collection de nombres, nombres et produit des diviseurs

NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil / Dictionnaire / Rubriques / Index / Atlas / Références / Nouveautés ORIENTATION GÉNÉRALE - *M'écrire* - Édition du: 06/02/2012
Débutants Nombres	Rubrique: NOMBRES		Glossaire Nombres
	DÉCOMPOSITION
Index des pages NOMBRES par >>> NOM >>> TYPE	Produit des diviseurs Exemple: nombres premiers	Somme des diviseurs Exemple: nombres parfaits
	Sommaire de cette page >>> Nombres et leurs décompositions >>> Nombres composés >>> Nombres multiples >>> Nombres premiers >>> Nombres premiers jumeaux >>> Nombres premiers de Sophie Germain >>> Nombres premiers de Woodall >>> Nombres premiers entre - eux >>> Nombres semi-premiers >>> Nombres homogènes >>> Nombres primaires >>> Nombres simples >>> Nombres plénipotents >>> Nombres pseudo-premiers ou nombres de Poulet >>> Nombres pseudo-premiers absolu ou nombres de Carmichaël >>> Nombres premiers circulaires >>> Nombres premiers longs ou nombres têtus >>> Nombres têtus d'ordre 2 >>> Nombres de Harshad >>> Nombres complémentés >>> Nombres de Cullen >>> Nombres de Wilson

NOMBRES et leur structure

face à la MULTIPLICATION

Les nombres peuvent être classés par ensembles : entiers, rationnels, réels ...
Mais aussi: un nombre se décompose de façon unique en facteurs premiers, propriété qui permet de les classer selon des critères de divisibilité.

Selon ce classement, les nombres PREMIERS tiennent la vedette

On a brodé autour

En utilisant les grands théorèmes de l'arithmétique

Théorème fondamental

Petit théorème de Fermat

Théorème de Wilson

C'est l'objet cette page: une revue de tous ces types de nombres.

Chaque type fera aussi l'objet d'une page spéciale.

NOMBRES COMPOSÉS
Définition	Entiers naturels non premiers, c'est-à-dire ceux qui admettent plus de deux diviseurs.
Exemples	35 = 5 x 7 diviseurs: 1, 5, 7, 35 111 = 3 x 37 diviseurs: 1, 3, 37, 111
Anglais	Composite numbers (neither prime, nor equal to 1).
Théorème	Théorème fondamental de l'arithmétique: Tout nombre entier naturel est décomposable de façon unique en produit de ses diviseurs premiers, aux permutations près des termes. Exemple: 111 = 3 x 37
Suite	Nombres composés Théorème fondamental et sa Démonstration Représentation des nombres

NOMBRES MULTIPLES
Définition	Multiple d'un entier n: tout autre entier qui est divisible sans reste par ce nombre n.
Exemples	14, 21, 28 … sont des multiples de 7. 10, 20, 100, 1100 … sont des multiples de 10. 111, 222, 333 … sont des multiples de 37.
Extension	PPCM: plus petit commun multiple.
Anglais	Least Common Multiple – LCM.

NOMBRES PREMIERS
Définition	Entiers naturels qui possèdent exactement deux diviseurs: lui-même et l'unité.
Exemples	2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17 …
Anglais	Prime numbers or primes
Propriétés	Le nombre 1 n'est pas premier, par convention. Ils sont en nombre infini. Entre n et 2n, il y a toujours un nombre premier. Un nombre pair est toujours la somme de 2 premiers. Un nombre impair (>5) est la somme de 3 premiers.
Suite	Nombres premiers – Débutants Nombres premiers – Glossaire Nombres premiers – Index Nombres premiers – Types Nombres premiers – Records Nombres premiers – Barre magique

NOMBRES PREMIERS JUMEAUX
Définition	Deux nombres premiers consécutifs impairs P et P + 2 ou J + 1
Exemples	3 et 5; 5 et 7; 11 et 13; 17 et 19 …
Anglais	Twin prime
Propriétés	On conjecture qu'ils sont en nombre infini.
Suite	Nombres premiers jumeaux Nombres premiers triplés, quadruplés …

NOMBRES PREMIERS de Sophie Germain
Définition	Si p et 2p + 1 sont premiers, alors p est un nombre premier de Sophie Germain.
Exemples	2 (5); 3 (7); 5 (11); 11 (23); 23 (47); 29 (59); 41 (83); 53 (107); 83 (167); 89 (179); 113 (227); 131 (263) …
Anglais	Sophie Germain prime
Propriétés	Vers 1825, Sophie Germain prouva que le grand théorème de Fermat est vérifié pour de tels nombres premiers.
Suite	Premiers de Sophie Germain Premier de Sophie Germain – Records

NOMBRES PREMIERS de Woodall
Définition	Un nombre premier de Woodall est de la forme n ^.2ⁿ– 1. Un nombre de la forme n ^.bⁿ– 1 avec b différent de 2, est un nombre de Woodall généralisé.
Exemples	2, 3, 6, 30, 75, 81, 115, 123, 249, 362, 384, 462, 512, 751, 822, 5312, 7755, 9531, 12379, 15822, 8885, etc.
Anglais	Woodall prime
Propriétés	On conjecture qu'ils sont en nombre infini.
Suite	Nombres premiers de Woodall Premiers de Woodall – Record

NOMBRES PREMIERS ENTRE EUX NOMBRES ÉTRANGERS
Définition	Deux nombres qui n'ont aucun diviseur commun.
Exemples	15, 16 et 77 sont étrangers, car 15 : diviseurs 3 et 5 16 : diviseurs 2 77 : diviseurs 7 et 11.
Anglais	Coprime or relatively prime
Suite	Nombres étrangers

NOMBRES SEMI-PREMIERS
Définition	Nombre qui n'a que deux diviseurs spécifiques, outre 1 et lui-même, soit 4 au total. Ces deux nombres sont distincts ou non. Un nombre presque premier est nombre premier ou semi premier.
Exemples	6 = 2x3, 10 = 2x5, 14 = 2x7, 15 = 3x5, 21 = 3x7, 22 = 2x11, 26 = 2x13, 33 = 3x11, 34 = 2x17, 35 = 5x7 …
Anglais	Semiprime, biprime, 2-almost-prime or pq prime.
Propriétés	33, 34 et 35: premier triplet de semi premiers consécutifs. 818 et 831 plus grand espace entre deux semi premiers inférieurs à 1000. Un nombre semi premier est simple; il est également sans-carré. Tous les carrés sont des nombres semi premiers 2x2 = 4, 3x3 = 9 … Les semi premiers de grande taille sont la base de la cryptographie, car il est facile de les multiplier et extrêmement difficile de factoriser le nombre ainsi obtenu. Le totient d'un semi premier pq est simplement calculé par:
Suite	Nombres semi-premiers Codage RSA

NOMBRES HOMOGÈNES
Définition	Deux nombres a et b sont homogènes s'ils admettent les mêmes facteurs premiers.
Exemples	60 = 2² x 3 x 5 90 = 2 x 3² x 5
Anglais	Homogeneous numbers.
Suite	Nombres homogènes Nombres simples

NOMBRES PRIMAIRES
Définition	Puissance positive d'un nombre premier
Exemples	27 = 3³ 16 = 2⁴

NOMBRES SIMPLES
Définition	Nombre qui, dans sa décomposition en facteurs premiers, possède seulement des exposants significatifs égaux à un. Les nombres sans carré (square-free numbers) comprennent les nombres simples et les nombres premiers, plus le nombre un.
Exemples	6 = 2 x 3 105 = 3 x 5 x 7
Suite	Nombres simples Nombres homogènes

NOMBRES PLÉNIPOTENTS
Définition	Nombre qui, dans sa décomposition en facteurs premiers, n'a pas d'exposant inférieur à 2 (aucun à un).
Exemples	108 = 2² x 3³ 10 575 = 3² x 5² x 7²
Anglais	Powerful numbers
Suite	Nombres plénipotents

NOMBRES PSEUDO-PREMIERS NOMBRES DE POULET
Définition	Nombre pseudo- premier, nombre composé n tel que aⁿ a (mod n) pour une valeur de a particulière, au moins. Nombre 2-pseudo premier: nombre composé n tel que 2ⁿ 2 (mod n). Si je divise par n, il reste 2.
Exemples	341 = 2³⁴¹ – 2 = 341 . k 161 038 = 2¹⁶¹⁰³⁸ – 2 = 161038 . k
Anglais	Pseudo-prime (prononcez: "sudo"; on n'entend pas le "p")
Propriétés	2³⁴⁰ – 1 est divisible par 341bien que 341 soit composé, donc pas premier. ce qui montre que la réciproque du petit théorème de Fermat est fausse.
Suite	Nombres de Poulet Modulo Théorie des nombres – Index

NOMBRES PSEUDO-PREMIERS ABSOLUS NOMBRES DE CARMICHAËL
Définition	Nombre pseudo- premier absolu, nombre composé n tel que aⁿ a (mod n) pour tout entier a, non premier avec n.
Exemples	a⁵⁶⁰ - 1 est divisible par 561 pour tout a. 561 = 3 x 11 x 17, 1 105 = 5 x 13 x 17, 1 729 = 7 x 13 x 19, 2 465 = 5 x 17 x 29, 2 821= 7 x 13 x 31 …
Anglais	Carmichael number, absolute pseudo prime, absolute Fermat pseudo prime.
Propriétés	Tous impairs. Il en existe une infinité. Prouvé en 1992. Trois facteurs au moins: donc produit de trois nombres impairs premiers. Aucun facteur n'est un carré.
Suite	Nombres de Carmichaël Théorie des nombres – Index

NOMBRES PREMIERS CIRCULAIRES NOMBRES PREMIERS PERMUTABLES
Définition	Nombre premier qui reste premier en permutant circulairement ses chiffres.
Exemples	13, 31 113, 131, 311 1193, 1931, 9311, 3119
Suite	Nombres premiers circulaires

NOMBRES PREMIERS LONGS NOMBRES TÊTUS
Définition	Nombres premier p dont l'inverse a un cycle de période maximale. La période est égale à p – 1. Ou, autre formulation L'inverse du nombre *1/p* est un nombre cyclique dont la longueur du cycle est maximale L_c = p – 1.
Exemples	1/7 = 0, 142857 142857 ... Cycle de longueur: 7 – 1 = 6
Liste	7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, 179, 181, 193, 223, 229, 233, 257, 263, 269, 313, 337, 367, 379, 383, 389, 419, 433, 461, 487, 491, 499, 503, 509, 541, 571, 577, 593, 619, 647, 659, 701, 709, 727, 743, 811, 821, 823, 857, 863, 887, 937, 941, 953, 971, 977, 983 …
Propriétés	D'une manière générale, tous les nombres cycliques ont une période comprise entre *(n – 1) / 2* et *n – 1. Ce sont ceux avec une période n – 1* que l'on appelle nombres têtus. Leur produit par un nombre quelconque donne des configurations remarquables. La proportion de nombres premiers longs est supposée être 37%, la constante d'Artin (0,373955...).
Suite	Nombres cycliques en général Nombres cycliques et premiers longs Nombres têtus

NOMBRES PREMIERS LONGS d'ordre 2 NOMBRES TÊTUS d'ordre 2
Définition	Nombres têtus dont les chiffres sont la permutation des chiffres de deux nombres et non plus un seul, comme les têtus simple (ordre 1).
Exemples	1 / 13 = 0, 076 923 … et 4 / 13 = 0, 307 692 … 2 / 13 = 0, 153 846 … et 5 / 13 = 0, 384 615 …
Liste	13, 31, 43, 67, 71, 83, 89 …
Propriétés	On peut généraliser à l'ordre n. Le plus petit d'ordre 3 est 103.
Suite	Nombres têtus d'ordre 2 Nombre 142 857

NOMBRES DE HARSHAD NOMBRES DE NIVEN
Définition	Nombre divisible par la somme de ses chiffres.
Exemples	1 729 = 19 x 91 et 1 + 7 + 2 + 9 = 19 6 174 = 18 x 343 et 6 + 1 + 7 + 4 = 18
Liste	10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80, 81, 84, 90, 100, 102, 108, 110, 111, 112, 114, 117, 120, 126, 132, 133, 135, 140, 144, 150, 152, 153, 156, 162, 171, 180, 190, 192, 195, 198, 200, 201, 204 …
Suite	Nombre de Harshad

NOMBRES COMPLÉMENTÉS
Définition	Nombre complémenté: les chiffres du nombres (3 , 1 , 5) sont égaux aux compléments à 10 des facteurs du nombre (7 , 9 , 5)
Exemple	3 1 5 = 7 x 9 x 5 = (10 – 3) (10 – 1) (10 – 5)
Propriétés	315 est le plus grand nombre complémenté non-terminé par zéro. Les autres sont 18 et 35. Le premier terminé par zéro est 50.
Suite	Nombres complémentés

NOMBRES DE CULLEN
Définition	Nombres de la forme: C = n . 2ⁿ + 1
Exemples	3 = 1 x 2¹ + 1 9 = 2 x 2² + 1 25 = 3 x 2³ + 1
Liste	3, 9, 25, 65, 161, 385, 897, 2049, 4609, 10241, 22529, 49153, 106497, 229377, 491521, 1048577, 2228225, 4718593, 9961473, 20971521 …
Propriétés	Pour tout entier premier p différent de 2, il existe une infinité d'entiers n tels que p divise le nombre de Cullen d'indice n (C_n). On ignore s'il existe une infinité de nombres de Cullen premiers. Les nombres premiers de Cullen jusqu'à 20 000 portent les indices: 1, 141, 4713, 5795, 6611, 18496 141 x 2¹⁴¹ + 1 est le seul nombre de Cullen premier pour n compris entre 2 et 1000, découvert par Robinson en 1958. Sa valeur: 0,35 10⁴⁵ = 393050634124102232869567034555427371542904833
Définition bis	Nombres de la forme: C = n . 2ⁿ – 1
Liste	1, 7, 23, 63, 159, 383, 895, 2047, 4607, 10239, 22527, 49151, 106495, 229375, 491519, 1048575, 2228223, 4718591, 9961471, 20971519 …
Premiers	Premiers pour n, C: 2, 7 3, 23 6, 383 30, 32212254719 75, 2833419889721787128217599 81, 195845982777569926302400511 115, 4776913109852041418248056622882488319 123, 1307960347852357218937346147315859062783

NOMBRES DE WILSON
Définition	Nombre e la forme: (p – 1)! + 1 avec p premier.
Exemple	(2 – 1) ! + 1 = 1! + 1 = 2 (3 – 1) ! + 1 = 2! + 1 = 3 (4 – 1) ! + 1 = 3! + 1 = 7 (5 – 1) ! + 1 = 4! + 1 = 25
Propriétés	Théorème de Wilson Un nombre de Wilson (p - 1)! + 1 est divisible par p si et seulement si p est premier. Très rarement, il est aussi divisible par p². Nombres de Wilson premiers: 5, 13, 563, le suivant est > 200 000.
Suite	Théorème de Wilson Factorielle

Suite

Produit des diviseurs

Voir

Inventaire des nombres: Entiers, rationnels, irrationnels, réels, transcendants…

Diviseurs: Décomposition des nombres: premiers et composés

Premiers: Propriétés, quantités

Parfaits: Somme de diviseurs

Amiables: L'un est somme des diviseurs de l'autre