Incomplétude, Gödel, un aperçu

NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

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ORIENTATION GÉNÉRALE - M'écrire - Édition du: 26/05/2006

-Ý- RUBRIQUE: LOGIQUE
§ Dualité	§ Raisonnement	§ Incomplétude
§ Logique de Boole	§ Logique formelle	§ Logique floue
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L’intelligence n’arrive pas

à définir l’intelligence

Dessin de Mix et Remix

INCONSISTANCE & INCOMPLÉTUDE

Tous les scientifiques croyaient pouvoir mettre le monde en théorèmes, en déduction, en raisonnement sans faille...

Comme on pratique en mathématique ordinaire (géométrie, par exemple)

Jusqu'à l'arrivée de Gödel!

En 1931, il démontre que

Il se peut que dans certains cas,

on puisse démontrer une chose

et son contraire

Il existe des vérités mathématiques

qu'il est impossible de démontrer

INCONSISTANCE

INCOMPLÉTUDE

Incomplétude & limites mathématiques et philosophiques

Ce qui gêne principalement l'immense majorité des mathématiciens, c'est qu'il existe un grand nombre de propositions intéressantes et en principe déductibles des axiomes, mais qu'on n'arrive pas à démontrer parce que leur démonstration est trop compliquée.

Et cette limitation-la n'a rien à voir avec Gödel.

Ce qui fait que, lorsqu'un mathématicien aborde un problème concret, il ne craint jamais — ou presque — de ne pouvoir le résoudre à cause théorème de Gödel; mais plutôt parce qu'il n'est pas assez malin.

N'oubliez pas non plus que Gödel montre que certaines propositions «indécidables» sont vraies. Le formalisme ne permet pas de les démontrer, mais nous pouvons néanmoins voir qu'elles sont vraies.

C'est une remarque élémentaire, mais qui est souvent oubliée par les philosophes qui aiment utiliser le théorème de Gödel pour disserter sur les limites de la connaissance.

Vu ainsi, le théorème de Gödel élargit plutôt nos connaissances que le contraire.

Extrait du livre: À l'ombre des lumières - Livre très intéressant, mais "ça vole haut!"

Propos de Jean Bricmont – Professeur de physique à l'Université de Louvain, Président de l'Association française pour l'information scientifique – Coauteur de: Les impostures intellectuelles

En réponse à Régis Debray – Président de l'Institut européen de l'histoire et des sciences des religions

-Ý- INCOMPLÉTUDE

Introduction

En regardant les nombres, il est possible d'établir des affirmations et, à partir de celles-ci, d'en déduire d'autres.
En poursuivant ce processus, on va trouver toutes une gamme de choses vraies et une autre de choses fausses:
des théorèmes donnant les assertions vraies et les assertions fausses.
Ces théorèmes forment les fondements de l'arithmétique.

Illustration

Soit un carré représentant toutes les assertions possibles

dans cette arithmétique

et, selon les couleurs,

le vrai (les assertions prouvées)

et le faux (les assertions rejetées).

Oui, mais

quelques îlots sont non accessibles (rouge)

Gödel, avec son premier théorème d'incomplétude,

dit qu'il existe toujours au moins une assertion qui se ne sera pas dans les " prouvées " ou dans les " rejetées ".

Ces assertions sont indécidables.

Les deux théorèmes d'incomplétude de Gödel

*Premier*		*Second*
Il n'y a aucun moyen de générer toutes les vérités au sujet des nombres		On ne peut pas sortir du dilemme d'une affirmation vraie et fausse à la fois
§ Quelle que soit la méthode, il existera toujours au moins une assertion non prouvée	§	§ Pour s'en sortir, il faut sortir du système lui-même, se mettre en méta - position, en vision externe
§ Quelle que soit la formalisation consistante d'une arithmétique, il existera des vérités non décidables dans cette arithmétique	§	§ Une arithmétique est trop faible pour pouvoir prouver sa propre consistance
§ Même en forgeant une arithmétique qui rend décidables les assertions non-décidables d'une autre arithmétique, on retrouvera d'autres assertions non-décidables	§	§ L'assertion " cette arithmétique est consistante " ne peut pas être prouvée, quelle que soit l'arithmétique choisie

Assertion:

§ Affirmation telle que " la somme de deux nombres impairs est paire ", " le carré de tout nombre est négatif "... Elle peut être juste (démontrable) ou fausse selon les hypothèses prises au départ

Axiome:

§ Assertion non démontrée, prise comme point de départ de construction d'une arithmétique. Il existe de nombreuses arithmétiques selon le choix de ces points de départ.

Théorème:

§ Déduction faite à partir des axiomes de départ et, également, des théorèmes déjà établis. Un théorème indique si une assertion est juste ou fausse.

Décidable:

§ Il existe effectivement un théorème qui vérifie ou rejette l'assertion

Consistante:

§ Une assertion ne peut pas être à la fois vraie et non vraie, comme par exemple: " cette phrase est fausse "

Démonstration

§ Trop compliquée pour être exposée ici!

§ Mais le principe consiste à convertir le problème en équations polynomiales,

§ et l'astuce repose sur la démonstration que ces équations non pas de solutions en nombres entiers.

Pour en savoir plus rendez-vous sur le site de

Éric Andres et Laurent Signac

Gödel et son théorème

-Ý- SOLUTION DES PARADOXES

Paradoxes

§ Le deuxième théorème d'incomplétude met fin aux réflexions sur les paradoxes en affirmant

o qu'il est vain de penser trouver une solution sur le même plan de raisonnement.

§ Il faut passer à:

o un sur - ensemble,

o une métaposition,

o un système plus large.

Exemples

Cette phrase est fausse
Il est interdit d'interdire
Toutes les règles ont des exceptions
Je n'épouserai qu'une femme assez intelligente ...	... pour ne pas m'épouser
Recto: La phrase du verso est vraie	Verso: La phrase du recto est fausse
Épiménide le Crétois disait:	" tous les Crétois sont des menteurs "
Socrate: Ce que dit Platon est faux	Platon: Ce que dit Socrate est vrai
Dites-vous toujours la vérité ?	Non!
Tout dans ce livre est digne de confiance	Sauf la phrase ci-contre, à gauche
Lu sur un badge:	Interdisons les badges
Un graffiti disait:	A bas les graffitis
Cette phrase contient sept mots	Cette phrase ne contient pas sept mots Voir Auto-références
Parmi ces propositions, trois sont fausses: 2 + 2 = 4 3 x 6 = 17 8 / 4 = 2 13 - 6 = 5 5 + 4 = 9	Solution Les trois propositions fausses sont: - deux des équations et... - l'affirmation que 3 propositions sont fausses
Le crocodile: "Vais-je manger ton bébé. Réponds sans mentir et je te rends le bébé intact "	La mère répond: " Tu vas croquer mon bébé ! "
Dans Don Quichotte: À la frontière d'un pays, il faut dire la vérité sinon c'est la pendaison	- Pourquoi venez-vous ? - Pour être pendu !
Constitution US: On peut amender la Constitution si les 2/3 des Parlementaires sont d'accord	Mais même avec 2/3 des voies, ou plus, peut-on amender cette partie même de la Constitution ?
Tu places ta main dans le trou du rocher de la vérité. Si tu mens tu ne peux pas retirer ta main	Je dis: " je ne retirerai pas ma main "
Le barbier rase tous ceux qui ne se rasent pas eux-mêmes, et que ceux-là	Qui rase le barbier ?
Le prochain mot que tu diras sera-t-il " non " ?	- OUI, ah non! - NON, raté, tu mens!
Je ferai un examen surprise dans la semaine et personne ne pourra en prévoir la date!	Ce n'est donc pas samedi, car vendredi soir on saurait; ni vendredi, car jeudi soir on saurait...
Le robot qui répare tous les robots qui ne se réparent pas eux-mêmes	Qui répare le robot ?
Le catalogue qui répertorie tous les catalogues qui ne se répertorient pas eux-mêmes	Dans quel catalogue le trouvera-t-on ?
Soit l'ensemble de tous les ensembles qui ne se contiennent pas eux-mêmes	Est-ce que ce nouvel ensemble se contient lui-même ? Paradoxe de RUSSEL

-Ý- PARADOXE DE RUSSEL

Développement du paradoxe de Russel

Voir lignes ci-dessus si pas encore lues

Ensemble qui ne se contient pas lui-même	Ensemble qui se contient lui-même
Ensemble normal	Ensemble non - normal
§ *Homme*: l'ensemble des hommes n'est pas un homme	§ *Idée abstraite*: ce concept appartient bien à l'ensemble des idées abstraites
§ *Long* n'est pas un adjectif long	§ *Court* est un adjectif court
§ *Monosyllabe*: ce mot ne fait pas partie des mots monosyllabiques	§ *Polysyllabe*: ce mot est bien polysyllabique
§ L'ensemble des choses qui ne peuvent pas se décrire en douze mots	§ L'ensemble des choses qui peuvent se décrire en dix mots
Soit N l'ensemble de tous ces ensembles normaux
§ Si on place N dans cette colonne: ð Il est normal, il ne se contient pas lui-même ð Mais, puisqu'il est normal, c'est aussi un membre de l'ensemble N, il est non - normal	§ Si on place N ici: ð Il est non - normal, il se contient lui-même ð Mais, puisqu'il est non - normal, il n'est pas membre de N, il est normal
Contradiction dans les deux cas !