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EXPOSANTS

 

Débutants

Général

RACINES 13e

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

 

Racine

 

Calcul mental

 

Règles de base =>

Principe

Unités, dizaines …

Poids forts

2 chiffres =>

Dizaine impaire

Dizaine paire

 

Sommaire de cette page

>>>  Principe de calcul

>>>  Rappels sur les logarithmes

>>>  Racine 13e avec les logs

>>> Principe du calcul – Racines 13e / 100 chiffres

 

 

 

 

 

RACINE TREIZIÈME

Technique de base du calcul

des poids forts

 

Principe de calcul des chiffres de poids forts (ceux de gauche dans le nombre). On procède selon deux techniques:

*      Calcul de l'ordre de grandeur pour les petites racines (Voir exemple avec les racines cubiques)

*      Calcul en passant par les logarithmes pour le cas général, notamment la racine treizième.

 

 

 

Principe de calcul

 

*    Dans le monde des logarithmes, la racine 13e devient une division par 13. Plus simple, à deux conditions:

*       effectuer une division par 13, ce qui nécessite un certain entraînement; et

*       connaître un certain nombre de logarithmes par cœur.

 

*    Partant du nombre N (ou de ses chiffres de poids fort, comme nous le verrons plus loin)

*       calcul du log base 10 de N;

*       division par 13; et

*       calcul de l'antilog de ce résultat qui donne immédiatement la racine R.


 

 

 

 

 

Rappels sur les logarithmes

 

*    Pour les calculs, nous utilisons les logarithmes en base 10 (abrégés en log) et non les logarithmes népériens à base e (ln).

 

Exemples

*    Puissances de 10: le logarithme est simplement l'exposant de la puissance.

 

Formules

 

 

Log et antilog

*      Passage du log au ln

 

*    Calcul de l'antilog

    avec ln (10) = 2,302585093…

 

Exemple: log (123456789) = 8,091514979…

                     antilog (8,091514979) = exp(8,0915 x 2,302585093) = 123456789,5

 

En pratique

Ces calculs ne peuvent être effectués qu'avec l'aide d'une calculette ou d'un tableur. Pour le calcul mental de la racine treizième, une table, aussi limitée que possible, est mémorisée. Les calculs se font par interpolation à partir des valeurs de la table.

 

 

 

Racine 13e avec les logs

Décimal entrée        

Calculs avec log           

Décimal sortie

Exemple

N = 877521 0229989679

                    8785221299

Quantité de chiffres: 26

 

log10 (N) = 25 + log10 (8,77)

                = 25 + 0,94325…

                = 25,94325…

NB: On sait que N est bien un cube parfait.

 

log10 ()

= 1/13 x log10(N)

= 25,94325…/13

=   1,9956…

= 101,9956…

= 98,99

=> 99

Confirmé par l'unité en 9.

Maximum

N = 10100 (qC = 101)

log10 (N) = 100

NB: N n'est pas un cube parfait.

log10 ()

= 1/13 x log10(N)

= 100 / 13

=   7,6923…

= 107,6923…

= 4,923795420 … 107

= 49 237 954,20

 

 

Principe du calcul – Racines 13e de nombres à100 chiffres

 

*    Pour obtenir un calcul mental des poids forts, il est possible d'utiliser les logarithmes. Une autre méthode consiste à mémoriser quelques valeurs et a effectuer les corrections nécessaires par interpolation.

*    Voici la table proposée par Ron Doerfler and Miles Forster. Elle comporte neuf triplets de valeurs, nombres en gras.

 



La méthode à l'œuvre

N = 2928811583 4875201060 5535673527 8365212219 6502020937

        1392842551 0086152669 6334642225 8777030827 9739304053

  dont nous connaissons la racine R = 4480 0613.

 

Cinq premiers chiffres

Le plus proche dans la table

Écart / 100

Correction (cf. table)

2928,8

2869

0059,8 / 100 = 0,598  0,6

0,6 x 12 = 7,2

Racine lue dans la table / 100

Correction

Somme

Quatre premiers chiffres

4473

      7,2

4480,2

4480

Il s'agit là du principe. Parfois, il est nécessaire d'introduire des corrections du second ordre.

 

 

 

Suite

*         Deux chiffres – Dizaine impaire

Voir

*         Racine cubique

*         Racine cinquième

Site

*         La racine treizième par Alexis Lemaire

*         The 13th Root of a 100-Digit Number
par Ron Doerfler and Miles Forster

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Analyse/Racine13.htm