NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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MATRICES

 

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Vecteurs débutants

Matrices débutants

 

 

INDEX

 

Outils 

 

Introduction

Addition

Multiplication

Puissance

Formes

Déterminant

Inversion

Historique

Lycée

 

Sommaire de cette page

>>> Tableau de nombres

>>> Pourquoi faire ?

>>> Opérations

>>> Notations

>>> Utilité

 

 

 

 

 

MATRICES

Approche pour débutants

Les matrices:

C'est quoi? À quoi cela sert-il?

 

En apprenant les multiplications, on dessine des grilles (Illustration) que les grands appelleront matrices parce qu'elles deviendront des objets mathématiques comme les nombres et sur lesquels, on va pouvoir effectuer des opérations.

Un outil performant pour manipuler des paquets de données semblables. Application, par exemple, pour calculer les images des jeux vidéo.

L'illustration montre une matrice de deux lignes et trois colonnes.

 

 

 

TABLEAU de nombres ou 

 

Matrice est un autre mot pour désigner une grille ou un tableau de:

 

*   Nombres

 

 

*  Symboles

 

 

 

*  Combinaison de nombres et symboles

 

 

*   Expressions algébriques simples

 

 

 

*   Expressions algébriques élaborées

 

 

 

 

2

3

4

48

24

12

 

 

a

b

c

 

 

 

2a

3b

4c

48

24

12

 

 

2a + 3b

5b + 4c

 48 + 10

12

 

 

3 cos + et

5 sin

2 sin  + 5 cos

12 tan

 

 

 

 

Pourquoi faire?

 

*  Il arrive que nous disposions d'une collection* de nombres et nous souhaitons effectuer le même type de calcul sur chacun d'entre eux.

 

 

*  Il est parfois plus pratique de manipuler des tableaux entiers plutôt que de redonner à chaque fois de longues listes de calculs.

 

 

Situation

Trois employés A, C et C gagnent 12 €/h.

Voici la situation selon leur durée de travail:

 

A = 3 x 12€/h

C = 5 x 12€/h

D = 8 x 12€/h

 

On écrira

 

A

 

 

 

 

 

B

=

3

5

8

x 12 €/h

C

 

 

 

 

 

 

On saura que cela veut dire:

S = 3 x 12 + 5 x 12 + 8 x 12 = 16 x 12 €

 

On pourrait dire une série de nombres, mais il pourrait y avoir confusion avec la série mathématique

 

 

Opérations

 

 

*   Exemple ci-contre pour l'addition des matrices.

 

 

*   Vous verrez que les matrices peuvent s'additionner, se multiplier …

 

*   D'autres opérations nouvelles, spécifiques aux matrices viendront s'ajouter, comme l'inversion de matrice

 

 

 

Situation

Semaine 1

 

A = 3 x 12€/h

C = 5 x 12€/h

D = 8 x 12€/h

Semaine 2

 

A = 30 x 12€/h

C = 25 x 12€/h

D = 10 x 12€/h

 

On écrira l'opération

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

=

3

5

8

x 12€/h

+

30

25

10

x 12€/h

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Et le résultat de l'addition

A

 

 

 

 

 

B

=

33

30

18

x 12€/h

C

 

 

 

 

 

 

 

 

Notations

Matrices 2 x 2  puis 2 x 4 et 4 x 2

 

Utilité

 

*  Comme souvent les mathé- maticiens inventent des outils pour se simplifier la vie. Les matrices font partie de la boîte à outils des mathématiciens.

 

*  Ce sont des objets comme les vecteurs ou les nombres complexes qui permettent de passer dans un monde plus globalisateur, une couche d'abstraction  supplémentaire.

 

*  S'appliquant à un paquet de nombres et non pas à un seul, les matrices permettent des calculs plus systématiques, d'ailleurs propices à leur mécanisation sur ordinateurs. 

 

Imaginez un point dans l'espace dont les coordonnées sont x, y et z.

Ce point bouge selon une loi dans l'espace pour atteindre la position x', y' et z' .

 

Il sera commode d'exprimer la nouvelle position en fonction de l'ancienne par une matrice telle que celle-ci.

 

x

 

3

4

5

 

x'

y

=

0

2

1

x

y'

z

 

1

0

8

 

z'

 

En "dépliant", on aurait toutes les formules du type:

x = 3x' + 4y' + 5z'

 

Les jeux vidéo font un appel massif aux matrices pour calculer les paysages et les objets en trois dimensions, selon les angles de vue et la dynamique des mouvements.

 

 

 

 

 

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Sites

*  Matrice (mathématiques) - Wikipédia

*  Matrice - BibMAths

*  Matrix -- from Wolfram MathWorld

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http://villemin.gerard.free.fr/aMaths/Outils/Matrice/Debutant.htm