NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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  Analyse

 

Débutants

Logarithme

LOGARITHME

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

 

Analyse

Introduction

Calcul

Exemples

Changement de base

Log et unités

Propriétés

Décibel

EXPONENTIELLE

Log Discret

Table

Maths

Historique

ln(1/x) = -ln(x)

x . ln(x)

ln(x + 1) < x 

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Types de logarithmes – Notation – Vocabulaire

>>> Définition

>>> Propriétés

>>> Équations et inéquations

>>> Étude d'une fonction logarithmique

>>> Selon la base

>>> Nombres en logarithmes

>>> Logarithmes irrationnels

 

 

 

 

 

 

Humour

C'est Logarithme et Exponentiel qui sont dans un bar. Ils commandent une bière chacun. Lequel des deux paie?

Réponse: c'est Exponentiel parce que Logarithme népérien.

Voir Pensées & humour

 

Maths à savoir en classe de terminale

La fonction logarithme népérien est l'unique fonction f(x), définie et dérivable sur l'intervalle: ] 0, + [ , et qui vérifie:

f(1) = 0 et f'(x) = 1/x.

 

Autrement dit: ln(x) est la primitive de  sur ] 0, + [ qui s'annule pour x = 1.

Ou encore: pour tout réel x > 0:

Voyons cela pas à pas …

 

 

LOGARITHMES

 

Nombres qui "raccourcissent" les très grands nombres

                et qui transforment les multiplications en additions.

 

 

 Anglais : Logarithm

 

Calcul de la longueur d'un nombre avec les logarithmes

Le logarithme décimal d'un nombre indique la longueur du nombre.

 

La quantité de chiffres dans un nombre entier est égale à la valeur plafond du logarithme décimal.

 

 

 

Vrai, sauf pour les puissances de 10 (voir le tableau). Alors, on utilise cette formule avec la valeur plancher plus 1:

 

 

Voir Programmation avec les chiffres /  Exemple de calcul

 

Voir Application à la recherche de palindromes

 

 

Voir Logarithmes pour débutants / Introduction avec les puissances de dix

 

 

APPROCHE

 

Logarithmes

 

Il a différentes manières d'envisager les logarithmes:

ARITHMÉTIQUE

ANALYSE

GÉOMÉTRIE

Correspondance entre progressions
géométrique (décroissante)

et arithmétique.

Logarithmes

et exponentielles

sont des fonctions réciproques.

Aire définie

par la surface

sous l'hyperbole.

 

 

 

 

Logarithme et surface (aire)

 

Le logarithme népérien de x est égal à la somme de 1/t pour toutes les valeurs réelles de t allant de 1 à x. (intégrale)

Voir

*      Pourquoi l'hyperbole

*      Avec x = e

*      Pourquoi e = 2,718

 

 

Courbe ln(x)

x

0

1

ln (x)

0

 

 

 

 

 

 

TYPES DE LOGARITHMES – Notations 

Général

base a

log a

*    logarithme base a

*    logarithm to base a

Calculs

numériques

base 10

log 10

log

*    logarithme base 10

*    ou décimal

*    ou vulgaire

*    ou de Briggs

*    common logarithm

*    or briggsian logarithm

Théorie

mathématique

base e

log e

ln

Log

*    logarithme naturel

*    ou népérien

*    natural logarithm

*    or Napierian logarithm

En rouge, la notation la plus usuelle

 

Caractéristique C

& Mantisse M

 

Notez leurs valeurs pour les nombres négatifs.

 

Le même nombre garde sa mantisse et change de caractéristique s'il est multiplié par une puissance de 10.

Voir Mantisse en notation scientifique

 

 

DÉFINITION

 

LOGARITHMES NATURELS

Fonctions bijectives réciproques

 

*    y est le logarithme
(progression arithmétique).

*    x est l'antilogarithme
(progression géométrique).

 

 

 

Logarithme         Exponentielle

 y = ln x  si   x = e y

 On peut écrire aussi:

 

Généralisation: logarithme de base a

 

y = loga x  si   x = a y

 

Soyons précis - Domaine de définition

 

En effet, reportons nous aux graphes de ces deux fonctions:

 

 

Propriétés – Formules 

Fondamentale: multiplication à l'intérieur devient addition à l'extérieur

log a

(x . y)

=

log a x

+ log a y

Attention

 

 

 

 

log a

(x + y)

=

???

 

Autres

 

 

 

 

log a

1/x

=

log a  x

 

log a

x / y

=

log a  x

log a  y

log a

x r

=

r

.  log a  x

log a

(x r. y t)

=

r . log a  x

+ t . log a  y

log a

=

1/2

.  log a  x

Changement de base

 

 

 

 

ln

x

=

1

/ log x e

 

1

=

log a b

/ log b  a

log a

x

=

log b x

/ log b  a

Suite en  Changement de base / Application aux puissances à étages /

Équations avec inconnues en exposant

 

Valeurs

 

 

 

 

ln

e

=

1

 

loga

a

=

1

 

Développements

 

 

 

 

ln (1 + x)

=

x x2/2 + x3/3 x4/4 + x5/5

ln (1 x)

=

x x2/2 x3/3 x4/4 x5/5 - …

ln (2)

=

=

1 – 1/2 + 1/3 – 1/ 4 + 1/5 – … 

1/2 + 1/12 + 1/30 + 1/56 + …    >>>

Limites

 

 

 

 

ln x

x

=

 

ln x

x  0+

=

 

ln x / xk

 

=

0

k entier

xk . ln x

x  0+

=

0

 

ln x / (x – 1)

x  1

=

1

 

ln (1 + x) / x

x  0

=

1

 

Note (in petto): Pour se souvenir, on peut dire x croit plus vite que ln(x)

ou x l'emporte sur ln(x).

 

Voir Zéro et infini

 

Équations et inéquations

 

Pour tous réels x                                          ln(ex) = x

Pour tous réels x >0                                     eln x    = x

 

Pour tous réels x > 0 et y >0,                      ln(x) = ln(y)    x = y

ln(x) < ln(y)    x < y

 

Pour tout réel x > 0 et pour tout réel a,       ln(x) = a     x = ea

 ln(x) < a     x < ea

 

Dérivée (sur un exemple)

 

f(x) = ln(x² + x + 1) = ln { u(x) }

La fonction interne au log doit être positive. De manière évidente elle l'est (même si x est négatif, x² l'emporte sur x). Plus sérieusement, le discriminant (  = b² – 4ac = 1 – 4 x1 x 1 = - 3) est négatif  et a = 1 est positif, alors la fonction est positive.

La dérivée de x² + x + 1 est 2x + 1.

La dérivée de son log est:

 

 

Étude d'une fonction (sur un exemple)

Fonction

f(x) = 5 ln(x) – 10

Valeurs typiques

f(1) = 5 ln (1) – 10 = –10

f(e) = 5 ln (e)  – 10 = –  5

Domaine de définition

] 0 , +  [

Limites

Dérivée

Positive dans le domaine de définition.

La fonction est croissante

Variations

 

Voir Graphe ci-dessous

 

 

Programmation du graphe – f(x) et f'(x)

 

Le package Student Calculus de Maple permet de tracer directement la courbe et sa dérivée.

 

 

 

 

 

Selon la BASE

 

Passage par 1

 

Quelle que soit la base,

toutes les courbes logarithmes passent par

x = 1, y = 0

Car  loga 1 = 0

Lorsque la base est inférieure à 1,

la courbe logarithme s'inverse

 

e

10

0,1

0,5

 

 

 

Passage par a

 

La courbe logarithme base 2 coupe la droite y = 1 en 2

La courbe logarithme base 3 coupe la droite y = 1 en 3, etc.

La courbe logarithme base a coupe la droite y = 1 en a

 

Car log a a = 1

 

 

 

 

 

 

Nombre en logarithmes (amusement)

 

*    Tout nombre rationnel peut être atteint par les logarithmes

 

 

*    Logarithmes des inverses des puissances de 2
 

 

*    En combinant les deux résultats

 

 

Voir Jeux des quatre 4

 

 

Logarithmes irrationnels

*    Démonstration sur un exemple

log3 (2) est irrationnel

*    Supposons qu'il soit rationnel.
a et b nombres entier positifs (car un logarithme est toujours positif) avec b non nul.

*    Selon la définition du logarithme:

*    Chaque membre élevé à la puissance b

 

*    Donc l'entier est une puissance de 3, tous ses facteurs premiers valent 3.

n = 3 x 3 x 3 …

*    Mais, l'entier n est aussi une puissance de 2

n = 2 x 2 x 2 …

*    Cette contradiction implique que notre hypothèse est fausse

log3 (2) n'est pas rationnel    

 

Tous les logarithmes de nombres rationnels positifs

supérieurs à 1 sont des nombres irrationnels.

 

 

 

 

 

Suite

*    Logarithmes – Calcul

*    Logarithmes et tout nombre

*    Logarithmes discrets

*    Les 17 équations qui ont changé le monde

Voir

*    Arrondis avec logarithmes

*    Calcul des factorielles avec les logs

*    Croissance

*    Constantes Mathématiques

*    Courbes élémentaires

*    Échelle de Richter

*    Exponentielle

*    ExposantsIndex

*    Exposants et puissances

*    Limite de ln(x) / x et de x . ln(x)

*    Morphisme

DicoNombre

*    Ln 2 = 0,693…

*    Ln 10 = 2,302 …

Livre

Méthod'S mathématiques Terminale S – Bruno Clément – ellipses – 2012

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Analyse/Logarith.htm

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Historique >>>  (report de lien)