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Histoire

 

*        Les fractions étaient  appelées nombres rompus (Moyen Âge en Europe).

Définition

*        Division, partie d'un tout, portion.

*        Division de deux entiers a et b, notée a/b ou  avec b non nul.

a et b sont les termes de la fraction.

a est le numérateur et b le dénominateur.

Se souvenir!

 

A

 

Numérateur

 Nombre de parts

B

 

Dénominateur

 Dénomination de la fraction: quantité totale de parts

 

Exemple: parmi les fractions en tiers (dénomination), je prends (un nombre de) deux parts; la fraction est 2/3, et 3 est le dénominateur et 2 le numérateur.

Voir Mnémotechnique

Langue

*        Fractionnaire: qui a la forme d'une fraction. Le quark a une charge électrique fractionnaire. Un exposant fractionnaire témoigne d'une racine.

*        Fractionnel: qui vise à la désunion d'un groupe, d'un parti, d'un syndicat.

*        Le rapport d'une grandeur à une autre est la fraction de l'un par l'autre. Ex: le rapport entre le mètre est le kilomètre est gal  à 1/1000.

 

Fondement

 

*        On se propose de mesurer les longueurs de A et de B avec C:

ABC

-         Avec l'unité de mesure C

A vaut 5 C

B vaut 2 C

-         On s'intéresse à ce que vaut A par rapport à B.

 

A

=

5C

B

2C

 

On énonce que A est les cinq demi de B.
sous-entendu avec l'unité de mesure commune C.

On écrit: A = 5/2 B.

 

Et aussi B est les deux cinquièmes de A.

On écrit: B = 2/5 A.

 

 

Nombres rationnels

*        Un nombre rationnel (ration = portion = fraction)
est un nombre défini par une fraction.

Exemples: 1/2 = 0,5 ;  2/3 = 0,666 …

 

*        Ce nombre peut être périodique.

Exemple: 1/7 = 0,142857 142857 …

 Équivalence

(Égalité)

 

*        Fractions égales ou (mieux) équivalentes.

 

Pour que deux fractions a/b et c/d soient équivalentes

il faut et il suffit que

a.d = b.c

On note a/b = c/d.

 

*        Deux fractions équivalentes représentent le même nombre rationnel.

Exemples: 0,5 = 1/2 = 2/4

 

*        Une fraction reste équivalente à elle-même si on multiplie numérateur et dénominateur par le même entier.

Exemples: 2/3 = 4/6 = 6/9 = …

 

*        Une fraction reste équivalente à elle-même si on divise numérateur et dénominateur par le même entier d, à condition que d soit un diviseur commun de a et b.

Exemples: 25/100 = 5/20 = ¼

 

 

 

Irréductible

Simplification

*        Si a et b sont premiers entre eux, la fraction a/b est irréductible.

On ne peut plus la simplifier (ou la réduire).

Le plus grand commun diviseur de a et b est alors 1.

Exemples: 154/231 = 22/33 = 2/3

Dénominateur commun

*        On peut toujours trouver des fractions équivalentes ayant le même dénominateur à deux (ou plus) fractions.

*        Ce dénominateur est le plus petit commun multiple des dénominateurs des fractions considérées

Exemple: 1/20 & 1/12  PPCM (20,12) = 60

 

Fractions équivalentes avec même dénominateur:
              
3/60 & 5/60

 

Addition

*        Pour additionner (ou soustraire) deux fractions, il faut les réduire au même dénominateur et ajouter les numérateurs ainsi obtenus

Somme des deux fractions ci-dessus: 8/60 = 2/15

 

D'une manière générale: a/b + c/d = (ad + bc) / bd

Multiplication

*        Pour multiplier deux fractions, on multiple numérateurs et dénominateurs

Exemples: 3/20 x 5/12  = 15/240 = 16

 

D'une manière générale: a/b x c/d = ac / bd

Puissance

*        Pour élever une fraction à une puissance on élève numérateur et dénominateur à cette puissance

D'une manière générale: (a/b)n = an / bn

Toute puissance d'une fraction irréductible est une fraction irréductible

Division

*        Pour diviser une fraction par une autre on la multiple par la fraction inverse

Exemple: 11/15 : 3/5 = 11/15 x 5/3 = 55/45 =11/9

 

D'une manière générale: a/b : c/d = a/b x d/c = ad / bc

 

Réduite

*        Une réduite est la fraction la plus proche d'un nombre réel, compte tenu du nombre de chiffres du dénominateur

Exemple:355/113

 

Voir liens ci-dessous

Fraction généralisée

ou

Fraction à étage

*        Pour le numérateur, comme pour le dénominateur, on peut utiliser des fractions pour former une fraction généralisée.

 

(a/b) / A/B) est une fraction généralisée ou fraction à étage.

 

*        Une variété particulièrement importante de celles-ci est la fraction continue.

Exemple

 

Fraction décimale

*        Lorsque le dénominateur est une puissance de 10, il s'agit d'une fraction décimale.

Exemples: 1/10 ; 1/1000000; 1/1010

Convention

*        L'écriture a/1 représente l'entier a.

*        La fraction 0/b représente le nombre 0.

*        Par définition le cas a/0 est exclu.

*        On peut écrire a/b = a.b-1

Ensemble

*        Les fractions forment un corps.

Q est le corps des fractions de Z dans R.

 

 

Anglais

*        Fraction a/b

The number a is the numerator; the number b is the denominator.

It is a proper fraction if a < b; and an improper fraction if a > b.

Any number can be expressed as c + d/e, where c is an integer and d/e a proper fraction.

This form c + d/ e is called a mixed fraction.

Exemple: 7/2 = 3 + 1/2

 

 

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