractales sont à la base d’un nouveau système de géométrie permettant de représenter des objets très irréguliers tels que les reliefs montagneux, les amas galactiques ou les côtes rocheuses très découpées.

 

 

Fractales – un aperçu.

 

 

 

 

 

Pieuvre Fractale

 

Définition Wikipédia

On nomme figure fractale ou "fractale" par substantivation de l'adjectif (ou encore en anglais fractal), une courbe ou surface de forme irrégulière ou morcelée qui se crée en suivant des règles déterministes ou stochastiques impliquant une homothétie interne. Le terme « fractale » est un néologisme créé par Benoît Mandelbrot en 1974 à partir de la racine latine fractus, qui signifie brisé, irrégulier. Dans la « théorie de la rugosité » développée par Mandelbrot, une fractale désigne des objets dont la structure est liée à l'échelle.

 

Ma définition

Objet géométrique obtenu par exploration du comportement d'une fonction en chaque point d'un plan (par exemple). Sa représentation graphique montre des formes esthétiques qui se reproduisent quelle que soit l'échelle de représentation (autosimilarité ou homothétie interne).

 

Voir Réflexions sur les fractales

 

 

NOTION DE FRACTALES

 

Habituellement

 

*      Les formes classiques de la géométrie – triangles, cercles, sphères … – perdent leur structure classique lorsqu'elles sont agrandies dans une fenêtre.

 

*      En "zoomant", apparaît un morceau particulier de la figure. Ce seul morceau ne caractérise plus l'objet d'origine. Avec ce segment, il est impossible de reconstituer le triangle et même d'annoncer qu'il provient d'un triangle.

 

Triangle

Cette seule zone agrandie ne permet pas de dire qu'elle provient d'un triangle.

 

Voir introduction sympathique en

Sauts de grenouille

 

*      Benoît Mandelbrot inventa le terme "fractale" pour décrire un type d'objet très différent: un objet qui continue à présenter une structure détaillée sur un grand éventail d'échelles.

 

*      Ces objets fractals prennent de l'intérêt lorsque les motifs observés se répètent à toutes les échelles:
idée d'autosimilarité.

*         Une ligne de côte est un bon exemple d'un objet fractal présent dans la nature: chaque baie possède ses baies ou caps plus petits.

*         La boite de " vache qui rit " montre une vache dont la boucle d'oreille et une boite de " vache qui rit ", et ainsi de suite ad infinitum.

 

 

 

 

Chaque disque est percé de deux disques, lesquels sont percés de deux disques, lesquels sont percés …

 

  

OBJET FRACTAL

 

*      Le concept de fractal a été introduit par Benoît Mandelbrot en 1975 dans le but d'étudier les processus et les formes irrégulières ou / et fragmentées:

*         que l'on trouve dans la nature

*      éponges,

*      nuages,

*      trous du fromage de gruyère,

*    etc.

*         ou en mathématique

*      courbes de Peano,

*      courbe de von Koch,

*      ensemble triadique de Cantor,

*      ensemble de Mandelbrot,

*      attracteurs,

*      etc.

 

*      Si on mesure la longueur d'un contour, par exemple une côte: sur une carte donnée et sur la même carte, à des échelles de plus en plus fines, on trouve des longueurs différentes.

 

*      En poussant ce procédé à la limite, nous sommes amenés à remettre en cause les notions classiques de longueur, d'aire, de volume et de dimension.

 

*      Cette étude conduit à introduire notamment une notion d'ensemble fractal et de dimension fractale attribuée à certains objets, dimension qui n'est pas nécessairement exprimée par un nombre entier.

*      Oups! On connaît les dimensions 1, 2 et 3; La relativité nous demande d'admettre une 4e  dimension; mais de là à admettre une dimension fractionnaire

 

Exemples

 

Papillons fractals de Peter Raedschelders

 

papillon%20fractal

 

Arbre fractal

 

 

 

Historique

 

Extrait de livre résumant l'historique du concept de fractale

From Newton to Mandelbrot: a primer in theoretical physics with fractals for the personal computer** – Dietrich Stauffer, Eugene Stanley – 1996

Traduction

*       Platon avait cherché à expliquer la nature au moyen de cinq formes solides régulières;

*       Newton et Kepler on tordu le cercle de Platon en ellipse ;

*       La science moderne a étudié les formes de Platon en termes de particules et d'ondes ;

*       Elle a généralisé les courbes de Newton et Kepler en termes de probabilités relatives – Jusque là sans aucun bord rugueux.

*       Aujourd'hui, plus de deux mille ans après Platon, presque trois siècles après Newton, et après trente années éprouvantes d'incursions subtiles,  Benoît Mandelbrot a réalisé une découverte qui se place au même rang que les lois du mouvement régulier.

*       En ligne avec la connaissance de chaque enfant et de chaque grand peintre, Mandelbrot a remarqué que les nuages ne sont pas des sphères, les montagnes ne sont pas des cônes, les lignes de côtes ne sont pas des cercles, l'écorce n'est pas lisse, pas plus que les éclairs ne se propagent en ligne droite.

Voir Platon / Kepler / Newton / Mandelbrot

 

 

 

Concept de fractales – Historique

Euclide d'Alexandrie

vers 300 avant J.-C.

Il définit la géométrie qui va prévaloir durant les deux millénaires à venir: droite ou courbe, sans point rugueux. Et, surtout, avec quatre types de dimensions entières: 0 pour le point; 1 pour la ligne; 2 pour le plan; et, 3 pour les solides.

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Apollonius

(vers-262 à -190)

Il dessine des figures avec des cercles dans les cercles: les badernes. Préfiguration de formes identiques qui se répliquent sans fin.

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Edmond Halley

(1656-1742)

Il pense que les orbites s'expliquent par la loi de l’inverse des carrés.

 

Albrecht Dürer

(1471-1528)

En 1520, Il explique comment construire ses pentagones dans livre: Instructions pour la mesure, à la règle et au compas des lignes, plans et corps solides.

Sierpinski reprendra cette figure.

 

Johannes Kepler

(1571-1630)

Il se rend compte que les planètes ne décrivent pas des cercles mais des ellipses.

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Isaac Newton

(1642-1727)

Il développe le calcul infinitésimal qui lui permet de modéliser le mouvement des projectiles et des planètes.

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Gottfried Leibniz

(1646-1716)

Il développe le calcul différentiel dont la formulation est plus claire que celle de Newton et lui vaudra de passer à la postérité.

Vers 1700, il introduit la notion d'autosimilarité: propriété d'une figure qui préserve une certaine symétrie malgré les variations d'échelle.

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Augustin Louis Cauchy

(1789-1857)

et son élève

Karl Weierstrass

Ils expliquent le paradoxe des infinitésimaux (voir le paradoxe d'Achille et la tortue ou celui de la flèche de Zénon d'Élée (vers -490 à -425).

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James Clerk Maxwell (1831-1879)

Il établit les équations électromagnétiques en faisant un usage magistral du calcul différentiel.

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Pierre-Simon Laplace (1749-1827)

Il affirmait que cette méthode de calcul permettrait de prédire tout le futur de l'Univers à condition de connaître la position exacte de chaque particule. Tout se déduit de lignes plus ou moins courbe présentant des inflexions, des nœuds... objets qui se prêtent au calcul différentiel.

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Régularité

Jusque là tout est régulier, même si on sait désormais maitriser des formes très complexes à l'aide du calcul différentiel. En bref: les courbes ont une tangente bien définie en chaque point: notion de pente, de gradient, de dérivation.

 

 

Thomas Malthus

(1766-1834)

Il remarque que la population augmente de façon exponentielle alors que la production de la nourriture ne croissait que linéairement. Avec une telle évolution, il prédit une famine inéluctable. En réalité, des freins naturels à la croissance existent dès que la nourriture vient à manquer.

 

Karl Weierstrass

(1815-1897),

Georg Cantor

(1845-1918) et

Henri Poincaré

(1845-1912)

Ils font naître une nouvelle géométrie plus à même de décrire les aspects irréguliers et rugueux du monde.

 

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Karl Weierstrass

1872

Il est le premier à mettre en évidence une courbe uniquement constituée d'angles et qui, par conséquent, résiste au calcul différentiel. Avec Cauchy, il développait un nouveau domaine des mathématiques : l'analyse dont un des objectifs était la définition précise des nombres et de la continuité.

L'illustration présente une courbe formée d'une sommation de courbes en cosinus:

Ces courbes monstrueuses sont qualifiées de pathologiques.

La fonction complexe de Weierstrass (pour information):

Elle est continue, mais ulle part dérivable.

 

Henri Poincaré

(1854-1912)

 

 

Mathématicien, physicien et philosophe des sciences, il montre qu'il est possible d'avoir une vision du comportement de systèmes dynamiques complexes en se ramenant à des modèles mathématiques assez simples. Il découvre une nouvelle forme de fractales émergeant de l'exploitation d'équations non linéaires. Sans l'aide des ordinateur, il passera à côté de la beauté de ces fractales.

En 1897, il publie Vorlesungen uber die Theorie der Automorphen Funktoren (Conférences sur la théorie de fonctions automorphes). Y figure des dessins du pavage hyperbolique que Esher va reprendre (illustration).

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Pierre François Verhulst

(1804-1849)

Dans les années 1840, mathématicien belge, il introduit une rétroaction négative dans le modèle de Malthus. Ce modèle conduit à u e stabilisation de la population selon la nourriture disponible. C'est l'équation logistique:

xN+1 = R . xN (1 – xN)

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Les prémisses

 

Georg Cantor

(1845-1918)

 

Il est l'un des pionniers de la théorie des ensembles. Il va se heurter toute sa vie à l'infini et à la nature du continuum.

En 1877, il découvre qu'il est possible de désigner un point du plan avec un seul paramètre. Cantor disait: Je le vois, mais je ne le crois pas!

En 1883, Cantor trouve un ensemble qui porte son nom et qui est de nature fractale (Anglais: Cantor dust, poussière de Cantor). Ensemble qui avait déjà été mis en évidence en 1875 par Henry Smith (1826-1883), un professeur de géométrie à Oxford.

Avec sa fameuse diagonale, il montre qu'il existe plus de points dans le continuum (nombres réels) que ne peuvent en compter les nombres naturels (nombres entiers). Il est contraint d'envisager l'existence de plusieurs sortes d'infinis. C'est l'arithmétique des transfinis.

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Giuseppe Peano

 (1858-1932)

En 1890, professeur d’analyse infinitésimale, il découvre une courbe qui remplit l'espace. Elle se replie de façon telle qu'elle passe par chaque point du plan entier. Aucun point du plan n'est exclu de la ligne courbe de Peano : cartographie biunivoque entre une ligne et le plan.

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David Hilbert

(1862-1943)

David Hilbert crée sa courbe pathologique, une courbe qui remplit l'espace (space filling curve). Un courbe qui est de dimension 1 et qui remplis complètement un espace de dimension 2.

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Jean Perrin

(1870-1942)

William Feller

(1906-1970)

Perrin: physicien et chimiste français, il publie Les atomes en 1913.

Feller: mathématicien spécialiste des probabilités.

Einstein publie en 1905 son explication théorique du mouvement brownien en fonction du mouvement aléatoire des molécules. Jean Perrin vérifie les prédictions d'Einstein et démontre en 1908 un accord complet entre théorie et expérience, ce qui confirme l'existence effective des atomes. Feller simule aussi le mouvement brownien et lui trouve une nature chaotique.

Luitzen Brouwer

(1881-1966)

En 1911, mathématicien néerlandais, il démontre que la dimension est un invariant topologique ; elle ne peut pas être altérée par une déformation continue.

 

Paul Lévy

(1886-1971)

Mathématicien français, un des fondateurs de la théorie moderne des probabilités.

A contribuée à la théorie du mouvement brownien. Son livre: Processus stochastiques et mouvement Brownien.

Il décrit les propriétés de l'autosimilarité et en montre la construction géométrique. Courbe décrite avant par Ernesto Cesaro (1906) et par Georg Faber (1910).

L'illustration montre la courbe auto-similaire de Levy ou courbe en C.

 

Gaston Julia

(1893-1929) étudiant de Poincaré et

Pierre Fatou

(1878-1929)

 

 

Vers 1914, ils étudient séparément la cartographie (ou transformation) du plan des nombres complexes par application de fonctions itératives. La transformation produit une image d'un point de départ.

Les deux mathématiciens s’intéressent particulièrement aux images répétées (itérations). Travaux méconnus car les résultats ne sont apparents que par le grand nombre de points et le grand nombre d'itérations, impossible à révéler sans l'aide des ordinateurs. Leurs travaux mettent en évidence des bassins d'attraction aux frontières très compliquées connues sous le nom d'ensemble de Julia.

Gaston Julia publie ses travaux en 1918: Mémoire sur l'itération des fonctions rationnelles. Il y met en évidence ce qui est connu aujourd'hui sous le nom d'ensembles de Julia: des bassins d'attraction aux frontières très tourmentées. Il les imagine mais ne les verra jamais faute de disposer de moyens de calcul comme les ordinateurs. Julia devient célèbre, mais ses travaux attendront cinquante ans avant d'être exploités.

Fatou découvre exactement les mêmes résultats que Julia. Ce dernier lui disputera l'antériorité.

Bilan: l'Académie des Sciences accorde le Grand prix à Julia et remet un prix spécial à Fatou qui, découragé, fuyait la polémique, et n'avait pas voulu concourir.

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Felix Hausdorff

(1869-1942)

Mathématicien allemand, père de la topologie moderne, en 1919, il définit une nouvelle manière de considérer la notion de dimension : la dimension fractale prenant des valeurs non entières.

Son travail sera approfondi par Abraham Samilovitch Besicovitch entre 1934 et 1937.

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Helge von Koch

(1870-1924)

En 1904, il invente la courbe flocon de neige ou courbe triadique de Koch.

La courbe finale est infiniment longue bien que contenue dans un espace fini. Elle ne possède aucune tangente et ne présente aucune régularité. En pratiquant une coupe en des endroits précis on met en évidence une quantité infinie d'ensembles de Cantor. La courbe de Koch contient quatre copies de la courbe de Koch à l'échelle 1/3 ; sa dimension est log4/log3 = 1,26...

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Robert Brown

(1773-1858)

En 1927, ce botaniste écossais, découvre le mouvement brownien  et sa nature physique et non biologique.

En 1906, Albert Einstein et Marian Smoluchovski développe la théorie

Jean Perrin

(1870-1942)

Physicien et chimiste français, il démontre en 1895 que les rayons cathodiques sont composés de corpuscules, les électrons.

Concernant le mouvement brownien, il pense que la trajectoire est non-dérivable et qu'elle est auto-similaire.

Lewis Richardson

En 1926, il s’intéresse à la mesure de la longueur des côtes britanniques. Elle dépend de la taille de la règle. Elle est infinie avec une règle infiniment petite. En fait, elle est fractale.

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Edward Lorenz

(1917-2008)

Mathématicien et météorologue du MIT, il est le fondateur de la théorie du chaos. À partir des données de Richarson, Mandelbrot en déduit que la dimension fractale de la côte est d'environ 1,26.

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Vaclav Sierpinski

(1882-1969)

En 1916, Vaclav Sierpinski (1882-1969), propose une nouvelle fractale : le joint de culasse ou tamis de Sierpinski. Une figure dont le principe de construction était connu de certains artistes comme Maurits Cornelis Escher (1898-1972). Il consiste évider un triangle équilatéral en son centre avec un triangle quatre fois plus petit. Les trois triangles pleins sont évidés à leur tour. Bilan : une forme composée de trois copies d'elle-même, chacune correspondant à la moitié du trou. D'autres motifs peuvent être obtenus à partir d'autres polygones et même polyèdres. À notez : le triangle de Sierpinski se retrouve dans le triangle de Pascal.

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Karl Menger

(1902-1985)

Mathématicien autrichien, en 1926, il décrit la fractale en trois dimensions dite éponge de Menger (ou Sierpinski-Menger). Extension en trois dimensions de l'ensemble de Cantor ou du tapis de Sierpinski.

Années 1970

 

 

La redécouverte de la formule d'itération quadratique de Verhulst va relancer la théorie du chaos. Selon la valeur de R, tout va changer : convergence vers une valeur, oscillation entre deux valeurs ; ou plusieurs ; ou chaos.

 

Rober May

(né en 1936)

 

Mitchell Feigenbaum

(né en 1944)

Feigenbaum =

figuier en allemand

 

Vers 1970, Rober May découvre la nature fantasque de la loi logistique. Avec R qui augmente, soudain, de convergente (R < 2,6), la formule laisse place à une oscillation entre deux valeurs, puis quatre avec R vers 3,1. Ce dédoublement périodique est appelé bifurcation et va se renouvelle en continuant à faire croître R.

Le graphe représentant ces bifurcations à la forme d'un figuier. C'est le graphe de Feigenbaum (physicien américain). Il montre que la formule devient chaotique, puis ouvre une fenêtre ou règne à nouveau l'ordre.

 

Jackson Pollock

(1912-1956)

Ce peintre américain de l'expressionisme abstrait est connu pour tableau fractals.

L'analyse montre que le principe d'autosimilarité statistique  est respecté. Elle consiste à vérifier par l'intermédiaire d'une grille de N carrés posée sur la toile que la proportion de motifs reste constante quel que soit le nombre de carrés étudiés et donc quelle que soit la taille des carrés.

Illustration avec le tableau Kaleidoscope flower.

 

 

La vraie naissance des fractales

 

Benoît Mandelbrot

(1924-2010)

Mathématicien polonais franco-américain.

 

 

 

Voir sa programmation simple avec Scratch

En 1975 , il invente le mot fractal. Du latin fractus, brisé, cassé, fracturé.Il est considéré comme le père de la géométrie fractale.

The history of fractals dates back to 1975, when Fractals were discovered by Benoît Mandelbrot.

Il travaille chez IBM et résout un problème de bruit aléatoire dans les transmissions entre ordinateurs.

Il avait constaté que les erreurs étaient de type fractal. Il prend connaissance des œuvres de Julia et Fatou et les exploite à l'aide d'ordinateurs. Il s'intéresse à une itération particulièrement simple : un nouveau point Z du plan complexe est calculé en prenant le carré du précédent ajouté d'une constante.

ZN+1 = ZN2 + C

Il découvre de nombreuses figures (dragon auto-carrés) selon la valeur de la constante. Ces figures sont soit totalement connectées (courbes fermée, boucles, dendrites) ou totalement déconnectées (comme l'ensemble de Cantor).

En 1980, Mandelbrot étudie les frontières entre ces deux types de figures. Julia savait que l'ensemble est connecté si l'orbite d'un point durant une itération est convergente et déconnectée si l'orbite se prolonge à l'infini. Cette manière de cartographier le plan révèle la fameuse figure du pou de Mandelbrot représentant l'ensemble M de Mandelbrot. Il y découvre avec émerveillement que la grande figure se réplique sans fin à plus petites échelles.

Partant d'une situation quelconque, Mandelbrot observe qu'à la longue, les points sont attirés par une attracteur dit étrange ou plus exactement un attracteur fractal.

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Tien Yien Li et

James York

en 1975

En 1975, ils publient Period Three implies Chaos (la période trois entraîne le chaos) qui introduit le terme de chaos puis le développement d'une nouvelle science la théorie du chaos.

Ces deux auteurs montrent qu'un système dynamique à une dimension, avec un cycle de période trois, contient aussi toutes les autres périodes.

Alexei Sarkowski avait lui aussi, fait ce constat, passé inaperçu car écrit en russe.

Voici un nouveau domaine où il faut admettre qu'il existe des choses que nous ne pourrons jamais connaître, comme le principe d'incertitude d'Heisenberg ou encor le théorème d'incomplétude de Gödel.

 

Mitchell Feigenbaum

En 1977

Il montre que le rapport entre les distances entre bifurcations converge vers une constante 4,669 201 609 102 990 671 853 203 82... Le principe du doublement de période est un principe général naturel.

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Michel Barnsley

(né en 1946)

&

Alan Sloan

En 1987, ils découvrent une autre façon de construire les fractales. Il développe une méthode de compression de l'information fractale basée sur la détection de récurrence de motifs.

 

Kenneth Falconer

1990

Il publie: Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications, une référence en matière de mathématique des fractales. Seconde édition étendue en 2005.

 

Tan Lei

(1963-2016)

La mathématicienne chinoise, travaillant à l’université d'Angers, a prouvé que l'ensemble M de Mandelbrot est asymptotiquement semblable aux ensembles de Julia proches d'un quelconque point de sa frontière. Plus on zoom plus, la figure ressemble à un ensemble de Julia particulier.

 

Mitsuhiro Shishikura

(né en 1960)

En 1998 (publication), le mathématicien japonais démontre que la frontière de l’ensemble de Mandelbrot est de dimension fractale 2, propriété conjecturée par Mandelbrot et Milnor.

 

 

 

Citations

 

L'ensemble de Mandelbrot n'est pas une invention. C'est une découverte. Un peu comme le mont Everest est juste là. Roger Penrose

 

Demain, quelqu'un qui n'est pas familiarisé avec les fractales ne pourra être considéré comme scientifiquement instruit. John Archibald Wheeler (1911-2008) - Physicien expert en cosmologie et en physique quantique ; proche de Niels Bohr et Albert Einstein

 

Les fractales sot importantes car elles ont permis de révéler un tout nouveau domaine des mathématiques, pertinent directement pour l'étude de la nature. Ian Stewart, professeur de mathématiques de l'université de Warwick en Angleterre.

 

 

 

English corner

 

*      A fractal is a geometric figure, often characterized as being self-similar; that is, irregular, fractured, fragmented, or loosely connected in appearance. Benoit Mandelbrot coined the term fractal to describe such figures, deriving the word from the Latin "fractus" meaning broken, fragmented, or irregular.

J. R. Maddocks

 

*      A fractal is a rough or fragmented geometric shape that can be split into parts, each of which is (at least approximately) a reduced-size copy of the whole, a property called self-similarity.

Wikipedia

 

*      A fractal is really only a mathematical concept, not something in real life, just as a point is something that doesn't exist in the real world (it has no size) but it can be visualized by imagining a very small dot.

Math Forum

 

 

 

Suite

*    Réflexions sur le paradigme des fractales

*    Trait de côte et sa mesure

*    FractalesIndex

Voir

*    Chaîne d'Or

*    Chaos

*    Complexité

*    Crises en maths

*    Géométrie

*    Jeux

*      Lunules en fractales

*    Paradoxes

*    Points

*    Sauts de grenouille

*    Symétries

*      Transformation du Boulanger

 

Livres

*      L'art fractal : Aux frontières de l'imaginaire – Jérémie Brunet – Édition Pole – 2014

*      De l'art avec les fractales – Jean-Paul Delahaye – Pour la Science – Avril 2015

*      Les fractales en images – Nigel Lesmoir-Gordon / Will Rood / Ralph Edney – 2016 – Livres très illustré -  Aperçu du livre (Edp Sciences) >>>

*      Fractals in science: An introductory Course** – Eugene Stanley – 1994 – Apercu e-book >>>

Sites sélectionnés par TANGENTE

*      Les fractales sur InternetListes des principaux sites

*      Album de J-P Louvet

*      Fractales naturelles et leurs applications

*      Galerie et animations par J-C Michel

*      Histoire et galerie par J-F Colonna

*      L'art fractal de Charles Vassalo

*      Mathworld d'Eric Weisstein

*      Site pédagogique sur les fractales de Robert Ferréol

*      Site-dictionnaire de Gérard Villemin

*      The SPANKY Fractal Database

Autres Sites

*      Pour de belles images, voir le site Fractal de Jean-Christophe MICHEL

*      Un ensemble de Mandelbrot cubique… - Jos Leys – CNRS

*      Fractals – Self-similar patterns – Animation et belles images

*      The Mandelbrot Set - Par Andy Burbanks

*      Fractales

*      Les fractales

*      La géométrie fractale – Josiane Lajoie – 2006 – pdf 194 pages

*      Mathematical Figures de Robert M. Dickau

*      Clifford Picover Graphics

*      Mind boggling fractals de Paul Carlson

*      Mathematical Art, Graphics, Chaos and Fractals - Répertoire de sites sur ces sujets

*      Animated fractals - Formes de base

*      Animated fractals - Joli et poétique!

*      Fractals unleashed

Générateur

*      Kalles Fraktaler 2 – Le générateur de fractales gratuit  sans doute  le plus puissant – Utilisez la roulette de souris pour zoomer autant que vous voulez.

Théorie

*      Mémoire sur la géométrie fractale par Josiane Lajoie (pdf – 193 pages)

Sites connexes

*      Encyclopédie des formes mathématiques remarquables

Cette page

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