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NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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ALGÈBRE

 

Débutants

Algèbre

BASES

 

Glossaire

Algèbre

 

 

INDEX

 

Équations

 

Arithmétique et Algèbre

 

Techniques de base

Additions

Multiplications

Parenthèses

Multi Parenthèses

 

Collèges

 

Sommaire de cette page

>>> Polynôme

>>> Produit

>>> Puissance

>>> Méthode

>>> Réduire une expression

>>> Développer une expression

>>> Factoriser ne expression

 

 

   

 

Techniques de base de l'algèbre

 

Vocabulaire de l'algèbre,

Expressions algébriques,

Simplification.

 

 

 

Exemple de réponse que vous trouverez sur cette page

 

Question

Comment calcule-t-on a + b  c en l'absence de parenthèses?

Réponse

  a + b  c = a + (b  c)

La multiplication est prioritaire.

On la calcule en premier, comme s'il y avait des parenthèses.

Exemples

3 + 4  5 = 3 + 20 = 23

3 x 4 + 8  9 = 12 + 72 = 84

Et aussi

Même chose pour la division

  a + b / c = a + (b / c)

Exemple

3 + 20 / 4 = 3 + 5 = 8

 

Attention à la notation de la multiplication

Trois possibilités: X pour les nombres et pour débuter en algèbre.
Le point est habituellement utilisé en algèbre (calcul avec des lettres à la place des nombres). Le point disparait lorsqu'il n'y a pas de confusion possible. >>>

Merci Corine

Suite >>>

 

Vocabulaire

Voir DicoMots des Maths

 

 

 

 

POLYNÔME

 

ALGÈBRE

 

*    L'algèbre traite des données comme en arithmétique, mais sur un plan plus général.

 

 

 

POLYNÔME ou EXPRESSION ALGÉBRIQUE

 

*    Suite de symboles

Formant des termes

Chacun étant séparé par le signe + ou –

*    L'ordre des termes n'a pas d'importance:

   4a + 5b = 5b + 4a

 

 

En arithmétique, on utilise des nombres.

En algèbre, on utilise des symboles.

Les symboles utilisés sont des lettres.

Certains usages sont à respecter.

*      x, y, z   sont des inconnues;

*      a, b, c   sont des coefficients sensés être définis;

*      k, h       sont des coefficients multiplicatifs;

*      n, m      sont utilisés pour les puissances.

Une lettre conserve la même valeur tout au long du même travail.

 

4a + 5b + 6c + 2x + 125y

                              est un polynôme de 5 termes

4a                          est un monôme

4a + 5 b                est un binôme

4a + 5b + 6c        est un trinôme

 

 

Note: Le terme polynôme est plutôt réservé aux expressions en xn.

Anglais

*    Algebra

*    Algebraical expression

*    Term

*    Simple expression

*    Binomial expression

*    Trinomial expression

*    Multinomial expression

Voir Définition des domaines mathématiques

 

PRODUIT

 

*    Deux quantités multipliées forment un produit.

Chaque quantité multipliée est appelée facteur. Si un seul des facteurs vaut zéro, le produit est nul.

 

En arithmétique, le produit s'écrit: 3 x 5
Il n'y pas de confusion possible avec la lettre x.

 

En algèbre, il y a plusieurs possibilités.

 

Ce tableau montre les différentes possibilités.

 

 

Notez:

Le point de la multiplication est le point médian (au milieu de la ligne). Code hexadécimal: 00B7.

Le point de ponctuation est utilisé par les Anglo-Saxons à la place de notre virgule. Chez eux, on peut trouver une opération comme celle-ci:

 

*    Le facteur numérique est appelé le coefficient.
Si le coefficient est 1, il est sous-entendu. Parfois, le mot coefficient est utilisé pour une expression littérale (une lettre).

*    L'ordre des facteurs n'a pas d'importance (commutativité):

5 x 3 = 3 x 5  et ab = ba

On prend néanmoins l'habitude de les ranger par ordre alphabétique pour mieux s'y retrouver.

 

 

 

Attention

En arithmétique 35 = 3 x 10 + 5

En algèbre ab est un produit:
    si a = 3 et b = 5 alors ab = 3 x 5 = 15

    et 35ab = 35 x 3 x 5 = 525

 

Facteurs et coefficients

 

5abc est un produit de 4 facteurs,

5       est le coefficient de abc,

5a     est le coefficient de bc.

 

 

Le produit est prioritaire sur la somme

 

*    Comme en arithmétique:

Le résultat d'une addition est une somme; et

celui de la multiplication est un produit.

*    Le produit est "plus fort" que la somme:
Le produit est effectué en premier et les sommes ensuite.
Modifier cet ordre, exige l'emploi de parenthèses:

*    La parenthèse doit être considérée comme un lieu d'intimité.

*    Il faut y exécuter les opérations en priorité.

 

 

Somme de deux termes:    a + b

Produit de deux facteurs:   a.b

Attention

Ne pas confondre somme et produit

si a = 5 et b = 7 alors:

     a + b = 5 + 7 = 12

      a . b = 5 x 7 = 35

 

Exemples

 

Si a = 2,  b = 5, c = 7 alors:

 

 

Anglais: Product, factor, coefficient, literal coefficient

 

 

PUISSANCE

 

 

*    Si une même donnée est multipliée par elle-même un certain nombre de fois c'est une puissance. Le nombre de fois est appelé l'exposant.

 

L'exposant 1 est sous-entendu.

Toute puissance de 1 est égale à 1.

Toute puissance de 0 est égale à 0.

 

 

 

*    Les facteurs d'un produit peuvent être chacun élevés à des puissances différentes.

 

 

a . a      = a puissance 2, notée a2 ; 2 est l'exposant.

a . a . a = a puissance 3, notée a3 ; 3 est l'exposant.

a            = a puissance 1, notée a1 ou simplement a.

 

Piège: ne pas confondre

    3a qui veut dire       3 fois    a   soit a + a + a

    a3 qui veut dire a puissance 3 soit  a . a . a

 

Exemple: si a vaut 5

    3a = 3 x 5 = 15

    a3 = 53 = 5 x 5 x 5 = 125

et

     5a + a3 – 6a2

     = 5 x 5 + 53 – 6 x 52

        = 25 + 125 – 150 = 0

 

a3. b6. c2 = a.a.a.b.b.b.b.b.b.c.c

 

Anglais

*    Power

*    a² : Second power of a

*    a3 : Third    power of a

*    a4 : Fourth  power of a

*    Index or exponent

*    a² : a squared

*    a3 : a cubed

*    a4 : a to the fourth (power)

 

 

MÉTHODE – Rigueur

 

*    Il faut s'habituer à travailler proprement et toujours de la même manière

*    Adopter les règles indiquées ci-dessus;

*    Ordre alphabétique pour les termes;

*    Les termes semblables proches;

*    Et l'un sous l'autre dans le cas des opérations.

 

Exemples

 

Ordre par puissances décroissantes, du premier facteur littéral.

 

5a5b3c

+ 2a4b3c

+ 10a3bc

+ 3a2bc2

+ abc

Somme de deux polynômes

 

 

4a

+ 5b

– 6c

+ 17d

+

a

– 3b

+ 6c

+ 3d

=

5a

+ 2b

 

+ 20d

 

 

Réduire une expression

 

*    Il s'agit de regrouper les termes de même nature. L'usage veut que les plus grands exposants de x soient en tête.

 

3 + 4x + x² + 2 – 2x – 2 + 5x² = 6x² + 2x + 3

 

x2 + 2x3 + 5x7 + 2x2 + 2 = 5x7 + 2x3 + 3x2 + 2

 

6 + xy + x²y + 10yx + 3xy² = x²y + 11xy + 3xy² + 6

 

 

 

Développer une expression

 

*    Il s'agit d'éliminer les parenthèses et les facteurs communs

 

2(x + 2) = 2x + 4

2(x + 2) x = 2x² + 4x

(x + 2) (x – 2) = x² – 4

(x + 2)² =  x² + 4x + 4

(x + 2) (x + 3) = x² + 2x + 3x + 6 = x² + 5x + 6

Voir  Identités remarquables / Parenthèses

 

 

 

Factoriser une expression

 

*    Il s'agit de rendre une expression plus compacte en trouvant des facteurs communs. Opération contraire du développement.

 

15x + 20 = 5(3x + 4)

15x + 20 + (x + 2)(3x + 4) = 5(3x + 4) + (x + 2)(3x + 4) = (5 + x + 2) (3x + 4) = (x + 7)(3x + 4)

25x² + 70x + 49 = (5x + 7)²

4x² – 49 =  (2x + 7) (2x – 7) 

3x² + 10x + 8 = 3x² + 4x + 6x + 8 = x(3x + 4) + 2(3x + 4) = (x + 2) (3x + 4)

 

 

 

 

Cas expliqué, pour tout à fait débutant

Comment arrive-t-on à cette factorisation?

 

25x² + 70x + 49 = (5x + 7)²

On remarque deux carrés aux extrémités

25x², le carré de 5x

49, le carré de 7

On essaie la mise au carré de leur somme

(5x + 7)² = (5x + 7) (5x + 7)

On multiplie chaque terme de l'un par chaque terme de l'autre

(On utilise le point pour multiplier, pour éviter la confusion avec x)

(5x + 7) (5x + 7)

= 5x . 5x + 5x . 7 + 7 . 5x + 7 . 7

On calcule

= 25x² + 35x + 35x + 49

Nous avons bien nos deux termes extrêmes

= 25x² + 35x + 35x + 49

Quant au milieu, en sommant cela donne 70

= 25x² + 70x + 49

 

 

Cas expliqué, pour habitués

Nous avons l'idée d'une identité remarquable

 

(a + b = a² + 2ab + b²

En prenant a = 5 et b = 7, le terme central sera 2ab

2ab = 2 . 5 . 7 = 70

Nous sommes sur la bonne piste

 (5x + 7)²  = 25x² + 70x + 49

 

 

Autre exemple expliqué

 

*    La somme des coefficients des puissances paires est égale à celle des coefficients impairs.

*    Une racine pourrait être -1 et un des facteurs serait: x + 1.

 

 

*    La valeur de K se trouve en divisant le polynôme. Rien de plus difficile qu'une division ordinaire.

 

 

 

 

 

*    Dans K:   5  est la somme et 6 le produit de deux nombres: sans nul doute 2 et 3.

 

 

P = x3 + 6x2 + 11x + 6 = ?  Factorisez

 

(–1)3 + 6(–1)2 + 11(–1) + 6 = 0 Effectivement

 

P = x3 + 6x2 + 11x + 6 =  (x + 1) K

 

P = (x + 1) (x² + 5x + 6)

P = (x + 1) (x + 2) (x + 3)

 

Rappel: (x + a) (x + b) = x² + (a + b) x + a.b

 

 

Énigme – Résoudre cette équation avec des racines à étage

Voir Racines continues

 

 

 

 

 

Suite

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