NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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DIVISION

 

Débutants

Division

Divisibilité

 

Glossaire

Division

 

INDEX

Divisibilité

 

Introduction

Critères généraux

Polynômes

Fermat

Puissance

Forme  nk + kn

Forme nx ± y

Wilson

Somme

x (x + a) (x+ b)

Formes diverses

 

Sommaire de cette page

>>> Divisibilités par nombres croissants

>>> À noter: carrés, factorielles, répétitions

>>> Divisibilités par formes croissantes

>>> Divisibilité par 73 et 137 – démo

>>> Divisibilité par 91

>>> Formes littérales

>>> En puissance de 2, 3 et 5

>>> Nombres consécutifs

>>> Carrés et factorielles

 

 

 

DIVISIBILITÉ

des EXPRESSIONS ALGÉBRIQUES

par un nombre donné

 

Trouver des formes algébriques divisibles par un nombre en utilisant les théorèmes  de Fermat et de Wilson ou en utilisant la méthode par de déduction par induction.

Rappels: la barre verticale  veut dire: divise; le chapeau ^ signifie puissance: 22^3 = .

  

 

DIVISIBILITÉS PAR NOMBRES CROISSANTS

 

Divisible par

Formes divisibles

Avec / Condition / Commentaires

Démo

2

n2 – n = (n – 1) n

n2 + n = n (n + 1)

nk – n =  (n – 1) n . K

Produit de deux nombres consécutifs.

Alors, l'un d'eux est forcément pair.

Il existe de nombreuses formes paires

Voir Nombres triangulaires /

Nombre et leurs puissances

 démo

F3k

Les nombres de Fibonacci de rang 3k sont pairs.

Autres

3

1n + 2n

Pour n impair.

démo

2n – 1

Divisible par   3 pour n pair

Divisible par   5 pour n = 4k

Divisible par   7 pour n = 3k

Divisible par 63 pour n = 6k

Divisible par 11 pour n =10k

démo

4n – 1

n (2n² + 7)

 

démo

n3 + 2n

 

5n – 2n   

 

démo

a b ( a² – b² )

 

démo

22^n + 5

 

démo

381, 381111, …

 

démo

Fermat  + 10

 

démo

3n

3n    33…3n

Divisibilité d'un repdigit de n chiffres.

démo

4

(2k + 1 ) + (2k + 3)

Somme de deux impairs consécutifs.

(2k

Carré d'un nombre pair.

démo

a² + 3 et a² – 1

(+3) pour a pair et (-1) pour a impair

démo

5n – 1

x2 – y2 = (x – y) (x + y)

Si (x – y) pair. Car, alors, x et y sont de même parité et leur somme est aussi paire.

 démo

(n + k – (n – k)² = 4 k n

démo

a = ...cdu

avec 2d + u multiple de 4.

 

7n – 3n

= (7 – 3) (…) = 4 (…)

démo

6 x 7n2 x 3n

Vraie pour les coefficients 2, 6, 10, …

 

ne divise pas n² + 1

ne divise pas n² + 2

Si n est pair     4 divise n².

Si n est impair 4 divise n² + 3.

 

5

33n+1 + 2n+1

 

démo

1n + 2n + 3n + 4n

Pour n impair.

démo

22n+1 + 32n+1

3n – 2n

Pour n pair.

démo

7n – 2n

Tout nombre en anbn

est divisible par a – b.

démo

8n – 3n

11n – 6

démo

 

6

(n – 1) n (n + 1) = n3  n

n (n2 + 5)           = n3 + 5n

Un produit de trois nombres consécutifs est divisible par 3! = 6. La relation demeure en ajoutant 6k. Par exemple -1 + 6 = 5.

Voir Nombres tétraédriques

démo

 

démo

n3 – n = (n – 1) n (n + 1)
n2k+1 – n = (n – 1) n (n + 1) K

Voir Nombre et leurs puissances

démo

n (n + 1) (n + 5)

n (n + 4) (n + 5)

n (n + 1) (n + 2) (n + 4)

etc.

Démo en examinant n = 6q + r

pour les six valeurs du reste r.

démo

n (n + 1) (2n + 1)

= 2n3 + 3n2 +n

 

démo

(n + 2k – (n – 2k)² = 8 k n

 

démo

5n3 + n

 

7n – 1

Tout nombre en anbn

est divisible par a – b.

démo

7

n7 – n = n (n6 – 1)

 

n6  – 1

n6k – 1

Divisible par 7 sauf pour n = 7k (Fermat).

Divisible par 9 sauf pour n = 3k.

Divisible par 4 pour n impair

1n + 2n + 3n + 4n + 5n + 6n

Pour n impair.

démo

4n – 3n

Pour n pair. Voir 35 et 77

démo

32n – 2n

 

 

32n+1 + 2n+2

 

démo

 

a, b, a + b ou a – b

Dans un triplet de Pythagore

>>>

 = 1001 x   7 x 11 x 13 x

>>>

8

x (x + 1) (x + 3) (x + 6)

x (x + 2) (x + 3) (x + 5)

x (x + 3) (x + 5) (x + 6)

>>>

n² – 1 = (n – 1) (n + 1)

Si n impair.

Car, alors, produit de deux pairs successifs dont l'un est divisible par 4.

démo

4n – 2n = 2n (2n – 1)

4n + 2n = 2n (2n + 1)

Pour n < 2
Divisible par 48 pour n pair ou impair >>>

3n – 1

Pour n pair.

Note: 3n – 1 est, lui, toujours pair, car étant factorisable en (3 – 1) k.

démo

32n – 1

       32n + 7

       52n + 7

(2k+1) 2n + 7

 

démo

3n + 7n – 2 

 

2n+2

32^n – 1

Exemple pour n = 1 =>  8 | 8.

démo

9

(n–1)3 + n3 + (n+1)3

Somme de trois cubes successifs.

Divisible par 18 pour n = 2k

démo

a3 + 1 et

a3 – 1

(+1) pour a  = 2 mod1  et

(-1)  pour a = 1 mod 3

démo

1n + 2n + 3n + 4n +

5n + 6n + 7n + 8n

Pour n impair.

Propriété générale pour tous les nombres impairs.

démo

5n – 4n

Pour n pair.

Divisible par 11 pour n = 5k.

démo

5n + 4n

Pour n impair.

Divisible par 63 pour n = 3 + 6k.

10n + 3 . 4n+2 + 5

Si 4 divisible par 4 pour n>1;

Si 2 divisible par 6 et par 60 pour n = 2k>2;

Si 0 divisible par 8 pour n>2 et par 56 pour n = 2k>2.

 

N – rN

Nombre N et son retourné rN.

N = 10a + b et rN = 10b + a dont la différence est 9a – 9b.

 démo

 

11

n4 + 3n2 – 7

Divisible par 11 pour n = {4, 5, 6, 7} + 11k

Divisible par   3 pour n = {1, 2} + 3k

Divisible par   7 pour n = {0, 2, 5} + 7k

Divisible par   9 pour n = {4, 5} + 9k

 

n + r

Un nombre ajouté à son retourné est divisible par 11 si sa quantité de chiffres est paire.

démo

6n – 5n

Divisible par 11 pour n pair

Divisible par   7 pour n = 3k

Divisible par 77 pour n = 6k

démo

6n + 5n

Divisible par 11 pour n impair

3n+0 – 44n+0

Si 0 et 0 + 5k divisible par 11

Si 1 et 4 + 5k divisible par 11

Si 2 et 3 + 5k divisible par 11

Si 3 et 2 + 5k divisible par 11 …

Divisible par 77 pour {0, 0}P, {1, 4}I, {2, 8}P, {3, 12}I, {4, 1}P… L'indice impose que n soit pair ou impair.

démo

102n – 1 + 1

Ces nombres en 10…01, comportant une quantité paire de 0, sont divisibles par 11.

Divisibles aussi par 91 pour n = 2 + 3k.

 

12

(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)

Produit des différences de quatre nombres distincts.

démo

x (x + 1) (x + 2) (x + 5)

x (x + 1) (x + 4) (x + 5)

x (x + 1) (x + 5) (x + 6)

x (x + 3) (x + 4) (x + 5)

x (x + 3) (x + 5) (x + 5)

>>>

p + p'

Somme de deux nombres premiers jumeaux.

démo

13

7n – 6n

Pour n pair.

démo

31     n + 1 + 18     n – 1

31i x n + 1 + 18i x n – 1

Vraie pour (i, i + 4k)

 

p12 – q12

Pour p et q non divisibles par 13.

 

14

34n + 2 + 52n + 1

3 i x n + 2 + 5 j x n + 1

Vraie pour i + j = 6k (jaune dans le tableau).

Vraie pour toutes les valeurs i et j du tableau avec n = {quelconque, 2k, 3k, 6k}.

 

15

(n+1) (n+3) (n+5) (n+7) (n+9)

Avec n pair (5 nombres impairs consécutifs).

démo

4n – 1

Divisible par     15 pour n pair;

Divisible par     11 pour n = 5k;

Divisible par 4095 pour n = 6k;

Divisible par   165 pour n = 10k.

démo

8n – 7n

Pour n pair

démo

3n5 + 5n3 + 7n

Divisible aussi par 30 pour n pair..

Voir Entier curieux

démo

2(4n) – 1

Divisible aussi par 1365 = 7 x 13 x 17 pour n =3k.

 

16

n4 + 4n

Pour n pair.

démo

 

 

 

 

 

24

n² – 1

n premier n >3

ou mieux n impair non multiple de 3

Voir Cas de n² + 1

démo

n3 – n = (n–1) n (n+1)

n impair et n premier.

Divisible par 6 = 3! pour tout n.

démo

démo

démo

n (n+1) (n+2) (n+3)

Quatre nombres consécutifs. Un produit de quatre nombres consécutifs est divisible par 4! = 24

n (n2 – 1) (3n + 2)

Divisible aussi par 48 pour n = {7, 8, 9, 10} + 8k

n (n2 – 1) (i . n + j)

Pour (1,2), (1,6), (2,0), (2,4), (3,2) …

Divisible par 48 pour (2,4);

Divisible par 36 pour (3,0);

Divisible par le double sous condition comme: tous sauf pour 2 + 4k.

5n – 1

Pour n pair

Divisible par 15 624 = 7 x 8 x 9 x 31 pour n = 6k

démo

nx  – n x – 2

x > 4

Vraie pour x = 3 ou 4 et n  2 + 4k

 

n14 – 1

n premier

n >3

 

p2 – 1

p premiers

p > 3

>>>

p2 – q2

p & q premiers

p & q > 6

>>>

3n + 7n – 10 

Si – 2 divisible par 8;

Si – 4 divisible par 6;

Si – 6 divisible par 4;

Si – 7 divisible par 3;

Si – 8 divisible par 2.

2 . 7n + 3 . 5n – 5

Divisible aussi par 24 pour (1,5) et (3,2) avec n pair.

démo

variante

25

72n + (23n-3) (3n-1)

 

 

27

10n+1 – 9n – 10

3 + 33 + … + 33…3n

33…3n est composé de n fois le chiffre 3

Voir Repdigit

démo

 

30

n5 – n

Divisible aussi par 60 pour n pair.

démo

31

25n – 1

 

démo

32

32n + 24n – 1

Et divisible par 64 pour n pair.

 

33

33 . xyzt

Permutation circulaire

Nb33

35

6n – 1

Pour n pair.

Divisible par 5 pour tout n et par 7 pour n pair.

démo

4n – 3n

Pour n = 4k.

Divisible par 7 pour n pair.

Jamais divisible par 2 ou par 3.

démo

36n – 26n

démo

37

Car = 111 x a = 3 x 37 x a

 

37 . xyz

Permutation circulaire

Nb37

41

41 . xyztu

Permutation circulaire

Nb41

42

n7 – n

Divisible aussi par 84 sauf pour n = 2 + 4k.

démo

43

6n+2 + 72n+1

 

 

48

7n – 1

Pour n pair

Divisible aussi par 96 pour n = 4k.

démo

4n – 2n = 2n (2n – 1)

 

4n + 2n = 2n (2n + 1)

Divisible par 48 pour n pair > 3 et par 768 = 28 x 3 pour n pair >7. Normal avec le facteur 2n.

Divisible par 48 pour n impair > 4 et par 768 pour n impair >8.

 

n (n2 + 20) = n3 + 20n

Pour n pair.

Divisible par 96 pour n = 8k.

 

49

23n+3 – 7n – 8

Divisible aussi par 96 pour n = 2k.

 

60

a.b.c

Si a, b et c forment un triplet de Pythagore

 

63

2n – 1

Divisible par 63 pour n = 6k.

Divisible par   3 pour n pair.

8n – 1 = 23n – 1

Pour n pair.

Divisible par 7 pour tout n.

démo

66

n11 – n

démo

73

Car 73 divise 10001.

démo

75

10n – 5n = 5n (2n – 1)

Pour n pair >1

Divisible par 25 pour tout n.

démo

77

4n – 3n

Pour n = 10k.

Divisible par 7 pour n pair.

démo

80

9n – 1

Pour n pair.

Divisible par 8 pour tout n.

Divisible par 160 pour n = 4k.

démo

81

10n+1 – 10 – 9n

Divisible aussi par 162 pour n = 2k.

84

n7 – n = n (n6 – 1)

Divisible par 84 sauf pour n= 2 + 4k.

Divisible par 42 pour tout n.

 

91

p12 – q12

p (>1) et q non divisibles par 91.

p = 2 et q = 1  212 – 1 = 2095 = 91 x 45

>>>

1001 = 11 x 91

>>>

99

10n – 1 = 999…9

Divisible par 9 pour tout n.

Divisible par 99 pour n pair.

démo

100n – 1 = 9999…99

Divisible par 99 pour tout n.

r – n

Un nombre soustrait de son retourné est divisible par 99 si la quantité de chiffres est impaire.

démo

 

111

Les nombres ayant leurs chiffres égaux par paquets de trois sont divisibles par 111.

>>>

120

(n–2) (n–1) n (n+1) (n+2)

Cinq nombres consécutifs. Un produit de cinq nombres consécutifs est divisible par 5! = 120

démo

(n–1) n (n+1) (n+2)

Sauf pour n = 4 + 5k

>>>

11n – 1

Pour n pair.

Divisible par 10 pour tout n.

démo

n5 – 5n3 + 4n

Pour n > 2

Divisible aussi par 840 sauf pour {10 ou 11} + 7k.

 

133

11n+2 + 122n+1

133 = 7 x 19.

démo

137

10001 = 73 x 137

démo

138

n23 – n

démo

143

12n – 1

Divisible par   11 pour tout n.
Divisible par   13 pour n pair.

Divisible par 143 pour n pair.

démo

168

13n – 1

Pour n pair.

Divisible par 12 pour tout n.

démo

 

222

Sp / sc

Somme des permutations sur somme des chiffres.

démo

240

n4 – 1

n premier

n > 5

démo

n5 – n

Divisible par 240 pour n impair.

Divisible par   30 pour tout n.

Divisible par     8 pour n impair.

démo

(n–2) (n–1) n (n+1) (n+2)

n pair

démo

n 8  – n 4

n a  – n a – 4

Divisible par 240 pour tout n.

D'une manière générale pour a > 7.

 

264

n10 – 1

n premier > 3 et  11.

démo

282

n47 – n

 

480

n8 – 1

n premier > 5

 

n9 – n = n ( n8 – 1)

n impair

 

504

(c – 1) c (c + 1)

c est un cube = n3

démo

p6 – 1 = (p3 – 1)(p3 + 1)

n premier >3, sauf 7

démo

n7 – n = n (n6 – 1)

n premier > 3

 

n a  – n a – 4

Pour a > 8

 

510

n17 – n

démo

512

32n+5 + 160n² – 56n – 243

Pour tout n.

Divisible par 2048 pour n impair.

démo

576

5(2n + 2) – 24n – 25

Pour tout n.

Divisible par 1152 pour n = {3 ou 4} + 4k

démo

641

F5 = 22^5 + 1

Fermat  #5

démo

720

n2 (n2 – 16)

Vraie pour n = 4, 6, 14, 24, 30, 36, 40, 50 …

 

798

n19 – n

démo

840

n7 – 7n5 + 14n3 – 8n

Divisible aussi par 1680 sauf pour n = {3 ou 5 } + 8k.

 

870

n29 – n

 

 

1 590

n53 – n

démo

1 806

n43 – n

démo

2 304

72n – 48n – 1 

Note:   2304 = 48²

Divisible aussi par 4608 pour n = {1 ou 4 } + 4k.

 

2 730

n13 – n

Note:   2730 = 2 x 3 x 5 x 7 x 13

Divisible aussi par 5460 sauf pour n = 2 + 4k.

démo

2 880

démo

13 530

n41 – n

démo

14 322

n31 – n

démo

33 744

n36 – 1

Si n premier avec 2, 3, 19 et 37

Note: 33 744 = 24 x 3 x 19 x 37

 

65 520

n12 – 1

n premier > 10

 

1 919 190

n37 – 1

 

 

Voir Autres formes polynômiales en équations diophantiennes

 

 

Formes littérales

a2  b2

si a  b

>>>

p

np n

p premier

 

p

np-1 1

p premier

n premier avec p         Fermat

démo

p

(n + m)p – (np + mp)

p premier

démo

p

np + mp

p premier et p divise n + m

démo

p

(p 1)! + 1

p premier                      Wilson

 

r !

n(n+1)(n+2) …(n+r)

Produit de r nombres consécutifs

démo

(n + 1)n – 1

 

 

(n – 1)²

nk 1

si k est divisible par n – 1 et n >1

 

p² + p + 1

pn+1 + (p+1)2n-1

 

 

2b – 1

ne divise jamais 2a 1

a et b > 2

 

a2^n + 1

a2^m 1

m > n

 

 

D'autres formes

N

1n + 2n + 3n + ... + (N1)n    

Pour tout N impair et n impair    

>>>

(a – b)

anbn

Pour tout n

>>>

(a – b) (a + b)

anbn

Pour n pair

>>>

a² + b²

(a4n – b4n)

 

 

 

 

 

 

En puissance de 2, 3 et 5

 

 A est divisible par B pour tout n et k entiers positifs.

 

 

 

 

 

Nombres consécutifs

 

La somme de k nombres consécutifs est divisible par k si k est impair et par k/2, si k est pair.

 

 

Le produit de k nombres consécutifs est divisible par factorielle k. >>>

 

 

S = n + n+1 + n+2 + … + n+k

S = kn + (1 + 2 + 3 +…+ k)

S = kn + k (k + 1) / 2

S = k { n + (k + 1) / 2}

Divisible par k si k+1 est pair; soit k impair.

 

 

 

 

Carrés, factorielles

 

Différence de deux carrés

 

N, la différence des carrés de a et b, est divisible par la somme et par la différence de a et b.

 

 


N = a² –   = s . e

s = a + b

e = a – b

 

Factorielles

 

Produit de factorielles.

Soit a = (p!)q . q!

et    b = (q!)p . p!

 

Alors n = (p . q)!

                est divisible par a et b.

 

 

 

Suite

*         Formes diverses

*         Critères généraux

*         DivisibilitéIndex 

*         Somme de q nombres divisible par q

*         Autres formes polynômiales et équations diophantiennes

Voir

*         Calcul mentalIndex

*         Carrés – forme générique

*         Divisibilité dans une suite de nombres

*           Divisibilité des formes nx - 1

*           Divisibilité par n = 24, 42 …

*         Fermat

*         Formes polynomiales

*         GéométrieIndex

*         Multiplication

*         Nombres à motifs

*         Nombres abondants 

*         Nombres magiques

*         Nombres parfaits 

*         Nombres répétés

*         Puissances de 2

*         Puissances – format

*         Rep-unit

*         Théorie des nombresIndex

*         Triplets de Pythagore – Divisibilité

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