NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Mathématicien

 

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Général

Gregory CHAITIN

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

GRANDS ESPRITS

 

 

Sommaire de cette page

>>> GÉNÉRAL

>>> BIOGRAPHIE

>>> COMPLEXITÉ

>>> HASARD

>>> NOMBRE OMEGA DE CHAITIN

>>> CITATIONS

 

 

 

 

CHAITIN

Gregory

en 1947

Américain

Origine argentine

 

Mathématicien

 

Ses travaux sont

semblables et concomitants

à ceux de Kolmogorov

 

*  Théorie de la complexité algorithmique

*  Même ligne de pensée

Gödel    - Incomplétude

Turing   - Incalculabilité

Chaitin  - Complexité

*  Sur la complexité

Kolmogorov

Solomonoff

Chaitin

 

*  Mathématicien au centre de recherche IBM à New York.

*  Il a spécifié les limites conceptuelles des mathématiques.

*  Sa plus grande découverte: la constante oméga de Chaitin  ().

Un nombre réel dont les chiffres sont distribués aléatoirement.

Il donne la probabilité d'arrêt d'un programme aléatoire.

C'est un nombre définissable, mais non calculable.

*   Il a développé une étude épistémologique sur le devenir des mathématiques à l'ère de l'ordinateur.

*  Fasciné par l'univers des nombres: manière de les générer et de les compresser.

*   Il trouve un nouveau théorème semblable à celui du théorème d'incomplétude de Gödel.

*  Ses travaux firent avancer les concepts relatifs au hasard.

 

 

 

 

 

BIOGRAPHIE

 

Biographie et  Bibliographie

 

vers 1965

*  Créé l'algorithmic information theory (AIT)

Il restera le principal architecte de cette théorie

1987

-         Algorithmic Information Theory

1990

-         Information Randomness and Incompleteness

1992

-         Information-Theoretic Incompleteness

1995

*  Docteur en sciences honoris causa de l'Université du Maine

1998

-         The limits of Mathematics

1999

-         The Unknowable

2001

-         Exploring Randomness

2002

-         Conversation with a Mathematician

2002

*  Professeur honoraire de l'Université de Buenos-Aires

2003

-         From Philosophy to Program Size

 

Pour plus de détails, voir Biographie de Gregory Chaitin

 

 

 

 

COMPLEXITÉ

 

Degré de complexité

 d'un objet

ou d'un énoncé mathématique

=

Mesure de la quantité minimale d'information nécessaire

pour générer cet objet

ou cet énoncé

 

*  En découlent deux disciplines

 

calculabilité       – calcul réalisable ?

compressibilité  – réduction de l'information faisable ?

 

*  La théorie algorithmique de l'information est devenue un outil de mesure universel de la complexité

 

 

 

 

HASARD

 

*  Le hasard selon la définition de Chaitin correspond

à un défaut de structure (pattern), et

à une incompressibilité de l'information nécessaire pour le générer

 

Une suite de nombres est dite aatoire
si, pour l'engendrer, il n'existe pas d'autres moyens
que de l'écrire complètement

A contrario, si on peut compacter ce nombre

par une technique quelconque, alors il n'est pas aatoire

 

*  Martin-Löf donne une définition statistique du hasard

 

*  Il a été démontré que les deux définitions sont équivalentes

la définition de Chaitin     – basée sur la complexité

et celle de Martin-Löf        – basée sur les statistiques 

 

 

NOMBRE OMEGA DE CHAITIN ()

 

*    OMEGA = probabilité

qu'un ordinateur s'arrête

lorsqu'on lui fait exécuter un programme

formé d'une suite de nombres binaires aléatoires.

C'est un nombre univers.

 

*    Ce nombre est mathématiquement défini

C'est la somme infinie de tous les cas où le calculateur s'arrête.

Plus précisément: somme des 2 puissances moins longueur des programmes qui s'arrêtent.

 

*    À chaque ordinateur

est ainsi associé un nombre aléatoire parfait,

mais qui échappe à tout jamais à notre pouvoir d'investigation.

  

*    Propriétés

Sa définition ne permet pas de le calculer, à cause de l'indécidabilité de l'arrêt d'un programme.

La suite des chiffres du nombre OMEGA est aléatoire au sens de Martin Löf.

 

Voir Constante Oméga de Lambert

 

 

 

 

CITATIONS

 

 

Les mathématiques ne conduisent pas à une vérité absolue mais sont quasi-empiriques; je considère qu'elles sont plus proches de la physique que ne veulent le croire les mathématiciens en général

 

 

J'utilise les idées issues des sciences physiques: l'idée du hasard a été beaucoup plus étudié par la physique au cours du 20e siècle

Extraits du livre de Réda Benkirane

 

 

 

 

 

 

Voir

*    Contemporains

*    Complexité

Site

*    Site de Gregory Chaitin

*    Biography

Livre

*    La Complexité, vertiges et promesses – 18 histoires de sciences – Réda Benkirane  – Le Pommier  - 2002

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http://villemin.gerard.free.fr/Esprit/Chaitin.htm