NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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  Analyse

 

Débutants

Logarithme

LOGARITHME

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

 

Analyse

Introduction

Calcul

Exemples

Changement de base

Propriétés

Décibel

EXPONENTIELLE

Table

Maths

Historique

x . ln(x)

ln(x + 1) < x 

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Types de logarithmes

>>> Définition

>>> Propriétés

>>> Équations et inéquations

>>> Étude d'une fonction logarithmique

>>> Selon la base

>>> Nombres en logarithmes

>>> Logarithmes irrationnels

 

 

 

 

 

 

Humour

C'est Logarithme et Exponentiel qui sont dans un bar. Ils commandent une bière chacun. Lequel des deux paie?

Réponse: c'est Exponentiel parce que Logarithme népérien.

Voir Pensées & humour

 

Maths à savoir en classe de terminale

La fonction logarithme népérien est l'unique fonction f(x), définie et dérivable sur l'intervalle: ] 0, + [ , et qui vérifie:

f(1) = 0 et f'(x) = 1/x.

 

Autrement dit: ln(x) est la primitive de  sur ] 0, + [ qui s'annule pour x = 1.

Ou encore: pour tout réel x > 0:

Voyons cela pas à pas …

 

 

LOGARITHMES

 

Nombres qui "raccourcissent" les très grands nombres

                et qui transforment les multiplications en additions.

 

 

 Anglais : Logarithm

 

Voir Débutants / Introduction avec les puissances de dix

 

 

 

APPROCHE

 

Logarithmes

 

Il a différentes manières d'envisager les logarithmes:

ARITHMÉTIQUE

ANALYSE

GÉOMÉTRIE

Correspondance entre progressions
géométrique (décroissante)

et arithmétique.

Logarithmes

et exponentielles

sont des fonctions réciproques.

Aire définie

par la surface

sous l'hyperbole.

 

 

 

 

Logarithme et surface (aire)

 

Voir

*      Pourquoi l'hyperbole

*      Avec x = e

*      Pourquoi e = 2,718

 

 

Courbe ln(x)

x

0

1

ln (x)

0

 

 

 

 

 

 

TYPES DE LOGARITHMES – Notations 

Général

base a

log a

*    logarithme base a

*    logarithm to base a

Calculs

numériques

base 10

log 10

log

*    logarithme base 10

*    ou décimal

*    ou vulgaire

*    ou de Briggs

*    common logarithm

*    or briggsian logarithm

Théorie

mathématique

base e

log e

ln

Log

*    logarithme naturel

*    ou népérien

*    natural logarithm

*    or Napierian logarithm

En rouge, la notation la plus usuelle

 

 

DÉFINITION

 

LOGARITHMES NATURELS

Fonctions bijectives réciproques

 

*    y est le logarithme
(progression arithmétique).

*    x est l'antilogarithme
(progression géométrique).

 

 

 

Logarithme         Exponentielle

 y = ln x  si   x = e y

 On peut écrire aussi:

 

 

Généralisation: logarithme de base a

 

y = loga x  si   x = a y

 

Soyons précis - Domaine de définition

 

En effet, reportons nous aux graphes de ces deux fonctions:

 

 

Propriétés – Formules 

Fondamentale: multiplication à l'intérieur devient addition à l'extérieur

log a

(x . y)

=

log a x

+ log a y

Attention

 

 

 

 

log a

(x + y)

=

???

 

Autres

 

 

 

 

log a

1/x

=

log a  x

 

log a

x / y

=

log a  x

log a  y

log a

x r

=

r

.  log a  x

log a

(x r. y t)

=

r . log a  x

+ t . log a  y

log a

=

1/2

.  log a  x

Changement de base

 

 

 

 

ln

x

=

1

/ log x e

 

1

=

log a b

/ log b  a

log a

x

=

log b x

/ log b  a

Suite en  Changement de base / Application aux puissances à étages

 

Valeurs

 

 

 

 

ln

e

=

1

 

loga

a

=

1

 

Développements

 

 

 

 

ln (1 + x)

=

x x2/2 + x3/3 x4/4 + x5/5

ln (1 x)

=

x x2/2 x3/3 x4/4 x5/5 - …

ln (2)

=

=

1 – 1/2 + 1/3 – 1/ 4 + 1/5 – …  

1/2 + 1/12 + 1/30 + 1/56 + …    >>>

Limites

 

 

 

 

ln x

x

=

 

ln x

x  0+

=

 

ln x / xk

 

=

0

k entier

xk . ln x

x  0+

=

0

 

ln x / (x – 1)

x  1

=

1

 

ln (1 + x) / x

x  0

=

1

 

Note (in petto): Pour se souvenir, on peut dire x croit plus vite que ln(x)

ou x l'emporte sur ln(x).

 

Voir Zéro et infini

 

Équations et inéquations

 

Pour tous réels x                                          ln(ex) = x

Pour tous réels x >0                                     eln x    = x

 

Pour tous réels x > 0 et y >0,                      ln(x) = ln(y)    x = y

ln(x) < ln(y)    x < y

 

Pour tout réel x > 0 et pour tout réel a,       ln(x) = a     x = ea

 ln(x) < a     x < ea

 

Dérivée (sur un exemple)

 

f(x) = ln(x² + x + 1) = ln { u(x) }

La fonction interne au log doit être positive. De manière évidente elle l'est (même si x est négatif, x² l'emporte sur x). Plus sérieusement, le discriminant (  = b² – 4ac = 1 – 4 x1 x 1 = - 3) est négatif  et a = 1 est positif, alors la fonction est positive.

La dérivée de x² + x + 1 est 2x + 1.

La dérivée de son log est:

 

 

Étude d'une fonction (sur un exemple)

Fonction

f(x) = 5 ln(x) – 10

Valeurs typiques

f(1) = 5 ln (1) – 10 = –10

f(e) = 5 ln (e)  – 10 = –  5

Domaine de définition

] 0 , +  [

Limites

Dérivée

Positive dans le domaine de définition.

La fonction est croissante

Variations

 

Voir Graphe ci-dessous

 

 

Programmation du graphe – f(x) et f'(x)

 

Le package Student Calculus de Maple permet de tracer directement la courbe et sa dérivée.

 

 

 

 

 

Selon la BASE

 

Passage par 1

 

Quelle que soit la base,

toutes les courbes logarithmes passent par

x = 1, y = 0

Car  loga 1 = 0

Lorsque la base est inférieure à 1,

la courbe logarithme s'inverse

 

e

10

0,1

0,5

 

 

 

Passage par a

 

La courbe logarithme base 2 coupe la droite y = 1 en 2

La courbe logarithme base 3 coupe la droite y = 1 en 3, etc.

La courbe logarithme base a coupe la droite y = 1 en a

 

Car log a a = 1

 

 

 

 

 

 

Nombre en logarithmes (amusement)

 

*    Tout nombre rationnel peut être atteint par les logarithmes

 

 

*    Logarithmes des inverses des puissances de 2
 

 

*    En combinant les deux résultats

 

 

Voir Jeux des quatre 4

 

 

Logarithmes irrationnels

*    Démonstration sur un exemple

log3 (2) est irrationnel

*    Supposons qu'il soit rationnel.
a et b nombres entier positifs (car un logarithme est toujours positif) avec b non nul.

*    Selon la définition du logarithme:

*    Chaque membre élevé à la puissance b

 

*    Donc l'entier est une puissance de 3, tous ses facteurs premiers valent 3.

n = 3 x 3 x 3 …

*    Mais, l'entier n est aussi une puissance de 2

n = 2 x 2 x 2 …

*    Cette contradiction implique que notre hypothèse est fausse

log3 (2) n'est pas rationnel    

 

Tous les logarithmes de nombres rationnels positifs

supérieurs à 1 sont des nombres irrationnels.

 

 

 

 

 

Suite

*    Logarithmes – Calcul

*    Logarithmes et tout nombre

*    Les 17 équations qui ont changé le monde

Voir

*    Arrondis avec logarithmes

*    Calcul des factorielles avec les logs

*    Croissance

*    Constantes Mathématiques

*    Courbes élémentaires

*    Échelle de Richter

*    Exponentielle

*    ExposantsIndex

*    Exposants et puissances

*    Limite de ln(x) / x et de x . ln(x)

*    Morphisme

DicoNombre

*    Ln 2 = 0,693…

*    Ln 10 = 2,302 …

Livre

Méthod'S mathématiques Terminale S – Bruno Clément – ellipses – 2012

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Analyse/Logarith.htm

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Historique >>>  (report de lien)