collection de nombres, divisibilité par 27

NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

ORIENTATION GÉNÉRALE - M'écrire - Édition du: 12/07/2014

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DIVISIBILITÉ par 27

Critères de divisibilité

et formes polynomiales divisibles

Voir Règles générales

Critère de divisibilité par 27

Critère de divisibilité par 27 (valable aussi pour 37):

Séparez classiquement les chiffres en blocs de trois.

Faites la somme de ces nombres.

Si la somme est divisible par 27, le nombre complet est divisible par 27.

DIVISIBILITÉ PAR 27
Affirmation Montrez que l'expression suivante est toujours vraie: m = 3 + 33 + … + 33…3_n = 1/ 27 (10ⁿ⁺¹ – 9n – 10) 33…3_n est composé de n fois le chiffre 3. Démonstration par induction Voir Démonstration par induction
Pour k = 1, C'est vrai	3 = 1/ 27 (10¹⁺¹ – 9 – 10) = 81 / 27 = 3
Supposons la formule vraie pour k. L'est-elle pour k + 1?	m' = 3 + 33 + … + 33…3_k+1 = 1/ 27 (10^k+2 – 9(k + 1) – 10)
En fonction de m	m' = m + 33…3_k+1 = m + 1/3 x 99…9_k+1 = m + 1/3 x (10^k+1 – 1)
En remplaçant m par sa valeur du membre de droite (ceci du fait de notre hypothèse que m est vraie).	= 1/ 27 (10^k+1 – 9k – 10)+ 1/3 x (10^k+1 – 1) = 1/ 27 (10^k+1 – 9k – 10 + 9 x (10^k+1 – 1)
Il nous faut retrouvez le membre de droite de m'. CQFD	= 1/ 27 (10^k+1 + 9 . 10^k+1 – 9k – 19) = 1/ 27 (10^k+2 – 9 (k + 1) – 10 )

Exemples

n Termes Somme 10^(n+1) 9n Exp Exp / 27

1 3 3 100 9 81 3

2 33 36 1 000 18 972 36

3 333 369 10 000 27 9 963 369

4 3 333 3 702 100 000 36 99 954 3 702

5 33 333 37 035 1 000 000 45 999 945 37 035

6 333 333 370 368 10 000 000 54 9 999 936 370 368

7 3 333 333 3 703 701 100 000 000 63 99 999 927 3 703 701

8 33 333 333 37 037 034 1 000 000 000 72 999 999 918 37 037 034

9 333 333 333 370 370 367 10 000 000 000 81 9 999 999 909 370 370 367

10 3 333 333 333 3 703 703 700 100 000 000 000 90 99 999 999 900 3 703 703 700

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Voir	Nombre 512 Induction
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