NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

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ORIENTATION GÉNÉRALE    -   M'écrire   -   Édition du: 21/03/2011

Débutants

Général

RUBRIQUE   Nombres

Glossaire Général

 

ENTIERS en polynômes

 

 

 

 

Voir Nombres entiers


 

 

Formes polynomiales donnant un entier

-Ý-

 

Affirmation

 

Montrez que l'expression suivante est un nombre entier:

 

 

Illustration

 

 

n

n5 / 5

n3 / 3

7n / 15

N

1

0,2

0,3

0,46

1

2

6,4

2,6

0,93

10

3

48,6

9,0

1,40

59

4

204,8

21,3

1,86

228

5

625,0

41,6

2,33

669

6

1555,2

72,0

2,80

1 630

7

3361,4

114,3

3,26

3 479

8

6553,6

170,6

3,73

6 728

9

11810,8

243,0

4,20

12 057

10

20000,0

333,3

4,66

20 338

 

 

Démonstration par induction

 

Ø Pour k = 1,

§  C'est vrai

n5

+

n3

+

7n

=

1

+

1

+

7

= 1

5

3

15

5

3

15

Ø Supposons la formule vraie pour k

§  L'est-elle pour k + 1?

 

m =

k5

+

k3

+

7k

5

3

15

 

m' =

(k+1)5

+

(k+1)3

+

7(k+1)

5

3

15

 

15 m' = 3(k+1)5 + 5(k+1)3 + 7(k+1)

Ø Rappel du développement du binôme en utilisant le triangle de Pascal

2

=>

 

 

 

1

 

2

 

1

 

 

 

3

=>

 

 

1

 

3

 

3

 

1

 

 

4

=>

 

1

 

4

 

6

 

4

 

1

 

5

=>

1

 

5

 

10

 

10

 

5

 

1

Ø Développons 15m'

15m' =

3 k5

+ 3 x 5k4

+ 3 x 10k3

+3 x 10k2

+ 3 x 5k

+ 3 x 1

 

 

+ 5 x k3

+ 5 x 3k2

+ 5 x 3k

+ 5 x 1

 

 

 

 

 + 7k

+7

= 3 k5

+ 15k4

+ 35k3

+45k2

+ 37k

+ 15

Ø En divisant par 15 et en ordonnant pour mettre en évidence m

Ø En fait m' est la somme de m qui est supposé être un entier, et d'un polynôme en k qui lui aussi donne un entier

Ø Alors la somme de ces deux termes entiers est un entier

Ø CQFD

m' =

k5

+ k4

30k3

+

5k3

+ 3k2 +

30k

+

7k

+ 1

5

15

15

15

15

 

m' =

k5

+

k3

+

7k

+ k4 + 2k3 + 3k2 + 2k + 1

5

3

15

 

m' = m +  k4 + 2k3 + 3k2 + 2k + 1

 

Exemples

1 =>        1

2 =>      10

3 =>      59

4 =>    228

5 =>    669

6 => 1 630

 

Note: l'explication vient du fait que     15 | 3n5 + 5n3 + 7n

 

 

 

Affirmations du même type

 

On montrerait de la même manière que

les expressions suivantes donnent des nombres entiers

 

n7

+

n5

+

n3

+

n2

-

37n

7

5

3

2

210

 

n11

+

n5

+

n3

+

62n

11

5

3

165

 

 

 

 

 

 

 


 

-Ý-

Voir

§  Démonstration par récurrence

 

Aussi

§  Type de nombres

§  Inverses et formes polynomiales