NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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NOMBRES

 

Débutants

Types

de Nombres

TYPES

 

Glossaire

Nombres

 

 

INDEX

 

Types de nombres

 

Entiers

Rationnels

Algébriques

Décimaux

Relatifs

Irrationnels

Transcendants

Réels

 

Sommaire de cette page

>>> Nombres irrationnels

>>> Nombres entiers, rationnels, irrationnels

>>> Historique

>>> Propriétés des nombres irrationnels

>>> Irrationnel - démonstration avec  2

>>> Irrationnel - démonstration avec e

>>> Théorèmes

>>> Somme de nombres irrationnels

 

 

 

 

 

 

La science est incapable de se pencher sur les femmes:

l'irrationnel n'est pas son domaine

Oscar Wilde

Voir Pensées & humour

 

 

NOMBRES IRRATIONNELS

 

Nombres qui ne peuvent pas être exprimés par une fraction.

Nombres à virgule, dont les décimales sont imprédictibles.

 

 

 

NOMBRES IRRATIONNELS

 

 

Le quotient de la circonférence d'un cercle par son diamètre n'est pas un nombre rationnel:

  =    3,141 592 …

 

La longueur de la diagonale d'un carré ne peut pas être exprimée par un nombre rationnel:

2 =   1,414 213 …

 

 

NOMBRE IRRATIONNEL:

Nombre décimal NON périodique;

Quantité illimitée de décimales non répétitives.

 

Nombres irrationnels: tous les nombres qui ne sont pas rationnels, qui ne peuvent pas s'écrire sous la forme d'une fraction de nombres entiers.

 

 

 

 

  NOMBRES entiers, rationnels, irrationnels

 

Nombres entiers

 

La plus rudimentaire des lignes que l'on puisse imaginer est celle sur laquelle on porte, selon une unité de mesure conventionnelle, la suite de nombres entiers:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 etc.

 

Une fois répartis régulièrement sur toute la longueur, cette suite est manifestement infinie, mais elle laisse des espaces vacants.

 

 

Nombres rationnels

 

Pour remplir l'espace libre et donner une " étiquette " à chaque point, on peut diviser indéfiniment les intervalles en fractions:

1/1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8 1/9 etc.

 

Ce procédé était connu des Grecs. C'est la suite des nombres rationnels.
Suite idéale symbolisant la continuité pour Pythagore de Samos, aussi bien en mathématiques que sur le plan religieux.

 

Nombres irrationnels

 

Modèle idéal, mais qui manifestement comporte encore des trous d'un autre niveau, comme le constatait Pythagore!

 

En effet, quelle est la longueur d'une barrière qui coupe en diagonale un lopin de terre en forme de carré de 1 km de côté?

Réponse:

2  = 1,4142 …. km

 

Ça n'est pas une fraction. Ca n'est pas rationnel. C'est irrationnel.

Ça n'est pas une fraction. Or sur notre droite l'espace est rempli continûment par des nombres (étiquettes) entiers ou fractionnaires (les nombres rationnels).

 

Alors, où faut-il placer ce nouvel individu 2 ?

Quelle logique adopter?

 

 

An Irrational Number is a number that cannot be written as a simple fraction (ratio), the decimal goes on forever without repeating.

 

 

 

Un peu d'histoire

 

La découverte des irrationnels par les grecs fut une énorme surprise. Pythagore trouve que la diagonale du carré ne peut pas s'exprimer en fraction du côté!

Le rapport entre la diagonale et le côté n'est pas un nombre entier. Les pythagoriciens fêtèrent la découverte en sacrifiant 100 bœufs : une hécatombe de bœufs.

 

Encore au milieu du XIXe siècle, les mathématiciens face à ce problème, se trouvait dans la même situation que quelqu'un qui essaie de placer dans l'arbre généalogique une personne d'allure singulière, d'origine indéterminée.

 

Richard Dedekind, en 1872, relia les rationnels et les irrationnels sous le nom de réels (droite des réels).

 

Juste après, Georg Cantor confirma que les réels sont encore plus nombreux que les rationnels qui pourtant sont déjà en nombre infini.

 

L'alignement des réels sur la droite sont encore " plus continu " que les rationnels.

 

Dans la suite des nombres rationnels, les nombres adjacents sont infiniment proches les uns des autres. Mais les nombres réels adjacents sont encore plus proches qu'infiniment proches!

 

Voir Pythagore pour débutants

 

 

 

Parabole du miroir

 

Imaginez deux miroirs se faisant face.

 

On voit sur l'un l'image répétée de l'autre, un repère de notre droite par exemple. Ces repères se répètent à l'infini par le jeu des renvois d'images d'un miroir sur l'autre. En rapprochant les miroirs on tasse les points.

 

Lorsque les miroirs se touchent, les repères sont infiniment proches, à se toucher.

 

Pour les nombres réels, l'écart est encore plus proche qu'à se toucher.

La seule solution serait que les miroirs littéralement s'interpénètrent.

Il faudrait, comme Alice, passer de l'autre côté du miroir.

 

Voir Autre parabole  /  Parabole en géométrie

 

 

Continuité

 

Alors, il existerait plusieurs formes de continu?

Le rationnellement continu et le réellement continu.

 

La droite réelle n'est-elle qu'un modèle scientifique de la réalité?

On pourrait la rejeter car échappant à la mesure et se voir accusé d'étroitesse d'esprit ou l'admettre et passer pour un mystique.

 

Beaucoup de phénomènes physiques sont descriptibles en ne se référant qu'aux nombres rationnels.

La théorie des quanta arrête la divisibilité de toute chose à une certaine granularité: les quanta de matière, de temps, d'énergie...

 

Pourtant,la science a besoin des nombres réels.

La majorité des constantes naturelles (environ une douzaine en physique) sont des nombres irrationnels, du moins dans l'état actuel de nos connaissances:

*    la vitesse de la lumière,

*    la gravitation,

*    la constante de Planck,

*    la constante de structure fine,

*    etc.

 

 

 

Alors irrationnel ?

 

Pour prouver qu'une constante universelle est irrationnelle, il faudrait montrer qu'il est possible de l'exprimer sous forme d'un motif qui se répète jusqu'à l'infini.

C'est là une chose que nous ne pourrons jamais vérifier.

 

Avec les nombres irrationnels, les mathématiciens ont fait surgir en science quelque chose dont aucune mesure ne peut décider.

Il y a bien mathématiquement une distinction entre rationnellement continu et réellement continu.

Est-ce que ces notions s'appliquent au temps?

 

Pour un empiriste, toutes ces histoires semblent complètement irrationnelles...

 

 

 

Propriétés des nombres IRRATIONNELS

 

La racine carrée d'un nombre non-carré parfait est un nombre irrationnel.

La racine ixième d'un nombre non-puissances ixième parfaite est un nombre irrationnel.

 

Exemples:

 

Le produit de deux rationnels est rationnel.

Le produit d'un irrationnel par un rationnel est irrationnel.

 

Exemple:

2 x 1/2 est rationnel ou irrationnel ?

S'il était rationnel, en le multipliant par 2 (rationnel), le produit serait rationnel. Or:

 2 x 2 x 1/2 = 2 qui est irrationnel.

L'hypothèse était fausse. Il est irrationnel.

 

 

Autres irrationnels:

3,   5,    7 11,     ,    e  et une horde d'anonymes.

 

 

Un nombre irrationnel puissance un nombre irrationnel peut donner un nombre rationnel >>>.

 

Si un nombre au carré ne s'écrit pas avec des facteurs premiers dont les puissances sont paires, alors il est irrationnel.
Exemple : (3/4)² = 3 / 4² = 3 / 24

 

 

Voir Irrationnels qui produisent du rationnel

 

 

 

IRRATIONNEL - DÉMONSTRATION avec 2

Raisonnons par l'absurde et supposons

2 rationnel

Étant rationnel

2 = P/Q

On réduit la fraction au maximum

2 = M/N

M et N n'ont pas de diviseurs en commun

M et N premiers entre eux

Élevons au carré

2 = M² /N²

Ou

M² = 2 N²

On déduit

M² est pair

Or, un nombre élevé au carré, garde sa parité

M est pair et M = 2K

On revient à l'expression au carré

M² = 4 K² = 2 N²

Ou

N² = 2 K²

Même raisonnement avec N

N est pair et N = 2 J

Alors M et N ont un facteur commun

2 est facteur commun à M et N

La contradiction montre que l'hypothèse est

Fausse au départ

Et que

2 est irrationnel

Voir  Racine de deux /  Théorie de nombres

 

 

 

IRRATIONNEL - DÉMONSTRATION avec e

 

Hypothèses

Le nombre e  est la constante bien connue (constante de Neper).

Il faut démontrer que ce nombre est irrationnel.

 

C'est Lambert qui a fait la première démonstration en 1761

La démonstration ci-dessous est d'Euler.

Une approche à la démonstration est donnée en exponentielle.

 

 

Matériaux nécessaires à la démonstration

 

Une des valeurs de e

e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + …

(m1)

Relation entre fractions

(m2)

x est rationnel alors

x = a/b avec a et b deux entiers

(m3)

Pas d'entier entre 0 et 1

0 < x < 1 => x n'est pas un entier

(m4)

 

Principe de la démonstration

 

Raisonnement par l'absurde: on suppose que e est rationnel.

On passe par l'évaluation d'une quantité qui devrait être entière et s'avère ne pas l'être.

Contradiction: donc hypothèse fausse.

 

Astuce

On utilise les factorielles et le développement de e en factorielles.

On cherche si les quantités en jeu sont entières. Ou un majorant.

 

 

Démonstration

 

Prenons le développement (m1) de e

e =

1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + …

 

Multiplions e par factorielle n

en notant (rouge) le passage

par n! sur n!

e. n! =

n! + n!/1! + n!/2! + n!/3! + …+ n! / n!

 

+ n! / (n+1)! + n! / (n+2)! + …

 

On pose

e. n! =

M + N

(d1)

Avec

 

M = n! + n!/1! + n!/2! + n!/3! + …+ n! / n!

 

N = n! / (n+1)! + n! / (n+2)! + …

 

Examinons M

M =

n! + n!/1! + n!/2! + n!/3! + …+ n! / n!

 

Tous les termes sont des entiers

=> leur somme M est un nombre entier

 

Conclusion

M

est un nombre entier

(d2)

 Examinons N maintenant

N =

n! / (n+1)! + n! / (n+2)! + …

 

Tous les termes sont inférieurs à 1

Mais on ne peut rien en déduire pour la somme

 

On divise par n!

N =

1 / (n+1) +

1 / {(n+1) (n+2)} +

1 / {(n+1) (n+2) (n+3)} +

1 / {(n+1) (n+2) (n+3) (n+4)} +…

 

Notons d'abord que

N

> 0

 

On majore chacun des termes en utilisant un dénominateur plus petit

Pour cela on ne conserve que deux facteurs au dénominateur

N <

1 / (n+1) +

1 / {(n+1) (n+2)} +

1 / {(n+2) (n+3)} +

1 / {(n+3) (n+4)} +…

 

On utilise la relation (m2)

 

N <

 

Tous les termes s'éliminent deux à deux, sauf les premiers

 

N <

 

Conclusion

 

0 < N < 2 / (n+1)

(d3)

Utilisons le raisonnement par l'absurde

Supposons que e soit rationnel (m3)

e =

a/b

avec

 a et b entiers

 

Remplaçons e par sa valeur dans la formule calculée ci-dessus

e. n! =

a/b. n! =

M + N

M + N

 

Ou encore

a . n! =

b . M + b . N

 

Prenons la quantité

b . N =

a . n! - b . M

 

Or

a, b, n

M

b

N

sont des entiers par hypothèse

est un entier selon la conclusion (d2)

est positif par hypothèse

est positif selon la conclusion (d3)

 

Conséquence

b . N

est un entier positif

(4)

Selon la conclusion (d3)

En multipliant par b

 

0 < N < 2 / (n+1)

0 < b.N < 2b / (n+1)

 

Pour certaines valeurs de n

à déterminer

2b / (n+1)

 

< 1

 

Et en arrangeant (les valeurs étant positives)

2b

n

< n + 1

> 2b - 1

 

Conclusion

 

0 < b.N < 1 pour n > 2b - 1

(5)

et selon (m3)

 

0 < x < 1 => x n'est pas un entier

 

 

b.N

n'est pas un entier

 

Bilan

b.N

est un entier positif (4)

n'est pas un entier (5) pour certaines valeurs de n

 

Il y a contradiction dans certains cas

 

l'hypothèse du départ est fausse

e n'est pas rationnel

FIN

 

 

 

 

THÉORÈMES

 

Tous les nombres en ,
                sauf les carrés parfaits, sont irrationnels. >>>

 

Tous les nombres en  m,
               sauf les puissances parfaites en m, sont irrationnels.

 

Soit l'équation:

xn + a1 . xn-1  + …+ an = 0

avec n  1 et ai entiers

                          si  x n'est pas un entier, il est irrationnel.

 

Tout nombre qui peut s'écrire sous la forme d'une fraction continue est un nombre irrationnel.

Voir développements à Lambert

 

Nous savons, ou pas

 

Irrationnel

 ²

 (3)*

 (2n+1)

?

e +

e .

e /

* Fonction zêta: démonstration en 1978 par Roger Apéry

 

 

 

Somme de rationnels et d'irrationnels

1)  La somme de deux rationnels est rationnelle.

*    Avec les conditions d'uage:
(pour information et s'habituer au formalisme des mathématiciens).

 

 

Lecture: les nombres p et s appartiennent à l'ensemble des nombres relatifs; les nombres q et s aussi, mais sans le zéro.

*    Somme

*    Le numérateur est un nombre entier relatif (de Z) et le dénominateur n'est pas nul.

x + y  est rationnel.

2) La somme d'un rationnel avec un irrationnel est irrationnelle.

*    Supposons que la somme est rationnelle. (Conditions d'usage).

*    Valeur de y

*    Numérateur un entier relatif; Dénominateur non nul.

y est rationnel

*    Contraire à nos données départ.

La somme n'est pas rationnelle.

3) La somme de deux nombres irrationnels n'est pas nécessairement irrationnelle. 

Exemples

    et   – 1   sont irrationnels.

  irrationnels

 – ( – 1) = 1 rationnel

  = 0 rationnel

4) Si x et y sont irrationnels, alors:

x + y ou x – y est irrationnel,

il est possible que l'un d'eux soit rationnel mais pas les deux.

*    Mise sous forme rationnelle
avec conditions d'usage.

*    Somme des deux expressions qui nous donne 2x.

*    Différence des deux expressions qui nous donne 2y.

*    Les numérateurs sont des nombres entiers relatifs (de Z) et les dénominateurs ne sont pas nuls.

x et y sont rationnels

*    Contraire à nos données départ.

x + y ou x – y ne peuvent pas être rationnels les deux à la fois.

 

 

 

 

 

Suite

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Voir

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