NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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EXPOSANTS

 

Débutants

Général

PUISSANCES

& RACINES

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

 

Puissances et racines

 

Carrés et racines carrées

 

Analyse

 

Puissance

Comparaison

Puissance de 2

Puissance de 10

Racine

Racine carrée

Continue

Rac. de 2, 3 …

Racine cubique

Racine treizième

Dev. limité

Constantes en racines

Racines triangulaires

 

Sommaire de cette page

>>> Racine

>>> Calcul numérique avec calculette

>>> Calcul numérique avec ordinateur

>>> Calcul algébrique

>>> Exemple avec racines cubiques

>>> Anglais

 

 

 

 

 

RACINES 

 

Puissances et Racines

sont des fonctions inverses.

81 = 34

 

3 = 481 = 811/4

 

Calculateurs prodiges

 

Racine treizième d'un nombre de cent chiffres:

 

*    Il faut au moins quinze secondes pour taper ces chiffres sur un clavier;

*    11,80 secondes c'est le temps mis pour le calcul par Gert Mittring (Allemand dont le QI serait de 145) – 2004;

*    13,55 secondes, précédent record détenu par Alexis Lemaire (Français) – 1988.

Voir Pensées & humour

 

 

RACINE

Notation

na : racine nième de a

23  :  racine carrée       de   3

481: racine quatrième de 81

Le symbole   est appelé le radical.

Évolution à partir de la lettre r.

Du latin radix (racine).

Introduit par Christoph Rudolff 1525.

 

Notation fractionnaire         na = a 1/n

Notation sans exposant     na = a^1/n

Usage

La racine deuxième est appelée racine carrée:    23 ou 3

La racine troisième est appelée racine cubique   33

 

Définition

 

La racine nième de a est un  nombre r tel que    rn  =    a

Alors, on note                                                             r   = na

Maths

L’application

est une bijection  de  

dont l’inverse est noté:  

Propriétés

Tout nombre complexe z admet           n racines nièmes complexes.

Tout nombre réel          x admet au plus deux racines nièmes réelles.

 

 

 

L'élève: les racines des mots sont-elles carrées?

Le professeur: carrées ou cubiques. C'est selon.

Eugène Ionesco, La Leçon

Voir Pensées & humour

 

 

 

Calcul numérique avec une calculette

 

 

Ce qu'il faut savoir

Une racine est une puissance avec l'inverse de l'exposant:

 

 

Méthode

La procédure semble un peu longue, car décrite pas à pas.

On montre d'abord comment accéder à la calculette de l'ordinateur;

Puis le calcul d'une puissance avec la touche xy; et

Enfin, le calcul d'une racine (n) via la puissance inversée (1/n).

 

 

 

Accès

à la calculette  scientifique de l'ordinateur.

 

1.    Cliquer en bas de l'écran à gauche (image =>)

2.    Tous les programmes

3.    Dossier : Accessoires

4.    Sélectionner Calculatrice

5.    Affichage: choisir Scientifique

 

 

 

Calcul d'une puissance

 

 

210 = 1024

1.    Introduire le nombre (2) sur la calculette ou sur le clavier numérique de votre ordinateur

2.    Sélectionner la touche xy

3.    Introduire l'exposant (10)

4.    Faire = sur la calculette ou Entrée sur le clavier

 

 

Calcul d'une racine

 

 

 

Même méthode que pour  la puissance. Cependant, il faut mettre la fraction 1/19 entre parenthèses pour qu'elle soit calculée en premier lieu. Puis, on exécute l'élévation à la puissance.

1.    Introduire le nombre 2

2.    Sélectionner la touche xy

3.    Ouvrir la parenthèse (touche parenthèse)

   

4.    Taper 1/19

5.    Fermer la parenthèse (la valeur affichée est égale à 1/19)

6.    Appuyer sur = ou Entrée

Voir Table des racines énièmes de 2

 

 

Calcul numérique avec ordinateur

attention.png  Trois méthodes aux résultats différents avec un outil comme Maple

               Avec la conclusion que surd est l'instruction à utiliser! Voir aussi Racine carrée

 

Calcul avec fraction

 

 

La racine cubique de 8 est bien 2 (2.0000…  en virgule flottante).

 

 

L'opposée de la racine cubique de 8 est bien l'opposée de 2, soit  - 2.

 

Jusque là tout va bien

Mais, voyons le dernier exemple qui est celui qui peut se produire lors d'un calcul algébrique.

La valeur donnée pour la racine cubique du nombre –8 est un nombre complexe. C'est une des racines mais il en manque deux.

Calcul avec l'instruction root (racine)

L'instruction root permet de calculer la racine énième d'un nombre.

Avec un nombre positif, la valeur est celle attendue.

Avec un nombre négatif, le résultat donné en mentionnant la racine cubique (1/3) de –1.

L'évaluation flottante redonne le même résultat qu'ave la méthode des fractions.

Calcul avec l'instruction surd (radical)

 

Avec cette instruction, nombre positif ou négatif, nous obtenons sa racine réelle.

Voir application à la résolution de l'équation du troisième degré 

Cette illustration montre le domaine de définition de la puissance fractionnaire (rouge) et de celui de l'instruction surd (vert).

Explication du programme

Plot est l'instruction de dessin de graphe.

Les crochets permettent de définir deux fonctions à dessiner sur le même graphe.

La dynamique en abscisse est définie par x = de -2 à + 2.

 

 

 Écart entre racines carrées

Quel est le nombre N tel que sa racine carrée et celle du nombre précédent est inférieure à 1/100?

L'idée consiste à inverser l'égalité:

En multipliant par le conjugué pour éliminer les racines au dénominateur:


Ces deux nombre sont proches:

  N > 2 500

La plus petite valeur de N pour une différence:

*    du centième est 50² + 1  = 2501;

*    du millième:       500² + 1 = 250 001;

*    etc.

N et écart de sa racine avec la précédente

Centième

Millième

Dix millième

Voir Identités avec racines /  Nombre 2500

 

CALCUL algébrique

Voir PI = 3,14…

 

 

 

 

Calcul avec racine cubiques – Exemple

 

 

Notation:     a + b = 1

 

 

Calcul

 

Voir Nombre d'or

 

Démonstration

Notez l'utilisation de l'identité (a + b) (a – b) = a² - b² sous la racine cubique.

Cette expression prend également deux valeurs complexes en optant pour les deux autres racines cubiques complexes de -1:   1,927050983… + 0,5352331342 i

 

Notes: nous venons de voir que:

 

Exploration d'autres cas

  Voir Calcul des racines

 

 

Quelques exemples de calculs avec des puissances fractionnaires

avec 2^(5/2) et 2^(3/2)

 

 

ENGLISH CORNER

Words

Racine

Racine carrée

Racine cubique

Root

Square root

Cube root

Radical

Surd

Definition

Square root

The square root of a number is a number which multiplied by itself, gives you the original number. Its symbol is called a radical and looks like this  

For example, 9 is 3, because 3 x 3 = 9

nth  root

The nth root of a number is a number that when multiplied by itself an indicated number of times (n) forms a product equal to a specified number.

For example, a fourth root of 16 is  

Radical

The word radical comes from the Latin word "radix", meaning "root", from which we get not only the word "radical", but also "radish"! 

 

 

 

 

Suite

*    Fonction racine - Courbe

*    Identités avec des racines

*    Limite de la fonction racine

*    Racine de deux

*    Racine de nombres complexes

*    Racine de trois

*    Racine énième de n

*    Racine numérique

*    Racine treizième

*    Radical d'un nombre

*    Table des racines

Calcul

*    Carré et racine carréeIndex

*    Calculs avec de radicaux (racines)

*    Méthode de Héron

*    Méthode de Newton

*    Tables des racines (de 2 à 100)

Voir

*    Constantes

*    Imaginaires

*    Nombre d'Or

*    Pi

*    Puissances

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