NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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INDEX

 

Matrices

 

Outils 

 

Introduction

Addition

Multiplication

Puissance

Formes

Déterminant

Inversion

Historique

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Multiplication 2 x 2

>>> Multiplication 3 x 3

 

 

 

MATRICES – Multiplication

 

 

Une opération un peu compliquée, mais une fois apprivoisée …

M x M' = ???

Voir Débutants / Novices

 

 

 

APPROCHE

 

*        Multiplier par un nombre, facile: il s'agit d'une addition multiple.

 

 

 

*        Voyons pour deux matrices simples: vecteur-ligne par vecteur-colonne: somme des produits des coefficients de même rang

 

Le produit est dit "produit scalaire"

 

4 x

5

6

=

20

24

7

8

28

32

 

 

 

 

 

1

2

x

5

= 1x5 + 2x7 = 19

 

 

7

 

 

 

 

 

x

5

= 2x5 - 4x6 + 8x7

= 10 – 24 + 56

= 42

2

4

8

-6

 

 

 

7

 

 

 

 

 

MULTIPLICATION Matrice 2 x 2

 

 

*        La matrice résultat est formée de coefficients qui sont le produit de la matrice ligne par la matrice colonne, toutes deux correspondant au rang du coefficient résultat.

 

 

 

 

1

2

x

5

6

=

a

b

3

4

7

8

c

d

 

 

Calcul

 

1

2

x

5

= 1x5 + 2x7 = 19= a

 

 

7

 

1

2

x

6

= 1x6 + 2x8 = 22= b

 

 

8

 

3

4

x

5

= 3x5 + 4x7 = 43= c

 

 

7

 

 

3

4

x

6

= 3x6 + 4x8 = 50= d

 

 

8

 

Résultat

 

 

1

2

x

5

6

=

19

22

3

4

7

8

43

50

 

 

 

 

*        Quelques résultats pour vous entraîner.

 

1

0

x

1

1

=

1

1

0

1

1

1

1

1

 

0

1

x

1

1

=

0

1

1

1

0

1

1

2

 

1

1

x

1

0

=

2

0

0

0

1

0

0

0

 

1

1

x

1

1

=

2

2

1

1

1

1

2

2

 

1

1

x

1

1

=

0

0

1

1

-1

-1

0

0

 

1

1

x

2

2

=

3

3

2

2

1

1

6

6

 

1

0

x

a

b

=

a

b

0

1

c

d

c

d

 

10

11

x

7

8

=

169

190

12

13

9

10

201

226

 

 

 

Formule générique

 

 

a

b

x

x

y

=

ax + bz

ay + bt

c

d

z

t

cx + dz

cy + dt

 

 

 

 

 

MULTIPLICATION Matrice 3 x 3

Même principe que pour 2 x 2

*        en utilisant, pour chaque nouveau coefficient,

*        le produit de la ligne par la colonne qui lui correspond.

 

1

2

3

x

1

2

3

=

a

b

c

2

3

1

2

3

1

d

e

f

3

1

2

3

1

2

g

h

i

 

 

   Calcul

 

 

 

 

x

1

= 1x1 + 2x2 + 3x3

= 14= a

1

2

3

2

 

 

 

3

 

 

 

 

x

2

= 1x2 + 2x3 + 3x1

= 11= b

1

2

3

3

 

 

 

1

Etc.

 

 

 

   Résultat

 

 

1

2

3

 

1

2

3

 

14

11

11

2

3

1

2

3

1

11

14

11

3

1

2

 

3

1

2

 

11

11

14

 

 

 

 

 

 

 

Quelques résultats pour vous entraîner.

 

 

1

0

0

x

1

2

3

=

1

2

3

0

1

0

4

5

6

4

5

6

0

0

1

7

8

9

7

8

9

 

1

1

1

x

1

2

3

=

12

15

18

1

1

1

4

5

6

12

15

18

1

1

1

7

8

9

12

15

18

 

1

1

1

x

2

2

2

=

6

6

6

1

1

1

2

2

2

6

6

6

1

1

1

2

2

2

6

6

6

 

1

1

1

x

2

2

0

=

6

6

0

1

1

1

2

2

0

6

6

0

0

0

0

2

2

0

0

0

0

 

1

2

3

x

1

2

3

=

30

36

42

4

5

6

4

5

6

66

81

96

7

8

9

7

8

9

102

126

150

 

8

9

10

x

16

15

14

=

345

318

291

11

12

13

13

12

11

462

426

390

14

15

16

10

9

8

579

534

489

 

1

-1

1

x

a

b

c

=

a-96

b-96

c-96

-1

1

-1

100

100

100

-a+96

-b+96

-c+96

1

-1

1

4

4

4

a-96

b-96

c-96

 

 

 

Formule générique

a

b

c

x

x

y

z

d

e

f

r

s

t

g

h

i

u

v

w

 

=

ax + br + cu

ay + bs + cv

az + bt + cw

dx + er + fu

dy + es + fv

dz + et + fw

gx + hr + iu

gy + hs + iv

gz + ht + iw

 

 

NB

*       Le produit de deux matrices est toujours possible sur des matrices carrées

 

 

*       Il est aussi possible si le nombre de colonnes de A et égal au nombre de lignes de B

 

Exemple de produit de matrices (2,4) par (4,2), résultat une matrice 4,4)

 

1

4

x

 

 

 

 

=

17

14

11

8

2

3

1

2

3

4

14

13

12

11

3

2

4

3

2

1

11

12

13

14

4

1

 

 

 

 

8

11

14

17

 

Calcul

 

1

4

x

1

= 1x1 + 4x4 = 17

 

 

4

 

1

4

x

2

= 1x2 + 4x3 = 14

 

 

3

Etc.

 

 

 

 

SUITE

* Inversion

Voir

* Équations

* Outils mathématiques

* Théorie des nombres

Sites

* Matrice (mathématiques) - Wikipédia

* Matrice – Résumé des cours – BibM@th.net

* Matrix -- from Wolfram MathWorld

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