NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

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ORIENTATION GÉNÉRALE - M'écrire - Édition du: 12/01/2012

-Ý- RUBRIQUE: Suites
§ Général	§ Harmonique	§ Suite aliquote
§ Typiques	§ De Farey	§ Séquences numériques
§ 1 / (1 - x)	§ De Martin-Löf	§ Thue Morse
§ x^k / (x^k – 1)	§	§
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-Ý- SUITE de CHAMPERNOWNE et de MARTIN LÖF

Suite "normale"

§ Suite dans laquelle une séquence de plus en plus longue apparaît de moins en moins souvent, et, bien sûr, une séquence donnée ne se retrouve jamais indéfiniment.

Exemple

§ Le 8 apparaît une fois sur 10 ( on dit que sa fréquence limite est 1/10)

§ Le 23, une fois sur 100 (F.lim=1/100)

§ Le 555 , une fois sur mille (F.lim=1/1000)

etc.

Construction:

01234567891011121314151617181920212223...

§ Dans la quête d'une suite désordonnée, ici encore, la succession des chiffres n'est pas périodique,

Voir Suite de Thue Morse

§ Mais la règle de construction est simple:

§ La suite n'est pas désordonnée.

En fait,

§ Tout nombre normal en base 10 est irrationnel.

§ Ils semblent tous désordonnés, mais la suite ci-dessus est un contre-exemple.

Note:

§ On ne sait pas si la suite des chiffres de Pi, en base 2, est normale;

§ Même si on le constate sur tous les chiffres connus.

Paradoxe:

§ En fait, presque toutes les suites sont aléatoires, comme l'a montré Martin Löf en 1965, selon sa définition.

§ Mais on ne peut en définir aucune par algorithme.

§ Elles sont partout, mais on ne peut jamais les toucher.

§ Cette définition (très complexe, en fait!) dit, en gros, qu'une suite binaire est aléatoire si elle est incompressible.

§ Elle s'appuie sur la théorie de la complexité de Kolmogorov.

§ La mesure de la complexité c'est la taille du plus petit programme qui permet d'imprimer l'objet en question.

Exemple:

§ La longueur du plus petit programme pour imprimer le premier million de chiffres en base 2 de Pi

§ est probablement supérieure à 100 lignes, mais très nettement inférieure à un million.

§ Dans cet exemple, la taille du programme est inférieure à celle de l'objet à imprimer:

§ Il y a compression de l'information.

Note:

§ Selon cette définition, les fonctions "random" des ordinateurs,

§ engendrées par programmes ne peuvent être qu'imparfaitement aléatoires au sens de la définition de Martin Löf.

§ Le hasard reste le hasard.

§ On ne peut pas le formaliser!

Voir OMÉGA: 10¹⁰⁰

 Le nombre de Champernowne 0123456789101112...

n'est pas périodique, il est irrationnel , mais, il n'est pas aléatoire.

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