NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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EXPOSANTS

 

Débutants

Général

RACINES 13e

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

 

Racine

 

Calcul mental

 

Règles de base =>

Principe

Unités et dizaines

Poids forts

2 chiffres =>

Dizaine impaire

Dizaine paire

 

Sommaire de cette page

>>>  Le défi

>>>  La méthode en bref

>>>  Familiarisation

>>> Suite

 

 

 

 

 

RACINE TREIZIÈME

Principe du calcul

 

Objet de calcul mental par certains prodiges jusqu'à des nombres de 100 voire 200 chiffres. Quel est leur secret ? Explorons quelques principes qui facilitent leur tâche tout en reconnaissant que ces calculs relèvent néanmoins de l'exploit: mémoire et agilité mentale.

 

Calcul de la racine treizième d'un nombre de 100 chiffres:

Record 2002: Alexis Lemaire – 13,55 s

Record 2004: Gert Mittring     – 11,80 s (non homologué)

Record 2004: Alexis Lemaire    3,6 s (non homologué)

 

En explorant ce sujet, nous allons faire appel à diverses techniques de calcul. C'est le principal intérêt de ces pages.

Anglais: Lightning calculators

 

 

Actualité mai 2016

Racine 89 247e d'un nombre d'un million de chiffres.

Exploit réalisé en 6 minutes et 1,4 seconde par Gert Mittring à Zurich dont le QI est estimé à 175.

Voir Actualités 2016

 

Actualité janvier 2014

Racine 13e de 13 060 694 016 = 6

Exploit réalisé en une minute en janvier 2014 durant une émission de télévision par Zhou Wei, surnommé le Rain Man chinois, du fait qu'il souffre de troubles mentaux

 

 

 

Le défi!

 

*    Étant donnée un nombre de 100 chiffres qui est une puissance 13e d'un nombre, retrouver ce nombre de tête.

*    Autrement-dit: extraire la racine treizième d'un nombre de cent chiffres.

 

Exemple



Il existe 7 992 563 racines treizièmes à cent chiffres. 


Ils ont huit chiffres et commencent par 4, et

le dernier chiffre est égal au dernier du nombre proposé.

 

Record du monde par Alexis Lemaire (1980-)

*    100 chiffres en 13,55 secondes puis 3,6s (pratiquement le temps de lire le nombre et sa racine).

*    200 chiffres en 70,2 secondes.

 

Voir Sites Internet pour historique détaillé

 

La méthode en bref

 

*    Malgré la présence de 100 chiffres, le calcul s'intéresse uniquement aux quatre premiers (bleus) et aux quatre derniers (rouges). De plus:

*       Le premier chiffre est toujours 4.

*       Le dernier est  toujours le même pour la puissance et pour la racine. C'est une des propriétés qui justifient le choix de la racine treizième.

*    Alors, le travail est bigrement allégé! Il ne reste plus que six chiffres à trouver …

 

 

*    Non! Les six autres chiffres nécessitent des calculs qui dépassent le niveau du calcul mental classique:

*       Les trois de poids forts (ici, 567) résultent d'un calcul via les logarithmes et la mémorisation d'une table.

*       Les trois de poids faible (ici, 891) se déduisent de règles, certaines relativement simples et d'autres plus alambiquées. La technique utilisées et celle des restes de la division (modulos).
 

 

 

Familiarisation

 

*    Un exemple:

1234513 = 1546 6221494091 4131102165 1977071012 9584923084 5947265625

avec 54 chiffres.

*    La plus petite puissance de 13 significative:

213 = 8192

avec 4 chiffres.

*    Avec les puissances de 10:

1013 = 1000 0000000000

avec 14 chiffres (13 + 1).

10013 = 1000000 0000000000 0000000000

avec 27 chiffres (2 x 13 + 1).

100013 = 1000000000 0000000000 0000000000 0000000000

avec 40 chiffres (3 x 13 + 1).

*    Et les puissances avec 100 chiffres

Encadrement par une puissance de 10

100 / 13 = 7,69…

(107)13 =>   92 chiffres (7 x 13 + 1).

(108)13 => 105 chiffres (8 x 13 + 1).

En fait:

 

Une recherche complète montre qu'il y a presque 50 millions de nombres (49 238 826) qui ont une puissance treizième avec au plus 100 chiffres.


49 238 82613 =

9999999162 8809505076 4468891852 4814522347 2426272392 4318937611 5437857450 7585909784 4482036507 4927230976

*    Quels sont les nombres pour lesquels la quantité de chiffres (qC) change de décade?
Exemple: 513 = 1 220 703 125 qui passe le cap des dix chiffres; 2913 celui des vingt chiffres, jusqu'à 41 246 264 13 qui est le premier à 100 chiffres.

 

 

 

La suite…

 

*    Nous allons procéder en trois temps pour sérier les sujets en commençant par les plus simples.

 

1.   Description des techniques de base pour le calcul des poids faibles et pour les poids forts.

 

2.   Calcul de la racine en se limitant à 10013, soit une racine avec deux chiffres seulement. Le calcul mental de tête pour un tel cas limité reste un challenge. >>>

 

3.   Description des méthodes permettant d'aborder la résolution générale du problème à 100 chiffres: avec le bagage décrit dans ce site, se reporter aux sites Internet spécialisés.
 

 

 

 

Suite

*         Calculs des poids faibles

Voir

*         Racine cinquième

Site

*         La racine treizième par Alexis Lemaire

*         Racine treizième d'un nombre de 100 chiffres - Wikipédia

*         Mental Calculation Records: Extracting Roots

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Analyse/Racine13.htm