NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

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ORIENTATION GÉNÉRALE    -   M'écrire   -   Édition du: 06/04/2014

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TYPES  NOMBRES / TYPES

Glossaire

Nombres

 

NOMBRES UNIVERS

 

 

Sommaire de cette page

>>> SUITES-UNIVERS

>>> NOMBRES-UNIVERS

>>> UNE INFINITÉ NON DÉNOMBRABLE DE NOMBRES-UNIVERS

>>> PROPRIÉTÉS DES NOMBRES-UNIVERS

>>> EXEMPLES

>>> THUE – MORSE

 

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NOMBRES UNIVERS

 

*      Nombre qui inclut tous les nombres

*      Paradoxes?

 

 

 

  

SUITES-UNIVERS

 

Bibliothèque en chiffres:

 

*    Prenons l'exemple des nombres:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 ...

 

*    Convenons de regrouper les chiffres 2 par 2. Associons une lettre ou un symbole au nombre de deux chiffres obtenu. L'alphabet dispose de 100 caractères pour coder toutes les lettres et symboles de l'imprimerie; ce qui est bien au-delà du nécessaire.

 

*    Alors, incroyable! Quelque part dans la suite de ces caractères, il y a le Goncourt de l'année, le roman de votre vie...

 

 

Suite-univers: définition et exemple

 

*    Toute suite de chiffres qui possède la propriété que toute séquence finie de chiffres y est présente au moins une fois.

 

*    Les suites-univers contiennent, par définition, tous les livres possibles, tous les films possibles, toute musique possible, toute vie humaine ... tout l'Univers.

 

*    Dans la suite ci-dessus, on trouve la séquence 5365, au moins, quand on arrive au nombre 5365.

On la trouve aussi en passant au niveau des deux nombres consécutifs: 653 654

 

*    La suite des puissances de 2 est une suite-univers:

2 4 8 16 32 64 128 ...

 

Théorème

 

*    Il existe un théorème qui dit:

 

Pour toute séquence de chiffres:            C1 C2 ...Cn ,

Il existe une certaine puissance de 2

dont l'écriture décimale commence par  C1 C2 ...Cn .

 

 

 

 

  

 

NOMBRES-UNIVERS

 

*    Nombre-univers: nombre dont la suite des décimales est une suite-univers.

 

Valeur

Propriété

Nombre-univers ?

0,1234567891011...

Suite des nombres

OUI

0,248163264128...

Suite des carrés

OUI

0,1010010000001....

n! fois le 0 entre deux 1

NON, mais transcendant

0,1020030000004...

n! fois le 0 entre les nombres successifs

OUI & transcendant

2/3, 150/235

Périodique

NON

2,  e

Irrationnels voir e

On ne sait pas

Irrationnel voir Pi

On pense que OUI

Probabilité d'un programme aléatoire s'arrête. >>>

Oui

  

 

 

 

 

Nombres incompressibles

 

*    Un nombre compressible est un nombre qui peut s'écrire de manière plus concise.

 

Si le nombre A ne comporte pas le 47, par exemple, au lieu de le coder avec 100 symboles, on peut éliminer le symbole 47 et le coder avec 99 symboles seulement.

 

Autre exemple: la suite des nombres pairs 0 2 4 6 8 10 12... ne contient pas de chiffres impairs: on peut faire l'économie de leur notation et comprimer l'écriture en utilisant 5 symboles et non pas 10.

 

*    Tout nombre incompressible est un nombre-univers.

*    Les nombres incompressibles sont en nombre infini.

 

Suite en Nombres incompressibles

 

 

UNE INFINITÉ NON DÉNOMBRABLE

DE NOMBRES-UNIVERS

 

DÉMONSTRATION EN 2 ÉTAPES:

 

1)        Il y a une infinité de suite associant Pile et Face.

 

*    On se base sur une version binaire du principe de diagonalisation de Cantor: supposons qu'on puisse associer, sans répétition et sans en oublier, un nombre entier à chaque suite de Pile ou Face,

 

*    Par exemple:

 

0 => PPPP...

1 => FPPP...

2 => PFPP...

 

*    On forme une nouvelle suite en prenant la diagonale du tableau ci-dessus et en inversant P par F et F par P.

*    Cette suite n'est pas dans une des lignes du tableau, car elle diffère de la première par son premier élément, de la deuxième par le deuxième élément, etc.

 

*    Il est donc impossible de numéroter les suites infinies de P & F par des entiers. L'infini des suites de P & F est donc strictement plus grand que l'infini des entiers. On dit qu'il y a une infinité indénombrable de suite de P & F.

 

 

2)           On part du nombre-univers 0,12345678910111213...

 

*    On prend une suite infinie de P & F quelconque. On permute 1 et 2, si le premier élément est P; sinon on laisse. Même chose pour les chiffres suivants. On obtient un nouveau nombre-univers.

 

*    En prenant une autre suite P &F on obtiendra un autre nombre-univers. Or selon a), il y a une infinité non dénombrable de suites P& F. Il y a donc une infinité non dénombrable de nombres-univers.

 

 

 

 

PROPRIÉTÉS DES NOMBRES-UNIVERS

 

*    Chaque séquence de chiffres est présente une infinité de fois dans un nombre-univers.

 

*    Exemple: s0 (une séquence suivie de 0) se retrouve avec s10 (séquence suivie de 1 puis de 0) et avec s110, puis s1110, etc.

 

*    Toutes ces nouvelles séquences sont donc présentes une infinité de fois et la séquence de départ (s) est présente une infinité de fois aussi.

 

*    La somme de 2 nombres-univers n'est pas forcément un nombre-univers.

 

*    Soit c un nombre-univers et c' le nombre formé par le complément à 9 de chaque chiffre de c. Ce nouveau nombre est un nombre-univers. La somme c + c' = 0, 99999... n'est visiblement pas un nombre-univers.

 

*    En modifiant un nombre fini de chiffres d'un nombre-univers, il le reste.

 

 Exemples

 

0,1 01 001 0000001 ...  =  n! fois 0 entre deux 1

Pas nombre – univers

Transcendant.

 

0,1 02 003 0000004 ... = n! fois 0 entre deux nombres successifs

Nombre - univers

Transcendant.

 

0, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14... = suite des nombres naturels

Nombre - Univers

Transcendant (Mahler 1961)

Normal (chaque chiffre apparaît avec une fréquence égale)

Nombre dit de Champernowne

 

Note: 0123456789 apparaît à la 17 387 594 880è décimale de pi  (Kanada et Takabashi - 1998).

 

 

   

SUITE DE THUE MORSE

 

Définition:

 

*    Suite binaire dans laquelle on ne trouve jamais trois fois de suite la même séquence. Pas trois 0, pas trois 01, pas trois 0011, etc.

 

Exemple de construction:

 

*    On commence par 01; on remplace chaque 0 par 01 et chaque 1 par 10. Ce qui donne:

01

01 10

01 10 10 01

01 10 10 01 10 01 01 10

etc.

 

Cette suite

 

*    Elle a été construite dans le cadre de la recherche de suites totalement désordonnées. Celle-ci l'est dans sa forme, pas dans sa construction. La construction étant d'ailleurs merveilleusement simple!

 

Autre tentative

 

*    Chercher un nombre transcendant – il est aussi irrationnel – pas de séquence répétitive comme 2 = 1.4142135... non solution d'une équation polynomiale à coefficients entiers.

 

*    2 est solution de X² - 2 = 0 et, n'est pas transcendant.

*    Les deux transcendants les plus connus sont Pi et e.

 

*    Là aussi, échec, car il y a un contre-exemple de nombres transcendants dont la règle de construction est simple. Donc, la suite n'est pas désordonnée.

 

Construction:

 

*    Placer un 0 entre deux 1, puis deux 0 entre deux 1, puis quatre, etc.

010100100001000000001

 

*    Liouville montra que ce nombre est transcendant en 1844, bien avant que soit démontrée la transcendance dePi ou e.

 

Voir Suite de Champernowne: 0123

 

   

 

 

 

 

 

Suite

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