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Édition du: 15/03/2020

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Empreinte des nombres

 

Cette page vise à sélectionner une propriété remarquable pour chacun des nombres, sachant que les propriétés principales sont répertoriées dans le DicoNombre.

Empreinte de nombres: on se propose de donner une signature pour chacun des nombres. Une seule propriété à retenir pour chacun des nombres. Il est rare de ne pas en trouver une à chacun, au moins jusqu'à 1000. Certains en mériteraient plusieurs.

On peut s'intéresser à leur factorisation, leurs partitions, aux motifs des chiffres aux suites de nombres ou d'autres propriétés plus avancées en théorie des nombres.

 

 

Sommaire de cette page

>>> Nombres de 0 à 9

>>> Nombres de 10 à 49 

>>> Nombres de 50 à 99 

>>> Nombres de 100 à 149

>>> Nombres de 150 à 199

>>> Nombres de 200 à 249

 

Débutants

Nombres

 

Glossaire

Nombres

 

Nombres de 0 à 9

haut

 

0 – Le nombre 0 ne représente rien et pourtant, sans lui, il serait difficile de compter.

Le nombre zéro dans un nombre signale une place vide: 205 = 2 x 100 +  0 x 10 + 5.
Le nombre zéro indique aussi que la collection d'objets est vide.

1 – Nombre à l'origine de tout.

En ajoutant 1 à un nombre on construit tous les nombres.
Le nombre 1 débute de nombreuses suites de nombres.

2 – Le nombre 2 caractérise les nombres pairs. Le nombre 2 est le seul nombre pair premier.

Un nombre pair est un nombre divisible par 2, sans reste: 2, 4, 8, 10, 12, 14 … Ils sont tous de la forme 2k, alors que les nombres impairs sont de la forme 2k + 1. Le nombre 2 est premier; tous les autres nombres pairs sont divisibles par 2.

2,718… – Nombre exponentiel ou nombre de Neper.

La fonction exponentielle, réciproque de la fonction logarithme, est la seule qui est égale à sa dérivée. Elle est notée exp(x) ou . Fonction très utile pour décrire des phénomènes évolutifs en physique, électronique, chimie, biologie, etc.

3 – Le nombre 3 est le plus petit nombre premier impair et, après lui, tous sont impairs.
Le triangle est un polygone à trois côtés.

Le triangle équilatéral a trois côtés de même longueur.

3,141… – Constante Pi, noté avec la lettre grecque .

Constante qui intervient dans l'expression du périmètre d'un cercle  et de l'aire d'un disque .

4 – Premier nombre carré non trivial.

Un nombre carré est égal au produit d'un nombre par lui-même. 4 = 2 x 2 qui est noté 22. Le petit 2 est l'exposant, le même que celui rencontré dans m².

Trivial est un adjectif qui signifie banal. 1 = 1 x 1 = 1 est un nombre carré trivial.

5 – La puissance d'un nombre qui se termine par 5 se termine aussi par 5.

Avec le carré: 152 = 225; avec le cube: 453 = 91 125; 510 = 9 765 625,  etc.

L'exposant 10 dans 510 veut dire que le nombre 5 est multiplié dix fois par lui-même: 5x5x5x5x5x5x5x5x5x5 = 510.

5,859… – Somme de Pi = 3,141 … et e = 2,718 …

6 – Factorielle de 3 car 1 x 2 x 3 = 6

Les nombres factoriels sont égaux au produit de nombres consécutifs. Ces nombres sont souvent impliqués dans les calculs de dénombrements.

7 – Nombre de Mersenne premier, le deuxième après 3.

Un nombre de Mersenne est de la forme 2n – 1 et 7 = 23 – 1. C'est un nombre de Mersenne. Ce type de nombre détient le record du plus grand nombre premier connu avec plus de 20 millions de chiffres.

8 - Seule puissance qui en précède immédiatement une autre: 8 = 23 = 32 – 1 = 9.

Conjecture d'Eugène Catalan(1844), démontrée par Preda Milailescu en 2002.

9 – Connu pour ses propriétés de divisibilité permettant d'effectuer la preuve par 9 de toute opération arithmétique.

Tous les nombres dont la somme des chiffres est divisible par 9 est lui-même divisible par 9.
Tous les nombres ayant  la même somme de chiffres ont le même reste lorsqu'ils sont divisés par 9.

La différence entre deux nombres ayant les mêmes chiffres est divisible par 9.

 

 

Nombres de 10 à 49 

haut

10 – Base de notre système de numération de position décimale.

Chaque chiffre dans un nombre est associé mentalement à une puissance de 10. Le nombre 1234 est une convention d'écriture pour signifier 1 x 1000 + 2 x 100 + 3 x 10 + 4.

11 – Plus petit repunit et c'est un nombre premier.

Un repunit ou nombre uniforme en 1 est un nombre dont tous les chiffres sont 1. Ils sont seulement cinq connus à être premiers.

12 – Douzaine et base du système de numération duodécimale.
Le nombre 12 = 3 + 4 + 5 alors que son retourné prend la suite: 21 = 6 + 7 + 8.

Le nombre retourné de n est le nombre ayant les mêmes chiffres, mais lu de droite à gauche. 

13 -  Nombre des superstitieux, les triskaidécaphobes.
Nombre premier circulaire.

Un nombre premier est circulaire si la permutation circulaire de ses chiffres produit des nombres premiers: 13 et 31 sont premiers.

14 – Sommes de puissances:

14 = 1² + 2² + 3² = 21 + 22 + 23

15 – Nombre triangulaire: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15.

Un nombre triangulaire est un nombre égal à la somme des nombres entiers successifs.

16 – Seul nombre à être à la fois aire (4 x 4) et périmètre d'un même carré (4 + 4 + 4 + 4).

L'aire du carré est égale à la longueur du côté au carré (4²) et son périmètre à quatre fois la longueur du côté (4 x 4).

17 – Seul nombre premiers somme de quatre nombres premiers consécutifs: 2 + 3 + 5 + 7 = 17.

Propriété due à la présence du 2, seul  nombre premier pair. Sans lui, la somme de quatre nombres premiers est paire.

18 -   Seul  nombre deux fois la somme de ses chiffres: 18 = 2 x (1 + 8).
Nombre différence de puissances du même nombre: 18 = 33 – 32.

19 -  Un nombre de neuf chiffres répété est divisible par 19.

123456789123456789 / 19 = 6497725743339831

20 – Nombre tétraédrique: 20 = 1 + 3 + 4 + 10 = (1) + (1+2) + (1+2+3) + (1+2+3+4).

Un nombre tétraédrique est la somme de nombre triangulaires, lesquels sont la somme des nombres entiers successifs.

 21 – Nombre qui s'écrit 10101 en binaire: 21 = 16 + 4 + 1. C'est un nombre palindrome en binaire.

Un nombre binaire est un nombre qui s'écrit avec uniquement des 0 et des 1. Chaque chiffre est affecté d'un "poids" qui est le double de son voisin de droite.
Un nombre palindrome est un nombre qui peut se lire aussi bien de droite à gauche.

22 – Nombre de Smith.

La somme des chiffres est égale à la somme des chiffres de ses facteurs: somme des chiffres: 2 + 2 = 4; les facteurs sont  2 et 11 et leur somme: 2 + 1 + 1 = 4. 

Aussi: la somme des chiffres des facteurs est égale au produit des chiffres du nombre: 1 + 2 + 1 + 1 = 2 x 2 = 4.

23 – Plus petit nombre dont le produit des chiffres est supérieur à la somme.

Produit des chiffres: 2 x 3 = 6 et somme des chiffres: 2 + 3 = 5.

24 – Factorielle 4 (noté 4!). Comment arriver autrement à 24 avec les quatre premiers nombres.

4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24    et    (1 + 2 + 3 ) x 4 = 24

25 – Carré, somme des cinq premiers nombres impairs.

25 = 5² = 1 + 3 + 5 + 7 + 9. La somme des impairs jusqu'à n est égale au quart de la somme des extrêmes au carré: 1+3+5+7+9 = (1 + 9)² / 4 = 100 / 4 = 25. C'est toujours un carré.

Triplet de Pythagore: 25 = 5² = 4² + 3².

26 – Seul nombre entre un carré et un cube.

25 = 52   &  33  = 27. Découvert par Fermat, démontré depuis en résolvant l'équation diophantienne: y3 –x2 = 2. Une équation diophantienne ne comporte que des nombres entiers comme coefficients.

27 – Nombre aux quatre opérations.

27 = (6+2) + (6-2) + (6x2) + (6/2). Exemple d'un des nombreux jeux qui consistent à retrouver un nombre avec les opérations avec chiffres imposés.

Relation particulière avec les cubes: 27 = 63 – 53 – 43 = 33

28 – Nombre parfait.

Un nombre est parfait s'il est égal à la somme de ses diviseurs propres. 28 = 1 x 2² x 7. Ses diviseurs propres (sans le nombre lui-même): 1, 2, 4, 7, 14. Leur somme: 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. Le nombre 6 est le plus petit nombre parfait.

29 – Nombre tarte: quantité maximale de parts de tarte obtenue en la coupant avec 7 coups de couteau.

29 = ½ (7 x 8) + 1

30 – Nombre qui joue avec les nombres de 1 à 6.

30 = 12 + 22 + 32 + 42 =  5 x 6. Le nombre 30 est pronique, c'est-à-dire produit simple de deux facteurs (ici: 5 et 6).

31 – Nombre premier impair dont la moitié est 15,5 et, cela lui vaut cette propriété commune à tous les nombres impairs:

31 = 16 + 15 = 16² – 15² On calcule: (n + 1)² – n² = n² + 2n + 1 – n² = 2n + 1, la forme typique d'un nombre impair. Tout nombre impair N = 2n + 1 peut s'écrire comme la différence de deux carrés de nombres consécutifs.

32 – Puissance de 2.

32 = 2x2x2x2x2 = 25. Ce nombre s'écrit donc: 100 000 en binaire.
C'est aussi une somme de puissances singulières: 32 = 11 + 22 + 33.

33 – Division d'un produit par la somme des mêmes nombres:

33 = 990 / 30 =  (9x10x11) / (9+10+11)

34 – Le carré du nombre 34 crée un motif infini. Le nombre 35 produit le même effet.

34² = 1156 / 334² = 111556 / 3334² = 11115556 / …

35 – Partition unique avec cinq chiffres différents, de plus consécutifs.

35 = 5 + 6 + 7 + 8 + 9. Unique parmi les 14 883 partitions du nombre 35. On a aussi la maison du Maire sise au numéro 35, position telle  que la somme des numéros avant (1 + 2 + … + 34 = 595) est égale à celle des numéros après (36 + 37 + … + 49).

36 – Nombre doublement carré.

36 = 6² et avec les chiffres: 3 + 6 = 9 = 3². Le nombre 36 est divisible par la somme de ses chiffres: 36 / (3+6) = 4 et aussi par le produit de ses chiffres: 36 / (3x6) = 2.

37 – Tous les nombre en aaabbb … sont divisibles par 37.

555 666 777 = 37 x 15 018 021. La magie réside dans le fait que 37 x 3 = 111. Un nombre à trois chiffres identiques est divisible par 111 et donc par 3 et par 37.

38 – Le carré des nombres se terminant par 38  se terminent par 44.

38² = 1444  / 138² = 19044 / 238² = 56644 / 338² = 114244 / 438² =  191844 / 538² = 289444 …

39 – Calcul mental simple de son carré.

39² = (40 – 1) ² = 40² – 80 + 1 = 1 600 – 80 + 1 = 1 520 + 1 = 1 521

40 – Nombre repunit dans cinq bases (bases 4, 7, 9, 19 et 39).

40 = 11113 = 557 = 449 = 2219 = 1139 .
  Ex: 11113 = 1x33 + 1x32 + 1x31 + 1x30 = 27 + 9 + 3 + 1 = 40

41 – Le nombre origine d'une suite de nombres premiers découverte par Euler (1707-1783).

La formule N = n² + n + 41  produit cette suite de 40 nombres premiers:
41, 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, 151, 173, 197, 223, 251, 281, 313, 347, 383, 421, 461, 503, 547, 593, 641, 691, 743, 797, 853, 911, 971, 1033, 1097, 1163, 1231, 1301, 1373, 1447, 1523, 1601.

42 – Ce nombre est égal à 6 x7 et il joue avec les puissances de ces deux facteurs.

42 = 6 x 7 = 62 + 6 = 72 – 7.
Propriété générale, car: (n+1)² – (n+1) = n² + n = n(n+1).
Autre exemple: 110 = 10 x 11 = 10² + 10 = 11² – 11.

42,195 – Longueur d'un marathon en kilomètres.

Le record: 2 h 2 min 57 s correspond à une vitesse de 20,6 km / h.

43 – Puissance diabolique.

43 = 60 + 61 + 62. Avec les trois 6 qui forment le nombre de la Bête: 666.

44 – Sous-factorielle 5 (notée: !5 = 44). Elle se calcule de cette manière:

45 – La somme de tous les chiffres.

45 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 +7 + 8 + 9. Cette somme est facile à calculer en réarrangeant les termes: (1 + 9) + (2 + 8) + (3 + 7) + (4 + 6) + 5 = 4 x 10 + 5 = 45. D'une manière générale S = ½ n(n + 1). Ici, on a: S = ½ 9x10 = 5x9 = 45.

46 – Nombre égal à la somme des chiffres d'une de ses puissances.

465 = 205 962 976  & 2+0+5+9+6+2+9+7+6 = 46

47 – Somme avec trois cubes de nombres successifs.

47 = 63 + 73 – 83 = 216 + 343 – 512 = 559 – 512

48 – Nombre égal à une fraction formée avec ses chiffres.

49 – Le carré de 7. Chacun de ses chiffres (4 et 9) est aussi un carré.

Pour calculer un carré 7² = 7x 7: prendre les deux nombres voisins (6 et 8) et calculer le produit: 6x8 = 48 et ajoutez 1: 7² = 48 + 1 = 49. Cette facilité de calcul mental découle de l'identité remarquable: n² – 1 = (n – 1)(n + 1).

 

 

Nombres de 50 à 99 

haut

50 – La somme de trois carrés consécutifs.

50 = 3² + 4² + 5² = 9 + 16 + 25. On retrouve le triplet de Pythagore: 3² + 4² = 5². La somme devient: 50 = 5² + 5² = 25 + 25. Normal, quoi !
Le nombre 50 est aussi le plus petit qui est somme de deux carrés deux fois: 50 = 1² + 7² = 5² + 5².

51 – Une somme de fractions qui se simplifie. Même résultat avec fraction en 50.

52 – Un bon exemple des restes chinois.

Nombre tel que divisé par 3, il reste 1; divisé par 5, il reste 2; et, divisé par 7, il reste 3. En exigeant, en plus, n mod 11 = 4, alors n = 367.

53 – Un nombre premier  de Sophie Germain.

Le nombre 53 est premier de même que son double plus un: 2 x 53 + 1 = 107. Vers 1825, Sophie Germain (1776-1831) prouva que le grand théorème de Fermat est vérifié pour de tels nombres premiers.

54 – Associé à 9, il se retourne comme le font ses cousins plus grands.

54 – 9 = 45 / 554 – 99 = 455 / 5554 – 999 = 4555 / etc.

55 – Somme d'entiers successifs et somme de carrés successifs.

55 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6+ 7 + 8 + 9 + 10  / 55 = 1² + 2²+ 3² + 4² + 5²

56 – Un élément facile à retenir de la table de multiplication.

56  = 7 x 8, quatre chiffres qui se suivent.

57 – Une division de factorielle.

57 = (8! + 6!) / 6! = (40 320 + 720) / 720 = 56 + 1

58 – Un nombre de Smith: relation entre sommes de chiffres.

58 = 2 x 29 => somme des chiffres 5 + 8 = 13 & 2 + 2 + 9 = 13.

59 – Nombre premier jumeau.

59 et 61 sont premiers. Comme 60, divisible par 2, ne peut pas être premier, on peut considérer que 59 et 61 sont deux nombres premiers consécutifs. Ce sont des nombres premiers jumeaux.

60 – Nombre très divisible. Ce qui explique son utilisation historique comme base de numération, toujours en vigueur pour les angles et les heures.

60 = 22 x 31 x 51. Nombre qui est divisible par douze nombres: (1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60. La quantité de diviseurs est égale au produit des exposants  (2, 1, 1) auxquels on ajoute un: 3 x 2 x 2 = 12.

61 – Troisième nombre d'Euler ou nombre sécant.

Nombres qui se construisent par addition des précédents et qui servent à résoudre des problèmes de dénombrements.

62 – Somme de quatre nombres consécutifs.

62 = 14 + 15 + 16 + 17 = 4 x 14 + 1 + 2 + 3 = 4 x 15,5

63 – Départ du cycle de Kaprekar pour les nombres à deux chiffres.

63-36 = 27 / 72-27 = 45 / 54-45 = 09 / 90-09 = 81 / 81 – 18 = 63

64 – La puissance sixième de 2. Elle commence par 6.

64 = 2x2x2x2x2x2 = 26 = 43 = 82.  Une puissance de 2 est toujours égale à a somme des puissances de 2 inférieures plus un: 64 = 1 + (20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25) = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 1.

65 – Constante des carrés magiques 5 x 5.

Les nombres de 1 à 25 sont disposés dans une grille 5x5. Leur somme vaut: 1 + 2 + 3 + … + 25 = ½ 25 x 26 = 13 x 25. La somme sur chacune des cinq lignes du carré magiques (ou colonnes) est égale à k qui vaut 1/5 du total: k = 1/5 (13 x 25) = 13 x 5 = 65.

66 – La somme de ses diviseurs est un carré.

Diviseurs de 66: [1, 2, 3, 6, 11, 22, 33, 66]; la somme: 144 = 12².

67– Multiplication amusante avec les six chiffres consécutifs.

2345 = 67 k  avec k = 35

68 – Symbole de la révolution étudiante de 1968 qui s'est étendue au monde du travail.

69 – Nombre strobogrammatique.

Nombre qui se lit aussi en étant d'un côté ou de l'autre de la table. Identique par rotation d'un demi-tour.

70 – Son carré est égal à la somme de carrés consécutifs. Unique.

70² = 4900 = 1² + 2² + 3² + … + 24²

71 – Son carré s'exprime avec ses propres chiffres.

71² = 7! + 1 = 5 040 + 1 = 5 041

72 – Dans le pentagone régulier, angle au centre  interceptant un côté.

Le pentagone est un polygone à cinq côtés. Les segments joignant le centre aux cinq sommets partagent le pentagone en cinq triangles isocèles dont les angles valent (72°, 54°, 54°), total 180° comme pour tout triangle.

73 – Nombre qui adore le binaire, les nombres en 0 et 1.

73 (= 64 + 8 + 1) est un palindrome en binaire: 1001001.
73 (= 64 + 8 + 1) est un repunit en base 8: 111.
73 est un diviseur de 1001. En effet 73 x 137 = 1001. Propriété propice à la confection de tours de magie en cachant le nombre 1001  par ce produit.

74 – Coefficient de remplissage d'un volume avec des billes empilées.

En 1611, Johannes Kepler conjecture cette valeur (74,048…%). La preuve formelle fut apportée part Tomas hales et son équipe en 2014.

75 – Nombre de Keith: à partir des chiffres, le nombre est reconstitué.

 7+5 = 12 / 5 + 12 = 17 / 12+17 = 29 / 17+29 = 46 / 29+46 = 75.

76 – Toutes les puissances des nombres se terminant par 76 se terminent par 76.

762 = 5 776 / 763 = 438 976 / 1764 = 959 512 576 / …

77 – Motif amusant avec 4, 5, 6 et 7:

4x4 + 5x5+ 6x6 = 77

78 – Nombre triangulaire: somme des nombres entiers de 1 à 12. La méthode de calcul est très simple:

  S = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12
  S =12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1
2S = 13+13+13+13+13+13+13+13+13+13+13+13 = 12x13
   S = ½ 12 x 13 = 6 x 13 = 78

79 – Plus petit nombre nécessitant 19 puissances quatrièmes: 79 = 4 x 24 + 15 x 14.

Théorème de Waring: tout entier est décomposable en somme d'au plus 19 puissance quatrième. Le nombre 79 exige les 19 termes.

80 – Somme des nombres impairs de 3 à 17.

  S = 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17
  S = 1 + 15 + 13 + 11 + 9 + 7 + 5 + 3
2S =  20+20+20+20+20+20+20+20 = 8 x 20
  S = ½ 8 x20 = 4 x 20 = 80

81 – Somme des nombres impairs de 1 à 17.

D'après le calcul pour 80: 81 = 1 + 3 + 5 + … + 17
Or, 81 = 9². Notez cette forme amusante: 81  = (8 + 1)².
On montre que la somme des nombres impairs à partir de 1 est toujours un carré. Par exemple, le suivant: 81 + 19 = 100 = 10²

82 – Somme trois fois de cubes.

82 = 13 + 13 + 23 + 23 + 43   =   13 + 33 + 33 + 33   =   14 + 34

83 – Nombre pour lequel la série harmonique dépasse 5.

1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … + 1/83 = 5, 002 …

84 – Nombre somme de puissances particulières.

84 = 2 + 4² + 8² = 41 + 42 + 43 = 3² + 3 x 5²

85 – Nombre  de Smith (comme 22 et 58).

La somme des chiffres est égale à la somme des chiffres de ses facteurs:
8 + 5 = 13 et 85 = 5 x 17 => 5 + 1 + 7 = 13

86 – Nombre somme de quatre carrés de nombres successifs.

86 =   3² + 4² + 5² + 6²

87 – Nombre somme de quatre carrés comme son voisin 86, mais ici, ce sont les nombres impairs.

87 = 2² + 3² + 5² + 7²

88 – Quantité de nombres narcissiques: nombres de k chiffres égaux la somme de leurs chiffres à la puissance k.

Comme 153 = 13 + 53 + 33 ou 1 634 = 14 + 64 + 34 + 44

89 – Nombre en somme de puissances notables, dont puissances successives.

89 = 81 + 92 = 23 + 92 = 43 + 52

90 – Nombre bien connu de tous qui caractérise un angle droit ou un quart de tour.

Angle droit  = 90° = 360 ° / 4 = 100 grades

91 – Nombre somme des carrés des nombres de 1 à 6. Aussi somme de deux cubes consécutifs.

91 = 1² + 2² + 3² + 4² + 5² + 6² =  33 + 43

92 – Quantité de solutions au problème des huit reines.

Il s'agit de disposer huit reines sur l'échiquier de manière à contrôler toutes les cases. Les 92 solutions se réduisent à 12 en éliminant les solutions identiques par symétrie.

93 – Nombre repdigit en base 5. Un repdigit, ou nombre uniforme U5, est formé par la répétition du même chiffre.

9310 = 3 x 25 + 3 x 5 + 3 = 3335

94 – Nombre dont la somme des diviseurs est un carré.

Diviseurs de 94 : 1, 2, 47, 94. Leur somme: 144 = 12². La somme sans le nombre est égale à 50, nombre inférieur à 94. Alors, 94 est un nombre déficient.

95 – Nombre dont les chiffres se retrouvent dans ses facteurs.

95 = 19 x 5. Le plus petit nombre reproduisant exactement les chiffres de ses facteurs est 1255 = 5 x 251.

96 – Nombre égal à la différence de deux factorielles voisines.

96 = 5! – 4! = 120 – 24 = 5x4! – 4! = 4! (5 – 1) = 4! x 4 = 24 x 4

Expression générale: (n + 1)! – n! = n! (n + 1) – n! = n! (n + 1 – 1) = n . n!

97 – Nombre premier permutable: les nombres avec ses chiffres permutés reste un nombre premier.

97 et 79 sont premiers. Un cas typique: 113, 131 et 311 sont tous trois premiers.

98 – Nombre somme des trois plus petites puissances quatrièmes.

98 = 14 + 24 +34 = 1 + 16 + 81 et aussi 98 = 2 x 72.

99 – Le développement décimal des fractions avec 99 sont amusantes.

1/99 = 0,01010101…  2/ 99 = 0,02020202… Etc.

1/99² = 0,0001020304050607080910111213141516 … tous les nombres de 1 à 99, sauf 98.

 

 

Nombres de 100 à 149

haut

100 – Un nombre carré qui a un rapport particulier avec les quatre premiers nombres.

100 = 102 = (1 + 2 + 3 + 4)2 = 13 + 23 + 33 + 43

101 – Un nombre premier suivi de deux autres premiers (103 et 107) qui s'obtiennent en ajoutant la somme de leurs chiffres.

101;  1+0+1 = 2 => 101 + 2 = 103; 1+0+3 = 4 => 103 + 4 = 107.

102 – Nombre qui comme son successeur est à l'origine d'un motif réversible.

102² = 10 404 et 40 401 = 201²

103² = 10 609 et 90 601 = 301²

103 – Nombre somme de nombres premiers avec huit chiffres différents. Sans doute le seul dans ce cas.

103 = 2 + 5 + 7 + 89

104 – Nombre somme de huit nombres pairs consécutifs.

104 = 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20

105 – Nombre égal à la moitié de primorielle 7. Une primorielle est le produit des nombres premiers successifs.

105 = 7# / 2 = (2 x 3 x 5 x 7) / 2 = 3 x 5 x 7

106 – Nombre pentagonal centré: quantité de points répartis sur six pentagones concentriques, y compris le point central.

106 = 1 + 1x5 + 2x5 + 3x5 + 4x5 + 5x5 + 6x5
       = 1 + 5 + 10 + 15 + 20 + 25 + 30

107 – Nombre dont le carré est simple à calculer, comme tous ceux à trois chiffres avec un zéro central.

107² = 1 14 49 => 1 suivi de 2x7 puis de 7x7

(100 + a)² = 100 00 + 100x2a + a². Les nombres 2a et a² se glissent dans l'addition à la place des 0.

108 – Valeur en degrés de l'angle formé par deux côtés adjacents du pentagone régulier.

108° x 5 = 540° = 3 x 180°, somme des angles du pentagone.

109 – Nombre original par les chiffres de son carré.

109² = (118 – 8 – 1)²  = 11 881

110 – Nombre différence de ses dizaines en puissances.

110 = 1112 – 111

111 – Nombre divisible par la somme comme le produit de ses chiffres (Harshad).

111 = (1 + 1 + 1) x 37 = (1 x 1 x 1) x 111

112 – Le produit de ses diviseurs propres est égal à sa puissance quatrième.

1124 = 2 x 4 x 7 x 8 x 14 x 16 x 28 x 56 = 157 351 936

113 – Ce nombre est premier, de même que toutes ses permutations.

13, 131 et 311 sont premiers

114 – Aire d'un triangle héronien: côtés et aire sont des nombres entiers.

1142 = 38(38 – 19)(38 – 20)(38 – 37) = 12 996

115 – Somme des diviseurs propres de dix nombres, il est hautement touchable.

Somme diviseurs propres (ou stricts) des nombres {545, 749, 1133, 1313, 1649, 2573, 2993, 3053, 3149, 3233} = 115. Par exemple: diviseurs de 545 = [1, 5, 109, 545] et la somme des diviseurs propres (sans le nombre lui-même) = 1 + 5 + 109 = 115.

116 – Histoire: durée effective de la guerre de Cent Ans.

Royaume de France contre royaume d'Angleterre de 1337 lorsque le roi d'Angleterre réclama la couronne de France jusqu'à 1453 avec la victoire française.

117 – Un des trois dimensions de la plus petite brique de Pythagore.

Taille de la brique: x = 44, y = 117, z = 240.
Alors les diagonales deviennent: x² + y² = 125², y² + z² = 267² et z² + x² = 244².

118 – Quatre fois somme de trois nombres dont les produits sont identiques.

118 = 14 + 50 + 54 = 15 + 40 + 63 = 18 + 30 + 70 = 21 + 25 + 72
      &  14 x 50 x 54 = 15 x 40 x 63 = 18 x 30 x 70 = 21 x 25 x 72 = 37 800

119 – Divisé par les nombres successifs, les restes sont également successifs.

119 = 59 x 2 + 1 = 39 x 3 + 2 = 29 x 4 + 3 = 23 x 5 + 4 = 19 x 6 + 5

120 – Ce nombre possède une grande quantité de diviseurs.

Diviseurs de 120 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120}.
Ils sont 16 = 42 = 24, un carré et un bicarré.

121 – Le nombre 121 est le carré de 11. Il peut s'exprimer avec des 2 uniquement.

11 x 11 = 121                  121 = 222 / 22

122 – Nombre à motifs retournés.

122 x 213 = 25 986
221 x 312 = 68 952

123 – Nombre et ses permutations circulaires.

123 + 231 + 312 = 666, le nombre de la Bête dans l'Apocalypse de Saint-Jean.

124 – Nombre dont les chiffres sont des puissances de 2.

 1 = 20, 2 = 21  et  4 = 22  et 124 = 22 x 31

125 – Nombre qui s'exprime avec ses chiffres (une fois ou deux fois).

 125 = 5 1+2 = (1x1 + 2 + 2) x 5 x 5

126 – Quantité de combinaisons de 9 objets pris 4 par 4 ou 5 par 5 (triangle de Pascal).

 126 = C94 = C95 = 9x8x7x6 / 4x3x2x1

127 – Nombre est un nombre de Friedman: égal à une opération avec ses chiffres.

 127 = 27 – 1 = 128 – 1

128 – Une puissance de 2 (expression en binaire puis en hexadécimal).

 128 = 27 = 1000 00002 = 8016

129 – Le plus petit nombre quatre fois somme de trois carrés.

 129 = 1² + 8² + 8² = 2² + 2² + 11² = 2² + 5² + 10² = 4² + 7² + 8²

130 – Le nombre 130 fixe la vitesse maximale du citoyen sur les routes.

 130 km/h  = 36,11 m/s Limitation de vitesse sur les autoroutes.

131 – Nombre premier de Sophie-Germain.

 131 et  131 x 2 + 1 sont tous deux premiers.
Vers 1825, Sophie Germain prouva que le théorème de Fermat-Wiles est vérifié pour de tels nombres premiers.

132 – Curiosité avec ses facteurs et ceux de son retourné.

 132 = 22 ∙ 3 ∙ 11 et   312 = 23 ∙ 3 ∙ 13

133 – Jusqu'à 133, il y a exactement 100 nombres composés; 32 nombres premiers et le nombre 1 qui n'est ni premier, ni composé.

 4, 6, 8, 9, 10, 12 … 132, 133 avec 133 = 7 x 19

134 – Avec douze cercles qui s'entrecoupent, on peut former 134 régions.

 134 = 12 x 11 + 2  ou plus généralement pour n cercles: n (n – 1) + 2 régions.

135 – Relation particulière avec les puissances successives de ses chiffres.

 135 = 11 + 32 + 53 = 1 + 9 + 125.  Notez: 153 = 13 + 33 + 53 = 1 + 27 + 125

136 – Nombre triangle: somme des entiers de 1 à 16.

 136 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16
        = (16 x 17) / 2

137 – Un des facteurs avec 73 de 10 001. Propice à des tours de magie.

Tout les nombres en abcdabcd sont divisibles par 137
Exemple: 12341234 = 137 x 90 082

138 – Nombre sphénique: facteurs distincts sans puissance.

 138 = 2 x 3 x 23  Avec beauté en 2 et 3.

139 – Nombre qui élevé à la puissance 8 reproduit ses chiffres.

 1398 = 139 353667211683681

140 – Relation avec des factorielles.

 140 = 7! / 3!² = 7x6x5x4x3x2x1 / (3x2x1)² = 5 040 / 36

141 – Nombre de Cullen. Ils ne sont que seize connus.

 141 x 2141 + 1 est premier

142 – La somme de ses diviseurs est un cube.

 1 + 2 + 71 + 242 = 216 = 63

143 – Ce nombre divise tous les nombre en abcabc, car il divise 1001.

 1001 = 143 x 7  et, par exemple: 456 456 = 143 x 3 192

144 – Ce nombre est égal à une grosse: douze douzaines.

 144 = 12 x 12 = 12² = 24 x 2

145 – Cas rare de somme de factorielles des chiffres.

 145 = 1! + 4! + 5! = 1 + 24 + 120
Seul autre cas connu: 40 585.

 146 – Ce nombre converti en base 8 (octal) est u repdigit (répétition de chiffres).

 146 = 2228 De tels nombre sont aussi appelés: nombres uniformes.

147 – Ce nombre est inscrit sur la colonne gauche du clavier numérique.

 147 = 3 x 49 = 3 x 72 Il est égal à trois fois un carré.

148 – Nombre à la fois heptagonal et heptagonal centré (plus petit cas).

 148 = 296 / 2 = 7 x 21 + 1

149 – Nombre premier de même que les deux sommes glissantes de deux chiffres.

 149 premier; 1 + 4 = 5 premier et 4 + 9 = 13 premier.

 

 

Nombres de 150 à 199

haut

150 – Un anniversaire de 150 ans se dit un sesquicentenaire.

 150° est l'angle au sommet du dodécagone (12 côtés)

151 – Nombre premier ondulant, le suivant est très grand.

 151515151515151 est le plus petit premier ondulant en 1 et 5 après 151.

152 – Nombre divisible par la somme de ses chiffres (Nombre de Harshad).

 152 = 19 x (1 + 5 + 2)

153 – Nombre somme de cube et somme de factorielles de nombres consécutifs.

 153 = 13 + 53 + 33 = 1! + 2! + 3 ! + 4! + 5!

154 – Nombre créant u nombre factoriel premier.

 154! + 1 = 3,089… 10271 est un nombre premier.

155 – Somme des puissances successives de 5.

 155 = 51 + 52 + 53

156 – Aire de triangles ayant des côtés en nombres entiers.

 156 aire des triangles (15, 26, 37) ou (13, 40, 51)
Si s = (15+26+37) / 2 = 39 (demi-périmètre)
Alors A² = 39x(39-15)(39-26)(39-37) = 24 336 et A = 156.

157 – Nombre équilibré: même écart avec ses deux voisins premiers.

 151 + 6 = 157 = 163 – 6 ; 151, 157 et 163 sont premiers.

158 – Son carré est la somme des carrés de vingt-quatre nombres consécutifs.

 158² = 20² + 21² + 22² + … + 43² = 24 964

 159 – La somme de ses diviseurs est un cube.

 159 = 3 x 53; somme des diviseurs: 1 + 3 + 53 + 159 = 216 = 63

160 – Ce nombre est un invariant cubique d'ordre trois (trois cycle de calcul).

 160; 13 + 63 + 03 = 217; 23 + 13 + 73 = 352; 33 + 53 + 23 = 160

161 – Après 161, tout nombre est la somme de nombres premiers distincts en 6n–1 .

Exemple:  166 = 59 + 107  et  59 = 6x10 – 1; 107 = 6x18 – 1.

162 – Nombre qui se prête à deux produits avec chiffres renversés d'un facteur.

 162 = 2 x 81 = 18 x 9

163 – Avec Pi et sa racine mis en exponentielle, on crée un presque-entier.

 exp(Pi x Racine(163)) = 262 537 412 640 768 743, 999 999 999 999 25…

164 – Si Phi(n) est la quantité de nombre premiers avec n et inférieurs à n.

 Phi(164) = Phi(165). Liste de telles occurrences: 1, 3, 15, 104, 164, 194 …

165 – Nombre présent dans le triangle de Pascal.

 165 = C113  = C118 Combinaisons d'objets pris 3 par 3 ou 8 par 8 parmi 11. objets.

166 – Nombre de Smith: somme de ses chiffres = somme des chiffres des facteurs.

 166 = 2 x 83 et 1 + 6 + 6 = 13 = 2 + 8 + 3

167 – Lui et son retourné sont premiers.

 167 et 761 sont premiers

168 – La puissance septième d'un nombre impair moins lui-même est divisible par 168.

 n7 – n = 168 k    Ex: 117 – 11 = 19 487 160 = 168 x 115 995

169 – Motifs remarquables avec les carrés de nombres.

169 = 13²   /  196 = 14²   / 961  = 31²

169 = 13² = 12² + 5² = 1² + 5² + 3²

170 – Somme de produits de nombres consécutifs.

 170 =  1.2² + 2.3² + 3.4² + 4.5²

171 – Fraction en puissances de 2.

 171 =  (2 + 210) / (2 + 22) = 1026 / 6

172 – Somme de cinq cubes.

 172 = 4 x 33 + 43 = 4 x 27 + 64 = 108 + 64

173 – Carré rigolo

 1732  = 29 9 29

174 – Somme de carrés de nombres consécutifs.

 174 = 5² + 6² + 7² + 8² = 25 + 36 + 49 + 64

175 – Motif avec les chiffres: ABC =  5 (A.B.C)

 175 =  5 x (1 x 7 x 5)

176 – Le produit de ses diviseurs est une puissance quatrième.

 1764  =  2 x 4 x 8 x 11 x 16 x 22 x 44 x 88 

177 – Nombre de Leyland: motif en puissance symétrique.

 177  = 27 + 72  = 128 + 49

178 – Carré et cubes d'un couple de nombres présentant les mêmes chiffres.

 178² = 31 684 et 38 416 = 196² / 1783 = 5 639 752 et 7 529 536 = 1963  

179 – Nombre premier de Sophie Germain.

 179 et 179 x 2 + 1 sont tous deux premiers.

180 – La somme des angles intérieurs de tout triangle.

 180° =

181 – Nombre premier ondulant.

 181, 18181, 181…81avec 77 chiffres sont des nombres premiers

182 – Motifs avec des puissances.

 182 = 142 – 141 = 33 + 33 + 43 + 43

183 – Son cube est formé de chiffres dont la somme est un cube.

 1833 = 33 489 et 3 + 3 + 4 + 8 + 9 = 27 = 33

184 – Nombre diédral parfait.

 Somme diviseurs + Quantité de diviseurs = 360 + 8 = 2 x 184

185 – Nombre de Brahmagupta: produit avec des carrés.

185 = (1² + 2²) (1² + 6²) = (4² + 13²) = (8² + 11²) = 12² + 6² + 2² + 1²

186 – Somme de deux premiers consécutifs.

186 = 89 + 97

187 – La somme de ses diviseurs est un cube.

div(187) = 1, 11, 17, 187; somme: 216 = 63

188 – Il faut sommer au moins six carrés distincts pour atteindre ce nombre 

188 = 1² + 2² + 3² + 5² + 7² + 10²

189 – Somme de carrés en multiples de 3 .

189 = 6² + 6² + 6² + 9² = 3 x 6² + 9² = 33 (3 + 4) = 34 + 22 x 33

190 – Palindrome en chiffres Romains.

190 = CXC = 100 + ( – 10) + 100

191 – Quadruplets de nombres premiers dont la somme des chiffres forme le premier quadruplet de premiers.

 191, 193, 197, 199  => 11, 13, 17, 19

192 – Jeux de mots en lisant le nombre.

192 poules => un œuf de poule

193 – Plus petite puissance cinquième contenant tous les chiffres de 1 à 9

1935 = 267 785 184 193

194 – Somme de carrés consécutifs et aussi de nombres impairs consécutifs.

194 = 7² + 8² + 9²

       = 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 + 19 + 23 + 29 + 31 + 37

196 – L'algorithme 196 produit des palindromes sauf pour 196 et d'autres nombres plus grands

195 + 591 => 786 + 687 => 1473 + 3741 => 5214 + 4125 => 9339

196 + 691 =887; 887 + 788 = 1675; … sans fin

197 – Différence de carrées, début d'une série sans fin.

197 = 99² – 98²; 1997 = 999² – 998²; 19997 = 9999² – 9998², …

198 – Festival de 3 et ses multiples.

198 = 99 + 99 = 33 + 66 + 99 = 36 + 69 + 93 = 39 + 63 + 96

199 – Le nombre et son retourné sont premiers et autres avec ses chiffres.

199 , 991, 19, 61, 1999, 6661 sont premiers

 

 

Nombres de 200 à 249

haut

200 – Expression avec des carrés – identité de Lagrange 

200 = 10² + 10² = (1² + 2²) (2² + 6²)

200 = 2² + 14² = (2² + 2²) (3² + 4²)

201 – Nombre qui se retourne quand on lui retranche 99

201 – 99 = 102

202 – Nombre de Smith: somme des chiffres du nombre = celle des chiffres des facteurs.

202 = 2 x 101 & 2 + 0 + 2 = 2 + 1 + 0 + 1 = 4

203 – Nombre  de Bell: il indique la quantité de partitions d'un ensemble de 6 éléments.

Quantité de partitions: 1, 2, 5, 15, 52, 203, ….

204 – Plus grand carré qui est somme de trois cubes.

2042  = 233 + 243 + 253

205 – Nombre de Brahmagupta.

205 = 10² + 8² + 5² + 4² = (5² + 4²) (2² + 1²) 

206 – Somme de cubes.

206  = 33 + 33 + 33 + 53 = 13 + 23 + 23 + 43 + 53

207 – Somme de chiffres e son carré est égal à un cube et c'est 27 (à comparer à 207).

207² = 42 849   et   4 + 2 + 8 + 4 + 9 = 27 = 33

208 – Somme de carrés consécutifs à compare à la somme des nombres.

208  = 2² + 3² + 5² + 7² + 11²   et  28 = 2 + 3 + 5 + 7 + 11

209 – Un bon jeu de mot.

Une transfusion de sang neuf (209).

210 – Nombre présent quatre fois dans le triangle de Pascal.

Combinaisons de 10 objets pris 4 par 4 ou 6 par 6;
ou de 21objets pris 2 par 2 ou 19 par 19. 

211 – Primorielle première (en fait primorielle plus un).

211 = 2 x 3 x 5 x 7 + 1 est un nombre premier. 

212 –  Nombre palindrome à deux chiffres dont le carré est palindrome à deux chiffres.

212² =  44944

213 – Somme de cubes.

212 =  23 + 23 + 23 + 43 + 53

214 – La somme de ses diviseurs est un carré.

div(214) = (1, 2, 107, 214) et 1 + 2 + 107 + 214 = 324 = 18²

215 – Jumeaux avec 217 en termes de somme des carrés des diviseurs.

1² + 5² + 43² + 215² = 1² + 7² + 31² + 217² = 48 100

216 – Cubes somme de trois cubes consécutifs; unique.

216 = 33 + 43 + 53 = 63    = 27 + 64 + 125

217 – Plus petit nombre dont la somme des diviseurs est une puissance de 8.

1 + 7 + 31 + 217 = 256 = 28 = 44 (puissance 4 de 4).

220 – Nombre amiable avec 284.

Somme diviseurs (220) = 284 & somme diviseurs (284) = 220

221 – La quantité de chiffres pour écrire les nombres de 1 à 221 est 555.

1, 2, 3, … 220, 221 => 555 chiffres, nombre uniforme en 5.

222 – Nombre autocode: somme des lettres avec A = 1, B = 2, etc.

Deux-cent-vingt-deux => 54 + 42 + 72 + 54 = 222

223 – Fermat a réussit à factoriser un nombre de Mersenne.

223 x 616 318 177 = 237 – 1 = 137 438 953 471

224 – Divisible à la fois par la somme et le produit de ses chiffres.

224 = 8 x 28 = 16 x 14

225 – Carré somme de cubes avec nombres successifs.

225 = 15² = (1 + 2 + 3 + 4 5)² = 13 + 23 + 33 + 43 + 53

226 – Nombre de Brahmagupta.

226 = (8² + 7²) (1² + 1²) = (15² + 1²) = 8² + 8² + 7² + 7²

227 – La série harmonique atteint la valeur 6 avec la somme des 227 premiers inverses des nombres.

1/1 + 1/2 +1/3 + … + 1/227 = 6,004…

228 – Valeur binaire amusante: miroir pour les quatre centraux et miroir inversé pour les quatre aux extrémités.

22810 = 11 10 01 002

229 – Nombre de Luhn: deux nombres premiers dont la différence est le retourné de l'un d'eux.

229 + 922 = 1151 avec 229 et 1151 premiers

230 et 231 – Nombres consécutifs avec trois facteurs. Le plus petit couple.

230 = 2 x 3 x 23 &  231 = 3 x 7 x 11

232 – Somme de carrés doublés.

232 = 4² + 4² + 10² + 10²

233 – Motifs carrés infinis.

233 = 54 2 89 / 2333 = 544 2 889 / 23333 = 5444 2 8889 / etc.

234 – Nombre avec chiffres consécutifs et facteurs utilisant ces seuls chiffres.

234 = 22 x 34

235 – Somme de trois premiers successifs.

235 = 73 + 79 + 83

236 et 238 – Somme de douze et treize premiers successifs.

236 = 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 + 19 + 23 + 29 + 31 + 37 + 41

238 = 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 + 19 + 23 + 29 + 31 + 37 + 41

237 – Rare nombre premier de cette forme.

2237 – 1 + 237  = 1,1042 … 1071

239 – Un des deux nombres avec 23, somme de neuf cubes. Tous les autres sont somme de moins de neuf cubes.

239² = 43 + 43 + 33 + 33 + 33+ 33 + 13 + 13 + 13

240 – Somme de nombres oblongs successifs, produit de deux facteurs.

240 = 1x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 + 5x6 + 6x7 + 7x8 + 8x9

241 – Fraction avec des puissances de 8 et de 4 et les mêmes nombres.

241 = (28 + 48 + 18) / (24 + 44 + 14)

242 –   Première succession de quatre nombres avec facteurs carrés.

242 = 2 x 112 ; 243 = 35, 244 = 22 x 61; 245 = 5 x 72

243 – Somme de trois fois le carré de 9.

 243 = 9² + 9² + 9² = 3 x 9²

244 – Triplet tel que ses facteurs n'ont aucun chiffre en commun avec les chiffres des facteurs des nombres voisins

 244 = 2² x 61; 243 = 35; 245 = 5 x 7²

245 – Somme de nombres consécutifs au carré.

 245 = 8² + 9² + 10² = 3 x 9² + 2

247 et 248 – Cachent un palindrome en divisant par 9  leur concaténation.

 247248 = 9 x 27472

249 – Son cube se termine par lui-même.

 2493 = 15 438 249

 

 

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