NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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NOMBRES

 

Débutants

Nombres

DÉCOMPOSITION

 

Glossaire

Nombres

 

 

INDEX

 

Décomposition

  

Noms des nombres

 

Types de nombres

Produit des diviseurs

Exemple: nombres premiers

Somme des diviseurs

Exemple: nombres parfaits

 

Sommaire de cette page

>>> Nombres et leurs décompositions

>>> Nombres composés

>>> Nombres multiples

>>> Nombres premiers

>>> Nombres premiers jumeaux

>>> Nombres premiers de Sophie Germain

>>> Nombres premiers de Woodall

>>> Nombres premiers entre - eux

>>> Nombres semi-premiers

>>> Nombres homogènes

>>> Nombres primaires

>>> Nombres simples

>>> Nombres plénipotents

>>> Nombres pseudo-premiers ou nombres de Poulet

>>> Nombres pseudo-premiers absolu ou nombres de Carmichaël

>>> Nombres premiers circulaires

>>> Nombres premiers longs ou nombres têtus

>>> Nombres têtus d'ordre 2

>>> Nombres de Harshad

>>> Nombres complémentés

>>> Nombres de Cullen / Woodall / Proth

>>> Nombres de Wilson

 

 

 

 

NOMBRES et leur structure

Diviseurs et MULTIPLICATION

 

 

*       Les nombres peuvent être  classés par ensembles : entiers, rationnels, réels ...
Mais aussi: un nombre se décompose de façon unique en facteurs premiers, propriété qui permet de les classer selon des critères de divisibilité.

*       Selon ce classement, les nombres PREMIERS tiennent la vedette.
On a brodé autour en utilisant les grands théorèmes de l'arithmétique:

Théorème fondamental

Petit théorème de Fermat

Théorème de Wilson

*       C'est l'objet cette page: une revue de tous ces types de nombres.

Chaque type fera aussi l'objet d'une page spéciale.

 

 

NOMBRES COMPOSÉS

Définition

*         Entiers naturels non premiers,
c'est-à-dire ceux qui admettent plus de deux diviseurs.

Exemples

  35 =   5 x   7          diviseurs: 1, 5, 7, 35

111 =   3 x 37         diviseurs: 1, 3, 37, 111

Anglais

Composite numbers  (neither prime, nor equal to 1).

Théorème

Théorème fondamental de l'arithmétique:

Tout nombre entier naturel est décomposable de façon unique en produit de ses diviseurs premiers, aux permutations près des termes.

Exemple: 111 = 3 x 37

Suite

*    Nombres composés

*    Théorème fondamental    et sa  Démonstration

*    Représentation des nombres

 

 

NOMBRES MULTIPLES

Définition

*         Multiple d'un entier n: tout autre entier qui est divisible sans reste par ce nombre n.

Exemples

14, 21, 28 … sont des multiples de 7.

10, 20, 100, 1100 … sont des multiples de 10.

111, 222, 333 … sont des multiples de 37.

Extension

PPCM: plus petit commun multiple.

Anglais

Least Common Multiple – LCM.

Voir Nombres multiples

 

 

NOMBRES PREMIERS

Définition

*         Entiers naturels qui possèdent exactement deux diviseurs: lui-même et l'unité.

Exemples

2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17 …

Anglais

Prime numbers or primes

Propriétés

*         Le nombre 1 n'est pas premier, par convention.

*         Ils sont en nombre infini.

*         Entre n et 2n, il y a toujours un nombre premier.

*         Un nombre pair est toujours la somme de 2 premiers.

*         Un nombre impair (>5) est la somme de 3 premiers.

Suite

*    Nombres premiers – Débutants

*    Nombres premiers – Glossaire

*    Nombres premiersIndex

*    Nombres premiers – Types

*    Nombres premiers – Records

*    Nombres premiers – Barre magique

 

 

NOMBRES PREMIERS JUMEAUX

Définition

*         Deux nombres premiers consécutifs impairs P et P + 2 ou J + 1

Exemples

3 et 5; 5 et 7; 11 et 13; 17 et 19 …

Anglais

Twin prime

Propriétés

*         On conjecture qu'ils sont en nombre infini.

Suite

*    Nombres premiers jumeaux

*    Nombres premiers triplés, quadruplés …

 

 

NOMBRES PREMIERS de Sophie Germain

Définition

*         Si p et 2p + 1 sont premiers, alors p est un nombre premier de Sophie Germain.

Exemples

2 (5); 3 (7); 5 (11); 11 (23); 23 (47); 29 (59); 41 (83); 53 (107); 83 (167); 89 (179); 113 (227); 131 (263) …

Anglais

Sophie Germain prime

Propriétés

*         Vers 1825, Sophie Germain prouva que le grand théorème de Fermat est vérifié pour de tels nombres premiers.

Suite

*    Premiers de Sophie Germain

*    Premier de Sophie Germain – Records

 

 

NOMBRES PREMIERS de Woodall

Définition

*         Un nombre premier de Woodall est de la forme n . 2n – 1.

*         Un nombre de la forme n . bn – 1 avec b différent de 2, est un nombre de Woodall généralisé.

Exemples

2, 3, 6, 30, 75, 81, 115, 123, 249, 362, 384, 462, 512, 751, 822, 5312, 7755, 9531, 12379, 15822, 8885, etc.

Anglais

Woodall prime

Propriétés

*         On conjecture qu'ils sont en nombre infini.

Suite

*    Nombres premiers de Woodall

*    Premiers de Woodall – Record

 

 

NOMBRES PREMIERS ENTRE EUX

NOMBRES ÉTRANGERS

Définition

*         Deux nombres qui n'ont aucun diviseur commun.

Exemples

15, 16 et 77 sont étrangers, car

15 :   diviseurs   3 et 5

16 :   diviseurs   2

77 :   diviseurs   7 et 11.

Anglais

Coprime or relatively prime

Suite

*    Nombres étrangers

 

 

NOMBRES SEMI-PREMIERS

ou BI-PREMIERS

ou 2-PRESQUE PREMIER

Définition

*         Nombre qui n'a que deux diviseurs spécifiques, outre 1 et lui-même, soit 4 au total. Ces deux nombres sont distincts ou non.

*         Un nombre presque premier est nombre premier ou semi premier.

Exemples

6 = 2x3, 10 = 2x5, 14 = 2x7, 15 = 3x5, 21 = 3x7, 22 = 2x11, 26 = 2x13, 33 = 3x11, 34 = 2x17, 35 = 5x7 …

Anglais

Semiprime, biprime, 2-almost-prime or pq prime.

Propriétés

*         33, 34 et 35: premier triplet de semi premiers consécutifs.

*         818 et 831 plus grand espace entre deux semi premiers inférieurs à 1000.

*         Un nombre semi premier est simple; il  est également sans-carré.

*         Tous les carrés sont des nombres semi premiers
2x2 = 4, 3x3 = 9 …

*         Les semi premiers de grande taille sont la base de la cryptographie, car il est facile de les multiplier et extrêmement difficile de factoriser le nombre ainsi obtenu.

*         Le totient d'un semi premier pq est simplement calculé par:

Suite

*    Nombres semi-premiers

*    Table des semi-premiers de 1 à 999

*    Codage RSA

 

k-PRESQUE PREMIER

Définition

*         Nombre produit de k nombres premiers non nécessairement distincts.

*         1–presque premier sont les nombres premiers.

Exemples

  6 = 2 x 3                 2–PP

  8 = 2 x 2 x 2           3–PP

24 = 2 x 2 x 2 x  3    4–PP

Voir Table

 

 

NOMBRES HOMOGÈNES

Définition

*         Deux nombres a et b sont homogènes s'ils admettent les mêmes facteurs premiers.

Exemples

60 =    x  3   x  5

90 =  2   x    x  5

Anglais

Homogeneous numbers.

Suite

*    Nombres homogènes

*    Nombres simples

 

 

NOMBRES PRIMAIRES

Définition

*         Puissance positive d'un nombre premier.

*         Les carrés et les cubes sont des nombre primaires

Exemples

27   =  33

16   =  24

Voir Table des nombres primaires et nombres produit de primaires

 

 

 

NOMBRES SIMPLES

Définition

*         Nombre qui, dans sa décomposition en facteurs premiers, possède seulement des exposants significatifs égaux à un.

*         Les nombres sans carré (square-free numbers) comprennent les nombres simples et les nombres premiers, plus le nombre un.

Exemples

    6 = 2 x 3

105 = 3 x 5 x 7

Suite

*    Nombres simples

*    Nombres homogènes

 

 

NOMBRES PLÉNIPOTENTS

Définition

*         Nombre qui, dans sa décomposition en facteurs premiers, n'a pas d'exposant inférieur à 2 (aucun à un).

Exemples

     108 =  22 x 33

10 575 = 32 x  52 x   72

Anglais

Powerful numbers

Suite

*    Nombres plénipotents

 

 

NOMBRES PSEUDO-PREMIERS

NOMBRES DE POULET

Définition

*         Nombre pseudo- premier, nombre composé n tel que  an  a (mod n) pour une valeur de a particulière, au moins.

*         Nombre 2-pseudo premier: nombre  composé n tel que 2n  2 (mod n).

Si je divise par n, il reste 2.

Exemples

        341 =   2341 – 2            = 341 . k

161 038 =   2161038 – 2  = 161038 . k

Anglais

Pseudo-prime (prononcez: "sudo"; on n'entend pas le "p")

Propriétés

*         2340 – 1 est divisible par 341bien que 341 soit composé, donc pas premier. ce qui montre que la réciproque du petit théorème de Fermat est fausse.

Suite

*    Nombres de Poulet

*    Modulo

*    Théorie des nombresIndex

 

 

NOMBRES PSEUDO-PREMIERS ABSOLUS

NOMBRES DE CARMICHAËL

Définition

*         Nombre pseudo- premier absolu, nombre composé n tel que  an  a (mod n) pour tout entier a, non premier avec n.

Exemples

a560 - 1 est divisible par 561 pour tout a.

561 = 3 x 11 x 17, 1 105 = 5 x 13 x 17, 1 729 = 7 x 13 x 19, 2 465 = 5 x 17 x 29, 2 821= 7 x 13 x 31 …

Anglais

Carmichael number, absolute pseudo prime, absolute Fermat pseudo prime.

Propriétés

*         Tous impairs.

*         Il en existe une infinité. Prouvé en 1992.

*         Trois facteurs au moins: donc produit de trois nombres impairs premiers.

*         Aucun facteur n'est un carré.

Suite

*    Nombres de Carmichaël

*    Théorie des nombresIndex

*    Nombres de Zeisel

 

 

NOMBRES PREMIERS CIRCULAIRES

NOMBRES PREMIERS PERMUTABLES

Définition

*         Nombre premier qui reste premier en permutant circulairement ses chiffres.

Exemples

13, 31

113, 131, 311

1193, 1931, 9311, 3119

Suite

*    Nombres premiers circulaires

 

 

NOMBRES PREMIERS LONGS

NOMBRES TÊTUS

Définition

*         Nombres premier p dont l'inverse a un cycle de période maximale. La période est égale à p – 1.
Ou, autre formulation

*         L'inverse du nombre 1/p est un nombre cyclique dont la longueur du cycle est maximale Lc = p – 1.

Exemples

1/7 = 0, 142857 142857 ... 

Cycle de longueur: 7 – 1 = 6

Liste

7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, 179, 181, 193, 223, 229, 233, 257, 263, 269, 313, 337, 367, 379, 383, 389, 419, 433, 461, 487, 491, 499, 503, 509, 541, 571, 577, 593, 619, 647, 659, 701, 709, 727, 743, 811, 821, 823, 857, 863, 887, 937, 941, 953, 971, 977, 983 …

Propriétés

*         D'une manière générale, tous les nombres cycliques ont une période comprise entre (n – 1) / 2 et n – 1.
Ce sont ceux avec une période n – 1 que l'on appelle nombres têtus.

*         Leur produit par un nombre quelconque donne des configurations remarquables.

*         La proportion de nombres premiers longs est supposée être 37%, la constante d'Artin (0,373955...).

Suite

*    Nombres cycliques en général

*    Nombres cycliques et premiers longs

*    Nombres têtus

 

 

NOMBRES PREMIERS LONGS d'ordre 2

NOMBRES TÊTUS d'ordre 2

Définition

*         Nombres têtus dont les chiffres sont la permutation des chiffres de deux nombres et non plus un seul, comme les têtus simple (ordre 1).

Exemples

1 / 13 = 0, 076 923 … et  4 / 13 = 0, 307 692 …

2 / 13 = 0, 153 846 … et  5 / 13 = 0, 384 615 …

Liste

13, 31, 43, 67, 71, 83, 89 …

Propriétés

*         On peut généraliser à l'ordre n.

Le plus petit d'ordre 3 est 103.

Suite

*    Nombres têtus d'ordre 2

*    Nombre 142 857

 

 

 

NOMBRES DE HARSHAD

NOMBRES DE NIVEN

Définition

*         Nombre divisible par la somme de ses chiffres.

Exemples

1 729 = 19 x 91       et     1 + 7 + 2 + 9 = 19

6 174 = 18 x 343     et     6 + 1 + 7 + 4 = 18

Liste

10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80, 81, 84, 90, 100, 102, 108, 110, 111, 112, 114, 117, 120, 126, 132, 133, 135, 140, 144, 150, 152, 153, 156, 162, 171, 180, 190, 192, 195, 198, 200, 201, 204 …

Suite

*    Nombre de Harshad

 

 

NOMBRES COMPLÉMENTÉS

Définition

*         Nombre complémenté:

les chiffres du nombres    (3 , 1 , 5)

sont égaux aux compléments à 10

des facteurs du nombre   (7 , 9 , 5)

Exemple

3 1 5 =       7    x     9     x     5

         = (10 – 3) (10 – 1) (10 – 5)

Propriétés

*         315 est le plus grand nombre complémenté non-terminé par zéro. Les autres sont 18 et 35. Le premier terminé par zéro est 50.

Suite

*    Nombres complémentés

 

 

NOMBRES DE CULLEN

Définition

*         Nombres de la forme:   C = n . 2n + 1

Exemples

  3 = 1 x 21 + 1

  9 = 2 x 22 + 1

25 = 3 x 23 + 1

Liste

3, 9, 25, 65, 161, 385, 897,

2049, 4609, 10241, 22529, 49153,

106497, 229377, 491521, 1048577,

2228225, 4718593, 9961473, 20971521 …

Suite  Nombres de Cullen

 

NOMBRES DE PROTH

Définition

*         Nombres de la forme:   C = k . 2n + 1

Avec  0 < k < 2n

Exemples

  3 = 1 x 21 + 1

  5 = 1 x 22 + 1

  9 = 2 x 22 + 1

Propriétés

Tous les nombres de Fermat (k = 1 et n = 2h) et tous les nombres de Cullen (k = n) sont des nombres de Proth.

Liste

3, 5, 9, 13, 17, 25, 33, 41, 49, 57, 65, 81, 97, 113, 129, 145, 161, 177, 193, 209, 225, 241, 257, 289, 321, 353, 385, 417, 449, 481, 513, 545, 577, 609, 641, 673, 705, 737, 769, 801, 833, 865, 897, 929, 961, 993, 1025, 1089, 1153, 1217, 1281, 1345, 1409 …

Source: OEIS A080075Proth numbers

 

NOMBRES DE WOODALL

Définition

*         Nombres de la forme:   C = n . 2n 1

Ce sont les nombres de Cullen du second type, aussi appelés: nombres de Woodall (ou encore de Riesel).

 

Liste

1, 7, 23, 63, 159, 383, 895, 2047, 4607, 10239, 22527, 49151, 106495, 229375, 491519, 1048575, 2228223, 4718591, 9961471, 20971519 …

Suite  Nombres de Woodall et Woodall généralisés

 

 

 

NOMBRES DE WILSON

Définition

*         Nombre e la forme: (p – 1)! + 1 avec p premier.

Exemple

(2 – 1) ! + 1   = 1! + 1   =     2

(3 – 1) ! + 1   = 2! + 1   =     3

(4 – 1) ! + 1   = 3! + 1   =     7

(5 – 1) ! + 1   = 4! + 1   =   25

Propriétés

*         Théorème de Wilson

 

Un nombre de Wilson (p - 1)! + 1 est divisible par p si et seulement si p est premier.

Très rarement, il est aussi divisible par .

 

*         Nombres de Wilson premiers: 5, 13, 563,
le suivant est > 200 000.

Suite

*    Théorème de Wilson

*    Factorielle

 

 

 

 

Suite

*    Nombres selon la somme des diviseurs

*    Produit des diviseurs

*    Nombres selon leurs facteurs

Voir

*    Inventaire des nombres: Entiers, rationnels, irrationnels, réels, transcendants…

*    Diviseurs: Décomposition des nombres: premiers et composés

*    Premiers: Propriétés, quantités

*    Parfaits: Somme de diviseurs

*    Amiables: L'un est somme des diviseurs de l'autre

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