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La science est incapable
de se pencher sur les femmes: l'irrationnel n'est pas son domaine Oscar Wilde |
Voir
Pensées & humour
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NOMBRES
IRRATIONNELS Nombres qui ne peuvent pas être exprimés par une
fraction. Nombres à virgule, dont les décimales sont
imprédictibles. |
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NOMBRE
IRRATIONNEL: Nombre
décimal NON périodique; Quantité
illimitée de décimales non répétitives.
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Nombres entiers
1 2 3 4 5 6 7 8 9
etc.
Nombres rationnels
1/1 1/2 1/3 1/4 1/5
1/6 1/7 1/8 1/9 etc.
Nombres irrationnels
Réponse:
Ça n'est pas une fraction. Or sur notre
droite l'espace est rempli continûment par des nombres (étiquettes) entiers
ou fractionnaires (les nombres rationnels).
Quelle logique adopter? An Irrational
Number is a number that cannot be written as a simple fraction (ratio),
the decimal goes on forever without repeating. |
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Le rapport entre la diagonale et le côté
n'est pas un nombre entier. Les pythagoriciens fêtèrent la découverte en
sacrifiant 100 bœufs : une hécatombe
de bœufs.
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Parabole du miroir
On voit sur l'un l'image répétée de l'autre,
un repère de notre droite par exemple. Ces repères se répètent à l'infini par
le jeu des renvois d'images d'un miroir sur l'autre. En rapprochant les
miroirs on tasse les points.
La seule solution serait que les miroirs
littéralement s'interpénètrent. Il
faudrait, comme Alice, passer de l'autre côté du miroir. |
Voir Autre parabole / Parabole en géométrie
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Continuité
Le rationnellement continu et le réellement
continu.
On pourrait la rejeter car échappant à la
mesure et se voir accusé d'étroitesse d'esprit ou l'admettre et passer pour
un mystique.
La théorie
des quanta arrête la divisibilité de
toute chose à une certaine granularité: les quanta de matière, de temps,
d'énergie...
La majorité des constantes naturelles
(environ une douzaine en physique) sont des nombres irrationnels, du moins
dans l'état actuel de nos connaissances:
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Alors irrationnel ?
C'est là une chose que nous ne pourrons
jamais vérifier.
Il y a bien mathématiquement une
distinction entre rationnellement continu et réellement continu. Est-ce que ces notions s'appliquent au
temps?
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Exemple:
S'il était rationnel, en le
multipliant par 2 (rationnel), le produit serait rationnel. Or: 2 x L'hypothèse était fausse. Il est
irrationnel. Autres irrationnels:
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Voir Irrationnels
qui produisent du rationnel
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Raisonnons par l'absurde et supposons |
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Étant rationnel |
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On réduit la fraction au maximum |
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M et N n'ont pas de diviseurs en commun |
M
et N premiers entre eux |
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Élevons au carré |
2
= M² /N² |
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Ou |
M²
= 2 N² |
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On déduit |
M²
est pair |
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Or, un nombre élevé au carré, garde sa
parité |
M
est pair et M = 2K |
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On revient à l'expression au carré |
M² = 4 K² = 2 N² |
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Ou |
N²
= 2 K² |
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Même raisonnement avec N |
N
est pair et N = 2 J |
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Alors M et N ont un facteur commun |
2
est facteur commun à M et N |
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La contradiction montre que l'hypothèse est
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Fausse
au départ |
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Et que |
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Voir Racine de deux / Théorie de nombres
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Hypothèses
Il faut
démontrer que ce nombre est irrationnel.
La
démonstration ci-dessous est de Euler Une approche à la
démonstration est donnée en exponentielle Matériaux nécessaires à la démonstration |
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Une des valeurs de e |
e = 1 + 1/1! + 1/2!
+ 1/3! + … |
(m1) |
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Relation entre
fractions |
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(m2) |
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x est
rationnel alors |
x = a/b avec a et b
deux entiers |
(m3) |
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Pas d'entier
entre 0 et 1 |
0 < x < 1
=> x n'est pas un entier |
(m4) |
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Principe de la démonstration
On passe par l'évaluation d'une quantité
qui devrait être entière et s'avère ne pas l'être. Contradiction: donc hypothèse fausse. Astuce
On cherche si les quantités en jeu sont
entières. Ou un majorant. |
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Démonstration
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Prenons le développement (m1) de e |
e = |
1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + … |
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Multiplions e par factorielle n en notant (rouge) le passage par n! sur n! |
e. n! = |
n! + n!/1! + n!/2! + n!/3! + …+ n! / n! + n! / (n+1)! + n! / (n+2)! + … |
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On pose |
e. n! = |
M + N |
(d1) |
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Avec |
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M = n! + n!/1! + n!/2! + n!/3! + …+ n! / n! N = n! / (n+1)! +
n! / (n+2)! + … |
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Examinons M |
M = |
n! + n!/1! + n!/2! + n!/3! + …+ n! / n! Tous les termes sont des entiers =>
leur somme M est un nombre entier |
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Conclusion |
M |
est un nombre entier |
(d2) |
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Examinons N maintenant |
N = |
n! / (n+1)! + n! / (n+2)! + … Tous les termes sont inférieurs à 1 Mais on ne peut rien en déduire pour
la somme |
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On divise par n! |
N = |
1 / (n+1) + 1 / {(n+1) (n+2)} + 1 / {(n+1) (n+2)
(n+3)} + 1 / {(n+1) (n+2) (n+3) (n+4)} +… |
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Notons d'abord que |
N |
> 0 |
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On majore chacun des termes en utilisant un dénominateur plus petit Pour cela on ne conserve que deux facteurs au dénominateur |
N < |
1 / (n+1)
+ 1 / {(n+1)
(n+2)} + 1 / {(n+2)
(n+3)} + 1 / {(n+3)
(n+4)} +… |
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On utilise la relation (m2) |
N < |
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Tous les termes s'éliminent deux à deux, sauf les premiers |
N < |
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Conclusion |
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0 < N < 2 /
(n+1) |
(d3) |
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Utilisons le raisonnement par l'absurde Supposons que e soit rationnel (m3) |
e = |
a/b avec a et b entiers |
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Remplaçons e par sa valeur dans la formule calculée ci-dessus |
e. n! = a/b. n! = |
M + N M + N |
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Ou encore |
a . n! = |
b . M
+ b . N |
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Prenons la quantité |
b . N = |
a . n! - b . M |
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Or |
a, b, n M b N |
sont des entiers par hypothèse est un entier selon la conclusion
(d2) est positif par hypothèse est positif selon la conclusion
(d3) |
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Conséquence |
b . N |
est un entier positif |
(4) |
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Selon la conclusion (d3) En multipliant par b |
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0 < N < 2 /
(n+1) 0 < b.N < 2b
/ (n+1) |
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Pour certaines valeurs de n à déterminer |
2b / (n+1) |
< 1 |
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Et en arrangeant (les valeurs étant positives) |
2b n |
< n + 1 > 2b - 1 |
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Conclusion |
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0 < b.N < 1
pour n > 2b - 1 |
(5) |
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et selon (m3) |
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0 < x < 1
=> x n'est pas un entier |
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b.N |
n'est pas un entier |
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Bilan |
b.N |
est un entier positif (4) n'est pas un entier (5) pour
certaines valeurs de n |
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Il y a contradiction dans certains cas |
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l'hypothèse du
départ est fausse e n'est pas rationnel |
FIN |
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xn + a1 . xn-1 + …+ an = 0 avec n si x n'est pas un entier, il est irrationnel. Tout
nombre qui peut s'écrire sous la forme d'une fraction continue est un nombre irrationnel. Voir
développements à Lambert Nous savons, ou pas
* Fonction zêta:
démonstration en 1978 par Roger Apéry |
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Suite |
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Voir |
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Nombres |
