NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Théorie des Nombres

 

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Nombres

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Glossaire

Nombres

 

 

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Sommaire

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Nombres

Partition (1/2)

Partition (2/2)

Partition en couleurs

Terminale

 

Sommaire de cette page

>>> Orientation

>>> Approche

>>> Au début: de 1 à 5

>>> Construction pour 6

Sur page suivante

>>> Application au 7

>>> Table de à 15

>>> Propriétés

 

 

 

 

 

PARTITION des NOMBRES

 

Comportement des nombres face aux opérations.

 

Addition

 PARTITION

 

Exemple: 10 = 1 + 2 + 3 + 4

 

>>>

 

Multiplication

 DÉCOMPOSITION en FACTEURS

 

Exemple: 10 = 1 x 2 x 5

 

>>>

 

 

 

 

Orientation

 

Partition

 

Décomposition d'un nombre en somme de nombres appelés sommants.

 

Analogies

Pesée des nombres.

Voir Pesées de Leibniz et de Bachet

 

 

Combien?

Combien de manières existe-t-il de décomposer un nombre en somme de nombres ?

Quelle est la quantité de partitions d'un nombre?

 

Calcul

Le dénombrement des partitions d'un nombre n'est pas évident. Il n'y a pas de formule simple. Vous trouverez sur cette page la manière de les compter.

 

 

Je souhaite connaître:

 

 

Anglais: Partition of  the integers

The number p(n) of partitions of an integer n into summands

 

 

Approche

– Comment peser 10 kg avec des poids de valeur 2 et 1 kg

 

 

*    Nous comptons six possibilités, appelées PARTITIONS dont 5 avec au moins un poids de 2 kg et 1 avec des poids de 1 kg seulement. Nous noterons:

*    P102 = 5

*    P101 = 1

*    Bien sûr, nous aurions pu utiliser des poids de 3, 4 … kg. Patience!

 

 

 

 

Au début: de 1 à 5

 

Partition des premiers nombres

 

 

N = 1

2

3

4

5

p = 1

1

1 + 1

1 + 1 + 1

1 + 1 + 1 + 1

1 + 1 + 1 + 1 + 1

2

 

2

2 + 1

2 + 1 + 1

2 + 2

2 + 1 + 1 + 1

2 + 2 + 1

3

 

 

3

3 + 1

3 + 1 + 1

3 + 2

4

 

 

 

4

4 + 1

5

 

 

 

 

5

 

*    Chaque colonne indique les partitions possibles du nombre N indiqué en tête de colonne

*    Chaque ligne représente toutes les "pesées" comprenant au moins une fois le "poids" p indiqué" en tête de ligne

 

Notons la quantité de partitions

 

 

1

2

3

4

5

p = 1

1

1

1

1

1

2

 

1

1

2

2

3

 

 

1

1

2

4

 

 

 

1

1

5

 

 

 

 

1

Quantité de partitions

1

2

3

5

7

 

Lecture: Le nombre 5 peut être décomposé en 7 sommes ou partitions ou 6 partitions propres, en retirant la partition de 5 par lui-même.

 

 

 

 

CONSTRUCTION pour 6

 

Partition du 6 avec que des 1

 

 

6

Commentaires

Quantité

p = 1

1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1

Une seule possibilité.

Comme pour son voisin le 5.

 

1

 

Notons ce résultat de la façon suivante, en profitant du tableau que nous avons élaboré pour 1 à 5.

 

1

2

3

4

5

6

1

1

1

1

1

1

1

2

 

1

1

2

2

 

3

 

 

1

1

2

 

4

 

 

 

1

1

 

5

 

 

 

 

1

 

 

Voyons la partition de niveau 2

 

 

6

Commentaires

Quantité

2

2 + quatre

À ce niveau de "pesée" nous devons mettre au moins un 2

Il nous reste 6 – 2 = 4 à peser avec des 2 ou des 1

Or "4" pesé avec des 2 donne 2 possibilités

Et "4" pesé avec des 1 n'en donne qu'une

 

2

+1

= 3

 

Notons ce résultat de la façon suivante:

 

1

2

3

4

5

6

1

1

1

1

1

1

1

2

 

1

1

2

2

3

3

 

 

1

1

2

 

4

 

 

 

1

1

 

5

 

 

 

 

1

 

Lecture: en ligne du 2, je pose 3 en colonne du 6, car j'ai 1 + 2 = 3 en colonne du 4.

 

Partition de niveau 3

 

6

Commentaires

Quantité

3

3 + trois

À ce niveau de "pesée" nous devons mettre au moins un 3

Il nous reste 6 – 3 = 3 à peser avec des 3, des 2 ou des 1

Or "3" pesé avec des 3 donne 1 possibilité

     "3" pesé avec des 2 donne 1 possibilité

Et "3" pesé avec des 1 n'en donne qu'une

 

1

+1

+1

= 3

 

Notons ce résultat de la façon suivante:

 

1

2

3

4

5

6

1

1

1

1

1

1

1

2

 

1

1

2

2

3

3

 

 

1

1

2

3

4

 

 

 

1

1

 

5

 

 

 

 

1

 

 

Partition de niveau 4

 

6

Commentaires

Quantité

4

4 + deux

À ce niveau de "pesée" nous devons mettre au moins un 4

Il nous reste 6 – 4 = 2 à peser avec des 4, des 3, des 2 ou des 1

Or "2" pesé avec des 4 donne 0 possibilité

     "2" pesé avec des 3 donne 0 possibilité

     "2" pesé avec des 2 donne 1 possibilité

Et  "2" pesé avec des 1 donne 1 possibilité

 

 

0

+0

+1

+1

= 2

 

Notons ce résultat de la façon suivante:

 

1

2

3

4

5

6

1

1

1

1

1

1

1

2

 

1

1

2

2

3

3

 

 

1

1

2

3

4

 

 

 

1

1

2

5

 

 

 

 

1

 

 

Partition de niveau 5

 

6

Commentaires

Quantité

5

5 + un

À ce niveau de "pesée" nous devons mettre au moins un 5

Il nous reste 6 – 5 = 1

Une seule possibilité

 

 

= 1

 

Notons ce résultat de la façon suivante

 

1

2

3

4

5

6

1

1

1

1

1

1

1

2

 

1

1

2

2

3

3

 

 

1

1

2

3

4

 

 

 

1

1

2

5

 

 

 

 

1

1

 

Partition de niveau 6

 

6

Commentaires

Quantité

2

6 + 0

Une seule possibilité

= 1

 

Notons ce résultat de la façon suivante:

 

1

2

3

4

5

6

1

1

1

1

1

1

1

2

 

1

1

2

2

3

3

 

 

1

1

2

3

4

 

 

 

1

1

2

5

 

 

 

 

1

1

6

 

 

 

 

 

1

 

Quantité de partitions

 

1

2

3

4

5

6

1

1

1

1

1

1

1

2

 

1

1

2

2

3

3

 

 

1

1

2

3

4

 

 

 

1

1

2

5

 

 

 

 

1

1

6

 

 

 

 

 

1

Quantité de partitions

1

2

3

3

1

 

 

Somme 10

Somme 10

+1 Pour le 6 par lui-même

 

 

 

Quantité de partitions du nombre 6 : 10 + 1

 

 

 

Conclusions

La somme des nombres dans le triangle coloré est égale à la quantité de partitions propres du 6 (hors le 6 par le 6).

 

Il est possible de calculer les valeurs des partitions du 6 en fonction des valeurs déjà connues pour les partitions des nombres inférieurs.

 

 

 

 

 

 

 

 

Retour

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