NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

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ORIENTATION GÉNÉRALE - M'écrire - Édition du: 01/10/2005

-Ý- FAQ - Foire aux Questions
ARITHMÉTIQUE	/ Type de nombres
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Rubrique

RACINE de 2: IRRATIONNEL

Question

Démontrez que racine de 2 est un nombre irrationnel

Réponse

1) Démonstration par l'absurde

On suppose que quelque chose est vrai

Et on démontre qu'au bout du compte, ça ne tient pas la route

Et que donc la seule possibilité c'est de dire que l'hypothèse est fausse

2) Démonstration

Elle se trouve intégralement en

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Nombre/Rac2.htm#Irratio

La voici, sans la mise en forme

Raisonnons par l'absurde et supposons: Ö 2 rationnel

Étant rationnel: Ö 2 = P/Q

On réduit la fraction au maximum Ö 2 = M/N

M et N n'ont pas de diviseurs en commun M et N premiers entre eux

Élevons au carré: 2 = M² /N²

Ou: M² = 2 N²

On déduit: M² est pair

Or, un nombre élevé au carré, garde sa parité M est pair et M = 2K

On revient à l'expression au carré: M² = 4 K² = 2 N²

Ou N² = 2 K²

Même raisonnement avec N: N est pair et N = 2 J

Alors M et N ont un facteur commun 2 est facteur commun à M et N

La contradiction montre que l'hypothèse est: Fausse au départ

Et que: Ö 2 est irrationnel

Pour en savoir plus sur les nombres irrationnels

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Type/Irration.htm

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Rubrique

RACINE de 2: IRRATIONNEL

Question

On suppose que racine de 2 est rationnel,

c'est- à- dire qu'il s'écrit sous forme irréductible, p/q, p et q étant des entiers naturels non nuls.

1) Justifier que p au carré = 2fois q au carré.

2) Suivant le dernier chiffre de p quel est le dernier chiffre de son carré ?(faire tableau.)

3) Suivant le dernier chiffre de q quel est le chiffre de 2fois q au carré.(faire tableau)

4) Si on a p au carré = 2fois q au carré quelle est la seule possibilité pour leur dernier chiffre.

Réponse

1) De quoi s'agit-il ?

Il s'agit, en fait, de démontrer que racine de 2 n'est pas rationnel

Contrairement à ce que dit l'hypothèse

Car, on va voir que les deux nombres p et q sont tous les deux pairs

Ce qui veut dire que la fraction p/q peut se simplifier en divisant par 2

et que p/q n'était pas dans une forme irréductible

En bref, on cherche à nous embrouiller

On appelle cela une démonstration par l'absurde

2) Démonstration par l'absurde

On suppose que quelque chose est vrai

Et on démontre qu'au bout du compte, ça ne tient pas la route

Et que donc la seule possibilité c'est de considérer que l'hypothèse est fausse

3) Démonstration

Elle se trouve intégralement en

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Nombre/Rac2.htm#Irratio

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Rubrique

PRESQUE ENTIER

Question

Quelle est la formule donnée en 2,6 10 puissance 17 ?

Réponse

La formule est

exp ( Pi . racine (163))

et ce nombre est égal à

262 537 412 640 768 743, 999 999 999 999 2500

Soit un nombre presqu'entier à 10 moins 12 près

C'est le nombre dit de Ramanujan

En 1975, Martin Gardner fait croire que ce nombre est entier

On trouve encore de la littérature qui en atteste

Voir détails en Nombre 163

http://villemin.gerard.free.fr/NombDico/N100a500/Nb150200.htm#N163

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