NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

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ORIENTATION GÉNÉRALE - M'écrire - Édition du: 27/11/2011

Débutants	-Ý- RUBRIQUE: DIVISIBILITÉ				Glossaire
§ Retour INDEX		§ Puissance	§ n^k + k^n
§ FORMES		§ Fermat	§ n^x ± y
§		§ Wilson	§
Sommaire de cette page >>> Divisibilités par NOMBRES croissants >>> À noter: Carrés, Factorielles, Répétitions >>> Divisibilités par FORMES croissantes >>> Divisibilité par 73 et 137 – démo >>> Divisibilité par 91 >>> FORMAT DES CARRÉS >>> FORMAT DES PUISSANCES				Pages voisines § Fermat § Nombres répétés § Nombres magiques § Nombres à motifs § Rep-unit § Multiplication § Nombres parfaits  § Théorie des nombres § Calcul mental § Géométrie

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DIVISIBILITÉ

des EXPRESSIONS ALGÉBRIQUES

par un nombre donné

Trouver des formes divisibles par un nombre

en utilisant les théorèmes de Fermat et de Wilson

ou en utilisant la méthode par induction

-Ý - DIVISIBILITÉS PAR NOMBRES CROISSANTS

Divisible par	Formes divisibles Remarquables et autres		Avec / Condition	Démo
2	n^2 – n = (n - 1) n n^2 + n = n (n + 1)		Produit de deux nombres successifs. L'un d'eux est forcément pair Il existe de nombreuses formes paires (Toutes celles où figure un 2 dans les tableaux) Voir Nombres triangulaires	démo <=
3	1^n + 2^n		Pour n impair	démo
	2^n - 1		pour n pair	démo
		n (2n² +7)		démo
		ab ( a² - b² )		démo
		2^2^n + 5		démo
3^n	3^n | 33…3n		Divisibilité d'un repdigit de n chiffres	démo
4	x^2 – y^2 = (x-y) (x+y)		(x - y) pair Car x-y est pair et x et y sont de même parité. leur somme est paire	démo <=
		a = ...cdu	avec 2d + u multiple de 4
	ne divise pas n² + 1 ne divise pas n² + 2		Si n est pair 4 divise n² Si n est impair 4 divise n² + 3
5		3^3n+1 + 2^n+1		démo
	1^n + 2^n + 3^n + 4^n		Pour n impair	démo
	3^n - 2^n		Pour n pair	démo

6	(n - 1) n (n + 1) = n^3 – n			Trois nombres consécutifs Un produit de trois nombres consécutifs est divisible par 3! = 6 Voir Nombres tétraédriques	démo
		n (n + 1) (n + 5)
		n (n + 1) (2n + 1)			démo
		n (n^2 + 5)			démo
7	n^6 – 1			n non divisible par 7
	1^n + 2^n + 3^n + 4^n + 5^n + 6^n			Pour n impair	démo
	4^n - 3^n			Pour n pair	démo
		n^6k – 1		n non divisible par 7
		3^2n - 2^n
		3^2n+1 + 2^n+2			démo
	abc abc
8	n² - 1 = (n - 1) (n + 1)			n impair produit de deux pairs successifs	démo
	3^n - 1			pour n pair	démo
		3^2n + 7 5^2n + 7 (2k+1)^2n + 7			démo
2^n+2		3^2^n - 1		exemple pour n=1 => 8 | 8	démo
9	(n-1)^3 + n^3 + (n+1)^3			Somme de trois cubes successifs	démo
	1^n + 2^n + 3^n + 4^n + 5^n + 6^n + 7^n + 8^n			Pour n impair Propriété générale pour tous les nombres impairs	démo
	5^n - 4^n			Pour n pair	démo
			10^n + 3 . 4^n+2 + 5
	N - rN			Nombre N et son retourné rN N = 10a+b et rN = 10b+a dont la différence est 9a-9b	démo <=

11		n^6 + 3n^4 + 7n^2 - 11	pour n impair Formule à corriger !!!!!
	6^n - 5^n		Pour n pair	démo
		10^2n-1 + 1
12	p + p'		Somme de deux nombres premiers jumeaux	démo
	4^n - 2^n = 2^n (2^n -1)		Pour n pair	démo
13	7^n - 6^n		Pour n pair	démo
		p^12 – q^12	p et q non divisibles par 13
14		3^4n+2 + 5^2n+1
15	4^n - 1		pour n pair	démo
	8^n - 7^n		Pour n pair	démo
		3n^5 + 5n^3 + 7n	Voir Entier curieux	démo
		2^(4n) – 1

24	n² - 1		n premier n >3 ou mieux n impair non multiple de 3	démo
	n^3 – n = (n-1) n (n+1)		n impair n pair = 8k	démo démo
	5^n - 1		pour n pair	démo
		n^x- n ^x-2	x > 4
		n^14 – 1	n premier n >3
		p^2 – 1	p premiers p > 3
		p^2 – q^2	p & q premiers p & q > 6
	(n – 1) n (n + 1) = n (n² - 1)		Trois nombres consécutifs n impair	démo
	n (n+1) (n+2) (n+3)		Quatre nombres consécutifs Un produit de quatre nombres consécutifs est divisible par 4! = 24
		n (n^2-1) (3n+2)
		n (n^2-1) (h.n+k)	h impair k pair
		2 . 7^n + 3 . 5^n - 5		démo variante
25		7^2n + (2^3n-3) (3^n-1)
27		10^n+1 – 9n – 10 3 + 33 + … + 33…3n	33…3n est composé de n fois le chiffre 3 Voir Repdigit	démo

30	n^5 – n			démo
31		31 | (2^5n - 1)		démo
32		3^2n + 24n - 1
35	6^n - 1		pour n pair	démo
37	aaa		Trois chiffres identiques
41		41 . xyztu	Permutation circulaire
42	n^7 – n			démo
43		6^n+2 + 7^2n+1
48	7^n - 1		pour n pair	démo
		n (n^2+ 20)	n pair
49		2^3n+3 – 7n - 8
63	8^n - 1		pour n pair	démo
73		abcd abcd		démo
75	10^n - 5^n = 5^n (2^n – 1)		Pour n pair	démo
80	9^n - 1		pour n pair	démo
81	10^n+1 – 10 – 9n
84	n^7 – n		n impair (voir 168)
91	p^12 – q^12		p et q non divisibles par 91
99	10^n - 1		pour n pair	démo

111	aaa		Rep-unit
120	n^5 – n		n impair (voir 240)	démo
	(n-2) (n-1) n (n+1) (n+2)		Cinq nombres consécutifs Un produit de cinq nombres consécutifs est divisible par 5! = 120	démo
	11^n - 1		pour n pair	démo
		n^5 – 5n^3 + 4n	n > 2
133		11^n+2 + 12^2n+1		démo
137	abcd abcd			démo
143	12^n - 1		pour n pair	démo
168	n^7 – n		n impair
	13^n - 1		pour n pair	démo

222		Sa / s	Somme des arrangements
240	n^4 – 1		n premier n > 5	démo
	n^5 – n		n impair	démo
	(n-2) (n-1) n (n+1) (n+2)		n pair	démo
		n^x- n ^x-4	x > 7
264	n^10 – 1		n premier n > 3
480	n^8 – 1		n premier n > 5
	n^9 – n		n impair n > 1
504	(c - 1) c (c + 1)		c est un cube = n^3	démo
		p^6 – 1 = (p^3 - 1)(p^3+ 1)	n premier >3, sauf 7	démo
	n^7 – n		n premier n > 3
		n^x- n ^x-4	x > 8
512		3^2n+5 + 160n² - 56n -243		démo
576		5^(2n + 2) – 24n – 25		démo
641		F5 = 2^2^5 + 1	Fermat #5	démo
720		n^2 (n^2+ 16)
840		n^7 – 7n^5 + 14n^3 – 8n

2 304		7^2n – 48n – 1	Note: 2304 = 48²
2 730	n^13 – n		Note: 2730 = 2 x 3 x 5 x 7 x 13
33 744	n^36 - 1		n premier avec 2, 3, 19 et 37 Note: 33 744 = 2^4 x 3 x 19 x 37
65 520	n^12 - 1		n premier n > 13

Formes littérales

p	n^p - n	p premier
p	n^p^-1 - 1	p premier n premier avec p Fermat	démo
p	(p - 1)! + 1	p premier Wilson
r !	n(n+1)(n+2) …(n+r)	Produit de r nombres consécutifs	démo
n²	(n + 1)^n – 1
(n – 1)²	n^k - 1	si k est divisible par n-1 et n >1
p² + p + 1	p^n^+1 + (p+1)^2n-1
2^b - 1	ne divise jamais 2^a - 1	a et b > 2
a^2^n + 1	a^2^m - 1	m > n

D'autres formes

N	1^n + 2^n + 3^n + ... + (N-1)^n	Pour tout N impair et n impair	>>>
(a – b)	a^n - b^n	Pour tout n	>>>
(a - b) (a + b)	a^n - b^n	Pour n pair	>>>
a² + b²	(a^4n – b^4n)

-Ý - À NOTER: carrés, factorielles, répétitions

Différence de deux carrés

N = a² - b²	a + b = s a - b = e
N = s . e
N différence des carrés de a et b est divisible par la somme et par la différence de a et b

Factorielles

Soit a = (p!)^q. q!	et b = (q!)^p. p!
Alors n = (p . q)! est divisible par a et b

Illustration

p	q	n = (p . q)!	n / a	n / b
2	2	24	3	3
2	3	720	15	10
2	4	40320	105	35
2	5	3628800	945	126
3	3	362880	280	280
3	4	479001600	15400	5775
3	5	1307674368000	1401400	126126
4	4	20922789888000	2627625	2627625
4	5	2432902008176640000	2546168625	488864376
5	5	15511210043330985984000000	5194672859376	5194672859376

Nombres répétés

§ Pour les nombres divisibles par les diviseurs des nombres de la forme

abc…abc…

Voir Nombres répétés

-Ý - DIVISIBILITÉS PAR FORMES CROISSANTES

Voir d'abord en

§ Divisibilité des formes n^x - 1

Quelques-unes de ces formes sont montrées dans les cases en vert clair

Quelques compléments sur les autres formes

Notations

n =	Nombre considéré
Txyz =	Terminé par les chiffres x, y ou z
t =	Opérateur qui vaut 0, 1 ou –1
Dx =	Divisible par x
F =	Forme polynomiale
nF =	Jamais de cette forme
*	Conditions sur n, voir tableau des divisibilités

Formule en n	Selon condition sur n
	Quelconque	Pair	Impair	Premier	Divers
n^2	T14569 F 5n+t nF 3n-1	D4
n^2 - 1			D4	D24*
n^2 + 1				D2
n^2 - n	D2
n^2 + n	D2
n^3	F 9x+t F 7x+(0,1,6)				= n² si F 7n ou 7n+1
n^3 - 1				D2
n^3 + 1				D2
n^3 - n	D6	D6	D24	D24
n^3 + n	D2
n^3 - n^2	D2	D4
n (n² + 20)		D48
n (n+1) (n+6)	D6
n^4 - 1			D16	D240
n^4 + 1			D2
n^q	q=8 F 17x + t q=12 F 13x, 13x +1

-Ý - DIVISIBILITÉ PAR 73 et 137

•  Tous les nombres en abcd abcd sont divisibles

par 73 et par 137

• Si, en plus, d = 0 ou 5,

ils sont divisibles par 365 et par 50 005

 Exemples

1000 1000 = 50 005 x 200

9995 9995 = 50 005 x 1 999

Note:

365 = 73 x 5

50 005 = 365 x 137

Voir Nombre 73 / Nombre 137

Divisibilité par 91

Divisibilité de p¹² – q¹²

p	q	N = p^12 – q^12	N / 91
1	1	0	0
2	1	4095	45
3	1	531440	5840
4	1	16777215	184365
5	1	244140624	2682864
6	1	2176782335	23920685
7	1	13841287200	1064714400 /7
8	1	68719476735	755159085
9	1	282429536480	3103621280
10	1	999999999999	10989010989
2	2	0	0
3	2	527345	5795
4	2	16773120	184320
5	2	244136529	2682819
6	2	2176778240	23920640
7	2	13841283105	1064714085 /7
8	2	68719472640	755159040
9	2	282429532385	3103621235
10	2	999999995904	10989010944
3	3	0	0
4	3	16245775	178525
5	3	243609184	2677024
6	3	2176250895	23914845
7	3	13840755760	1064673520 /7
8	3	68718945295	755153245
9	3	282429005040	3103615440
10	3	999999468559	10989005149
p^12 – q^12 est bien divisible par 91 sauf pour p = 7 dans ce tableau En général, sauf pour p ou q multiple de 7 et 13

-Ý - FORMAT DES CARRÉS

Tout carré est de la forme

5n + t avec t = -1, 0 ou 1

Démonstration

• Si N est un multiple de 5, N² est aussi multiple de 5

• Si N est n'est pas divisible par 5 ( premier par rapport à 5)

Alors,

N^(5-1) - 1 = k.5

N⁴ –1 = (N²+1)(N²-1) = k.5

Et,

N² est de la forme 5n+1 ou 5n-1

Voir Nombres carrés

-Ý - FORMAT DES PUISSANCES

Formes

• Il n'y a pas de carré de la forme 3n – 1

• Il n'y a pas de nombre triangulaire de la forme 3n - 1

• Tout cube est de la forme 9n + t avec t = -1 , 0 ou 1

• Le reste de la division par 7 d'un cube est 0, 1 ou 6

• Si un nombre est à la fois carré et cube, il est de l forme 7n ou 7n + 1

• Quels que soient a et x, a^x + a et a^x - a sont toujours pairs

• Toute puissance paire d'un nombre impair est de la forme 8r + 1

• Toute puissance 12^e d'un nombre est de la forme 13n ou 13n + 1

• Toute puissance 8^e d'un nombre est de la forme 17n + t avec t = -1, 0 ou 1

Voir Nombres géométriques

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-Ý -

Voir

§ Divisibilité par n = 24, 42 … § Divisibilité des formes n^x - 1 § Fermat § Nombres répétés