NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 17/01/2014 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique
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Nombre 101 – Curiosités

1) Somme de fractions à motifs esthétiques. Explication de la mécanique de construction de tels motifs. >>>

2) Le nombre 101 est le seul de la forme 101010… à être premier. >>>

Approche

Le dictionnaire des nombres nous présente les égalités suivantes comme une curiosité à l'entrée du nombre 51, du nombre 101 et du nombre 0, 019 … Le deuxième terme est l'élément principal de notre motif curieux. Il est formé avec deux dénominateurs dont l'un est la moitié de celui du premier terme incrémenté d'une unité: 51 = ½ (101+1), et le second est celui-ci (51) doublement concaténé (5151). Le troisième terme est vite compris dès que les fractions sont mises au même dénominateur: (6 + 3 + 2 + 1) / 606 = 12/606 = 2/101. Après exploration de ce type de motif, nous exposerons les dessous de cette beauté.

Exploration avec 101

Voici diverses fractions déclinées sur le même modèle: Observations Le premier dénominateur: Il commence par 102 Les suivants sont égaux à ce nombre divisé par le numérateur présent dans le premier terme: 51 = 102 / 2. Notons que: 102 = 2 x 3 x 17. Le second dénominateur: Il est de la forme 100A + A (comme 100 x 1 + 1 = 101) C'est un multiple de 101, le facteur de multiplication étant le premier dénominateur (202 = 101 x 2).

Nombres en fractions
Conséquence de ces motifs, il est possibilité d'exprimer certains nombres sous la forme de fractions amusantes. Par exemple: Ceci dit, cette forme n'a rien d'exceptionnel, on peut tout aussi bien écrire 17 avec toutes les autres fractions unitaires. 17 = 1/2 + 33/2 = 1/3 + 50/3 = 1/4 + 67/4 = 1/5 + 84/5 = 1/6 + 101/6 = 1/7 + 118/7 = 1/8 + 135/8 = 1/9 + 152/9 = 1/10 + 169/10 = …

Exploration avec 1001
Nous connaissons les motifs avec 101. Est-il possible de retrouver les mêmes motifs avec 1001? Réponse: oui! Nous retrouvons exactement le même type de construction. Type qu'il est plus évident à percevoir si l'on commence par le bas du tableau, en remontant. Il est facile e percevoir les divisions de 1002 par ses divers diviseurs. En effet 1002 = 2 x 3 x 167.

Explications
Prenons un nombre en fonction de ses diviseurs. Par exemple 42 = 2 x 3 x 7. Nous construisons le tableau en commençant pas le cas et en énonçant tune banalité: 42/41 = 1 + 1/ 41. La ligne suivante s'en déduit en divisant tout par 2: 21/42 = 1/2 + 1/82. Les lignes du dessus se construisent de la même manière pour atteindre 1/41 = 1/42 + 1/(41 x 42). Et nous retrouvons une identité bien connue:

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