NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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NOMBRES / TYPES

 

Débutants

Types de Nombres

INVENTAIRE

 

Glossaire

Nombres

 

 

INDEX

 

Types de nombres

 

Inventaire

Entiers

Irrationnels

Transcendants

Inventaire – Graphe

 

 

Sommaire de cette page

 

>>> CLASSIFICATION DES NOMBRES

>>> TABLEAU DES TYPES DE NOMBRES (ENSEMBLES)

 

 

 

 

 

 

Trois scientifiques -  un ingénieur, un biologiste et un mathématicien -  discutent sur la terrasse d'un pub. Ils remarquent que deux personnes entrent dans une maison située en face du café, qu'ils imaginent vide. Une heure plus tard, trois personnes en sortent. L'ingénieur donne l'explication suivante :
- Les données initiales étaient erronées.
Le biologiste lance quant à lui :
- C'est simple, ils se sont reproduits.
Et le mathématicien de conclure :
- Si une personne entre de nouveau dans la maison, elle redeviendra vide...

Par nombre, nous entendons non pas une multitude d'unités, mais plutôt le rapport d'une quantité quelconque à une autre quantité de même sorte, que nous prenons comme unité.

 

By number we understand not so much a multitude of unities, as the abstracted ratio of any quantity to another quantity of the same kind, which we take for unity

Newton – Universal Arithmetic - 1728

Voir  Pensées & humour

 

 

CLASSIFICATION DES NOMBRES

 

Types de nombres

Les nombres entiers naturels (N) sont les nombres ordinaires pour compter.

Les nombres relatifs (Z), ou simplement entiers, comprennent les nombres entiers naturels positifs et les nombres entiers négatifs.

Les nombres rationnels (Q) sont les fractions avec des nombre relatifs au numérateur et au dénominateur.

Les nombres réels (R) englobent les nombres rationnels (Q)  et les nombres irrationnels.

Si un nombre irrationnel peut être défini par une équation*, il est algébrique, sinon, il est transcendant.

* Équation non nulle à coefficients rationnels.

Tous les nombres réels (R), sauf les transcendants, sont dits algébriques.

Les nombres complexes (C) sont formés d'un couple de nombres, l'un est réel (R), l'autre est imaginaire (I).

 

Relations

*       Un ENTIER

est

Rationnel

 

 

*       Un algébrique

est

Rationnel

ou

Irrationnel

*       Un TRANSCENDANT

est

 

 Irrationnel

 

*       ALGÉBRIQUES

=

Rationnels

+

Irrationnels algébriques

 

*       RÉELS

=

Rationnels

+

Irrationnels

=

Algébriques

+

Transcendants

 

 Illustration

Voir Illustration sous forme de graphe

 

 

English

Natural numbers (N) are a subset of Integers.

Integers (Z) are a subset of Rational Numbers.

Rational Numbers (Q) are a subset of the Real Numbers.

Real Numbers (R) together with Imaginary Numbers (I) make up the Complex Numbers (C).

 

Dans Word, les fontes ajourées nommant les ensembles de nombres se trouvent en Insertion / Symboles /"Texte normal"

 

 

Tableau des types de nombres (ensembles)

 

Nom

Définition

Entiers

NATURELS

Nombres entiers naturels, abrégé en naturels.

Vient de naturale (Peano).

Ce sont les nombres de tous les jours. Ceux qui servent à compter.

 { 0, 1, 2, 3 … }

 {   1, 2, 3 … }

N* représente l'ensemble des entiers privé du zéro.

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Entiers

RELATIFS

 

Nombres entiers relatifs, abrégé en entiers.

Vient de Zahl, Zahlen, nombre (s) en allemand (Dedekind ou Georg Cantor). Le R étant réservé aux nombres réels.

Avec les entiers naturels, on peut compter l'argent; en particulier, les gains. Il faut aussi pouvoir faire des calculs en prenant en compte les pertes. On peut le faire avec les nombres négatifs.

 

Ensemble, les nombres entiers négatifs et les nombres  entiers naturels (positifs), forment les entiers relatifs.

 { … -3, -2, -1,  0, 1, 2, 3 … }

N est un sous-ensemble de Z.

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Nombres

DÉCIMAUX

Lorsqu'on mesure avec un mètre, ça ne tombe pas toujours juste; c'est même rare. Il faut utiliser des fractions d'unités: le décimètre ou le centimètre. On utilise alors les nombres à virgule.

Les entiers sont aussi considérés comme des nombres avec une virgule, mais suivie de 0.

Tous ces nombres sont des nombres décimaux.

  Exemples: 1      2       3,55        12,3456

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Nombres

RATIONNELS

Nombres rationnels ou nombres fractionnaires

Vient de quotiente, la fraction en italien (Peano)

Il existe des nombres à virgule en plus de ceux qui servent à mesurer. Ce sont ceux des fractions telles que 1/3. Les chiffres derrière la virgule ne s'arrêtent jamais. Un motif se répète sans cesse.

Les nombres entiers peuvent aussi se mettre sous la forme d'une fraction, avec un dénominateur à 1. 

Ces nombres à fraction (à ration !) sont appelé rationnels.

   Exemples:   1/3 = 0,333…    1/7  = 0,142857  142857 …

Z est un sous-ensemble du corps Q.

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Nombres IRRATIONNELS

Nombres irrationnels: tous les nombres qui ne sont pas rationnels, qui ne peuvent pas s'écrire sous la forme d'une fraction de nombres entiers.

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Nombres

ALGÉBRIQUES

Un nombre algébrique est solution d'une équation polynomiale non nulle à coefficients rationnels.

Autrement-dit: il peut être défini par une expression plus ou moins compliquée. Par exemple, racine de deux est solution de l'équation x² – 4 = 0 (ou x² = 4).

Les nombres algébriques sont tous les nombres réels, sauf les transcendants.

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Nombres TRANSCENDANTS

Les nombres transcendants ne sont pas solutions d'une équation polynomiale à coefficients rationnels.

Ce sont des nombres dont les chiffres derrière la virgule ne s'arrêtent jamais, mais ils ne se répètent jamais non plus.

Parmi eux, on trouve des constantes mathématiques comme  ou e, ou encore des nombres dont la puissance est irrationnelle comme:  .

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Nombres

RÉELS

Nombres réels = algébriques + transcendants.

Vient de real, réel (Dedekind).

Tous les nombres, y compris cette nouvelle espèce, les nombres transcendants, forment l'ensemble des nombres réels.

  Exemples:   2 = 1 ,414 …      = 3,14159…

Q est un sous-ensemble du corps R.

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Nombres

IMAGINAIRES

Les nombres imaginaires résultent d'une façon d'imaginer ce que pourrait être la racine carrée d'un nombre négatif. Il est souvent commode d'effectuer des calculs avec ces nombre inventés et de ne conserver que les résultats réels en fin de calcul.

Par définition  et avec cette convention . En effet:

Le nombre imaginaire  est solution de l'équation x² + 1 = 0.

L'ensemble des nombres imaginaires est noté  .

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Nombres COMPLEXES

Nombre complexe = couple formé par un nombre réel et un nombre imaginaire.

Un bon moyen de se les représenter: ce sont les coordonnées a et b d’un point dans un plan sur des axes x et y. Par définition, a est la partie réelle et b est la partie imaginaire du nombre complexe.

  Exemples:  1 + i,   1 + 2i,    -1,12 + 34,5,    

R est un sous-ensemble du corps C

Utilisés en électricité (i est alors noté j), en physique nucléaire, en aérodynamique, etc.

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Nombres

entiers

de Gauss

Nombres Entiers de Gauss ou complexes entiers: a et b sont des nombres entiers.

Ce sont des nombres complexes particuliers.

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Nombres

entiers

d'Eisenstein

Nombres Entiers d'Eisenstein: N = a + w.b

avec  qui est un des racines de x3 = 1.

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Quaternions

Nombres hypercomplexes ou quaternions de Hamilton: généralisation des nombres complexes à quatre dimensions: quaternions

L'ensemble des quaternions est noté  .

C est un sous-ensemble de H

Utilisés en physique des particules et en robotique.

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Octavions

Octavions (ou octaves ou octonions) de Cayley, nombres complexes à huit dimensions.

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Nombres

p-adiques

Nombres p-adiques: race de nombres, complétant les entiers rationnels d’une autre manière que ne le font les irrationnels pour donner les réels.

Ils sont basés sur l’utilisation de développements infinis.

Les mathématiques p-adiques occupent une position analogue aux géométries non-euclidiennes.

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Suite

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