NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

Accueil                           DicoNombre            Rubriques           Nouveautés      Édition du: 07/11/2016

Orientation générale        DicoMot Math          Atlas                   Références                     M'écrire

Barre de recherche          DicoCulture              Index alphabétique                               

     

Type de nombres

 

Débutants

Général

FRACTIONS

 

Glossaire

Fraction

 

 

INDEX

 

Fractions

 

Calcul

Débutant

Unitaire

Continues

Égyptiennes

Comparaison

Règle de trois

Somme 1

Glouton

Construction

Illicites

Inverse

Multiplication

Identités

De chiffres

 

Sommaire de cette page

>>> Types

>>> Propriétés

>>> Conjecture d'Erdös-Strauss

>>> Hyperbole y = 1/x

>>> Explications – Équation de la droite

>>> Anglais

 

 

 

 

FRACTIONS UNITAIRES

 

Fractions dont le numérateur vaut 1 et le dénominateur est un nombre entier.

 

Inverse d'un nombre entier naturel.

 

 

 

 

TYPES de fractions unitaires (FU)

 

*      Inverse d'un nombre >>>

*       Suite harmonique >>>

 

*       Somme des inverses  >>>

 

*       Somme de deux inverses (équation somme/produit) >>>

*       Somme des carrés et autres puissances des inverses >>>

 

*       Somme des puissances successives d'une fraction unitaire >>>

 

*       Somme des inverses des factorielles >>>

 

*      Fraction égyptienne >>>

 

*      Sommes infinies >>>

 

*      Fractions unitaires de somme 1 >>>

 

*      Fractions unitaires avec 101 >>>

 

*      Conjecture d'Erdös-Strauss >>>

 

*      Énigmes de partage >>>

 

 

 

 

Propriétés

 

 

*      Multiplication de FU => FU.


*      Addition,
soustraction, et
division de FU
=> généralement pas une FU

 

 

 

 

 

*      Puissance et racine d'une FU
=> FU

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*      Toute fraction unitaire est la somme de deux fractions unitaires différentes.

Ou encore, la différence entre deux fractions unitaires successives est égale à la fraction unitaire dont le dénominateur est le produit des eux nombres consécutifs.

 

 

 

Exemples

1/3 = 1/4 + 1/12                     >>>

1/4 = 1/5 + 1/20

 

 

Application: double expression de 1/100 (par exemple):

 

 

Voici les deux opérations développées:

 

*      Encadrement décimal de 1/100; voir discussion sur 1 = 0,999 …

 

 

*      Toute fraction unitaire est la somme de trois fractions unitaires différentes.

 

 

Exemples

1 = 1/2 + 1/3 + 1/6                     >>>

1/10 = 1/20 + 1/30 + 1/60

1/11 = 1/22 + 1/33 + 1/66

1/12 = 1/24 + 1/36 + 1/72

Voir  Fractions

 

 

Conjectures

 

Erdös-Strauss

 

*      Cette équation diophantienne a toujours une solution.

*      Vérifiée jusqu'à de très grands nombres.

 

Sierpinski

 

*      Même chose pour numérateur à 5.

 

 

 

Exemple

 

 

Voir Conjectures / Fractales de Sierpinski / Erdös

 

 

Hyperbole y = 1/x

 

*      La courbe y = 1/ x est l'hyperbole.

Dessinons les deux points (2, 1/2) et (4, 1/4).

 

 

*      Pourquoi la droite joignant ces deux points est si curieuse?

Elle passe par les points

*           l'un d'abscisse somme des deux abscisses (2 + 4 = 6), et

*           l'autre d'ordonnée somme des deux ordonnées (1/2 + 1/4 = 3/4).

 

 

 

 

Explications – Équation de la droite

 

*      Droite d'équation

 

*      Deux points sur la courbe y = 1/x

 

*      Pente de la droite (delta des "y" divisé par delta des "x").

 

*      Ordonnée à l'origine; prendre l'un des points et appliquer l'équation de la droite avec la valeur désormais connue de A pour déterminer B, qui est la valeur de y pour x = 0.

 

 

*      Équation de la droite

 

 

*      Abscisse à l'origine (y = 0)

 

 

y = Ax + B

 

(a, 1/a) et (b, 1/b)

 

 

B = y – Ax

 

 

 

 

 

 

English corner

 

*      Unit fraction 1/ n: rational number written as a fraction where the numerator is one and the denominator is a positive integer.

*      A unit fraction is therefore the reciprocal of a positive integer.

 

 

 

 

 

Suite

*    Comparaison des fractions usuelles

*    FractionsGlossaire et index

Voir

*    Fraction avec 0,65

*    Fractions dont la somme est égale à 1

*    Progression géométrique

*    Quotient = différence

*    Sommes d'inverses

*    Tables des fractions égyptiennes 

*    Théorie des nombresIndex

DicoNombre

*    Nombre 1/4

*    Nombre 1/3

*    Nombre 1/2

*    Nombre 2/3

*    Nombre 3/4

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Calcul/Fraction/Unitaire.htm