NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil / Dictionnaire / Rubriques / Index / Atlas / Références / Nouveautés ORIENTATION GÉNÉRALE  - M'écrire - Édition du: 01/09/2014
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NOMBRES UNIVERS

Nombre qui comprend toute succession de chiffres de longueur finie dans une base donnée.

C'est donc un nombre qui inclut tous les nombres.

Paradoxes?

SUITES-UNIVERS

Bibliothèque en chiffres: Prenons l'exemple des nombres: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 ... Convenons de regrouper les chiffres 2 par 2. Associons une lettre ou un symbole au nombre de deux chiffres obtenu. L'alphabet dispose de 100 caractères pour coder toutes les lettres et symboles de l'imprimerie; ce qui est bien au-delà du nécessaire. Alors, incroyable! Quelque part dans la suite de ces caractères, il y a le Goncourt de l'année, le roman de votre vie... Suite-univers: définition et exemple Toute suite de chiffres qui possède la propriété que toute séquence finie de chiffres y est présente au moins une fois. Les suites-univers contiennent, par définition, tous les livres possibles, tous les films possibles, toute musique possible, toute vie humaine ... tout l'Univers. Dans la suite ci-dessus, on trouve la séquence 5365, au moins, quand on arrive au nombre 5365. On la trouve aussi en passant au niveau des deux nombres consécutifs: 653 654 La suite des puissances de 2 est une suite-univers: 2 4 8 16 32 64 128 ... Théorème Il existe un théorème qui dit: Pour toute séquence de chiffres: C1 C2 ...Cn , Il existe une certaine puissance de 2 dont l'écriture décimale commence par C1 C2 ...Cn .

NOMBRES-UNIVERS

Nombre-univers: nombre dont la suite des décimales est une suite-univers.

Valeur	Propriété	Nombre-univers ?
0,1234567891011...	Suite des nombres	OUI
0,248163264128...	Suite des carrés	OUI
0,1010010000001....	n! fois le 0 entre deux 1	NON, mais transcendant
0,1020030000004...	n! fois le 0 entre les nombres successifs	OUI & transcendant
2/3, 150/235	Périodique	NON
2, e	Irrationnels voir e	On ne sait pas
	Irrationnel voir Pi	On pense que OUI
	Probabilité d'un programme aléatoire s'arrête. >>>	Oui

Nombres incompressibles

Un nombre compressible est un nombre qui peut s'écrire de manière plus concise. Si le nombre A ne comporte pas le 47, par exemple, au lieu de le coder avec 100 symboles, on peut éliminer le symbole 47 et le coder avec 99 symboles seulement. Autre exemple: la suite des nombres pairs 0 2 4 6 8 10 12... ne contient pas de chiffres impairs: on peut faire l'économie de leur notation et comprimer l'écriture en utilisant 5 symboles et non pas 10. Tout nombre incompressible est un nombre-univers. Les nombres incompressibles sont en nombre infini.

Suite en Nombres incompressibles

UNE INFINITÉ NON DÉNOMBRABLE DE NOMBRES-UNIVERS

DÉMONSTRATION EN 2 ÉTAPES: 1) Il y a une infinité de suite associant Pile et Face. On se base sur une version binaire du principe de diagonalisation de Cantor: supposons qu'on puisse associer, sans répétition et sans en oublier, un nombre entier à chaque suite de Pile ou Face, Par exemple: 0 => PPPP... 1 => FPPP... 2 => PFPP... On forme une nouvelle suite en prenant la diagonale du tableau ci-dessus et en inversant P par F et F par P. Cette suite n'est pas dans une des lignes du tableau, car elle diffère de la première par son premier élément, de la deuxième par le deuxième élément, etc. Il est donc impossible de numéroter les suites infinies de P & F par des entiers. L'infini des suites de P & F est donc strictement plus grand que l'infini des entiers. On dit qu'il y a une infinité indénombrable de suite de P & F. 2) On part du nombre-univers 0,12345678910111213... On prend une suite infinie de P & F quelconque. On permute 1 et 2, si le premier élément est P; sinon on laisse. Même chose pour les chiffres suivants. On obtient un nouveau nombre-univers. En prenant une autre suite P &F on obtiendra un autre nombre-univers. Or selon a), il y a une infinité non dénombrable de suites P& F. Il y a donc une infinité non dénombrable de nombres-univers.

PROPRIÉTÉS DES NOMBRES-UNIVERS

Chaque séquence de chiffres est présente une infinité de fois dans un nombre-univers. Exemple: s0 (une séquence suivie de 0) se retrouve avec s10 (séquence suivie de 1 puis de 0) et avec s110, puis s1110, etc. Toutes ces nouvelles séquences sont donc présentes une infinité de fois et la séquence de départ (s) est présente une infinité de fois aussi. La somme de 2 nombres-univers n'est pas forcément un nombre-univers. Soit c un nombre-univers et c' le nombre formé par le complément à 9 de chaque chiffre de c. Ce nouveau nombre est un nombre-univers. La somme c + c' = 0, 99999... n'est visiblement pas un nombre-univers. En modifiant un nombre fini de chiffres d'un nombre-univers, il le reste. Exemples 0,1 01 001 0000001 ... = n! fois 0 entre deux 1 Pas nombre – univers Transcendant. 0,1 02 003 0000004 ... = n! fois 0 entre deux nombres successifs Nombre - univers Transcendant. 0, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14... = suite des nombres naturels Nombre - Univers Transcendant (Mahler 1961) Normal (chaque chiffre apparaît avec une fréquence égale) Nombre dit de Champernowne Note: 0123456789 apparaît à la 17 387 594 880^è décimale de pi (Kanada et Takabashi - 1998).

SUITE DE THUE MORSE

Définition: Suite binaire dans laquelle on ne trouve jamais trois fois de suite la même séquence. Pas trois 0, pas trois 01, pas trois 0011, etc. Exemple de construction: On commence par 01; on remplace chaque 0 par 01 et chaque 1 par 10. Ce qui donne: 01 01 10 01 10 10 01 01 10 10 01 10 01 01 10 etc. Cette suite Elle a été construite dans le cadre de la recherche de suites totalement désordonnées. Celle-ci l'est dans sa forme, pas dans sa construction. La construction étant d'ailleurs merveilleusement simple! Autre tentative Chercher un nombre transcendant – il est aussi irrationnel – pas de séquence répétitive comme 2 = 1.4142135... non solution d'une équation polynomiale à coefficients entiers. 2 est solution de X² - 2 = 0 et, n'est pas transcendant. Les deux transcendants les plus connus sont Pi et e. Là aussi, échec, car il y a un contre-exemple de nombres transcendants dont la règle de construction est simple. Donc, la suite n'est pas désordonnée. Construction: Placer un 0 entre deux 1, puis deux 0 entre deux 1, puis quatre, etc. 010100100001000000001 Liouville montra que ce nombre est transcendant en 1844, bien avant que soit démontrée la transcendance dePi ou e.

Voir Suite de Champernowne: 0123

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