NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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BASES de l'arithmétique

 

Débutants

Nombres

DIVISIONS

 

Glossaire Division

 

 

INDEX

 

CALCUL 

Initiation

Avancé

Décimales

Polynôme

Complexes

Fractions

 

Sommaire de cette page

>>> Partage de bonbons

>>> Premiers pas

>>> Restes

>>> Étages

>>> Cas général

 

 

 

 

DIVISION - INITIATION

 

Comment bien démarrer avec les divisions

Toutes les étapes et pièges, pas à pas.

 

Voir Les quatre opérationsJunior

 

 

Que vaut 8 divisé par 2?

 

Réponse: 3 ou 0.

En effet =>

 

Sur le même modèle fallacieux, on pourrait prétendre que  le double de 3 est 8 et, que celui de 0 est 8!

Voir Pensées & humour

 

 

PARTAGE de BONBONS

Comprendre la division sans même savoir compter

 

*       Nous sommes 5 frères et sœurs:

Clément, le plus jeune frère ne sait pas compter. Mais, il sait déjà défendre ses intérêts.

*       Voici un cas qui illustre sa détermination à bien comprendre ce qui se passe.

*       Mamy est arrivée à la maison et nous a donné 10 bonbons. Comment les répartir pour que chacun reçoive le même nombre de bonbons?

Chacun doit avoir la même part, dit Clément.

Cléo, le plus grand frère, prétend avoir une bonne méthode pour y arriver.

*       Bon, voyons! Cléo commence à distribuer un bonbon à chacun.

Clément est content, il visualise et comprend que chacun à un bonbon.

Oui, mais Cléo en a encore dans la main.

 

*       Clément demande à Cléo de poursuivre la distribution.

Cléo distribue un nouveau bonbon  à chacun.

Il fait le tour.

Et, arrivé à lui-même, se donne un bonbon qui se trouve être le dernier a distribuer.

 

*    Clément observe bien:

Il ne voit rien à redire.

Il est content et comprend que chacun a deux bonbons et qu'il n'en reste pas.

 

*       Clément réalise que la distribution a été équitable.

Cléo, qui va déjà à l'école primaire, sait qu'il a réalisé un partage, une division.

 

 

 

 

10 partagé en 5 donne 2 chacun et il ne reste rien.

 

Ou en écriture abrégée   10 / 2 = 5

 

Vérification    5 x 2 = 10

 

 

*       Avec 12 bonbons, Cléo aurait poursuivi la distribution

Mais, il n'y pas assez de bonbons pour faire tout le tour. il ne peut pas en donner 3 à chacun.

*       Seuls deux enfants pourraient être servis.

Les deux plus petits? Toujours les mêmes qui sont chouchoutés!

Ou les deux plus grands? Ils ont plus de besoins!

Et, moi, s'écrie Louise, la troisième, on m'oublie …

 

12 divisé par 5 donne 2 chacun

 et il ne reste 2.

 

Ou en écriture abrégée  12 / 2 = 5 reste 2

 

Vérification    5 x 2 + 2 = 10 + 2 = 12

 

 

 

PREMIERS PAS

Comment poser la division

*       Cléo dispose de 10 bonbons.

10 bonbons

 

 

 

*       Nous sommes 5 frères et sœurs.

10 bonbons

5 frères et sœurs

 

 

*       Cléo fait un premier tour – ça marche!

Il vient de distribuer 5 bonbons.

Il lui en reste 10 – 5 = 5 bonbons.

10 bonbons

5 frères et sœurs

- 5 distribués

1 tour

reste 5

 

*       Avec les 5 bonbons restants, Cléo en assez pour recommencer une distribution complète.

Ce n'est pas un tour, mais deux tours qu'il peut effectuer.

D'ailleurs, après cette deuxième tournée, il ne lui reste plus rien 10 – 2x 5 = 0.

10 bonbons

5 frères et sœurs

- 10 distribués

2 tours

reste 0

 

 

 

 

Bilan

Écriture simplifiée

Avec la pratique, la soustraction (-10)
est faite mentalement, sans l'écrire.

 

  10

5

- 10

2

    0

 

Baptême des acteurs

C'est plus pratique d'appeler les choses par leur nom. Comme vous n'êtes pas encore bien  familiarisés, je m'abstiens d'utiliser ces mots dans la suite.

Mais retenez-les pour vos cours.

Dividende

 

 

Diviseur

 

10

5

 

 

0

2

 

Reste

 

 

Quotient

27 / 13 = 2 reste 1 ou 27 = 13 x 2 + 1

Voir Division – Définition

 

 

 

RESTES

Avec un reste ce n'est pas plus difficile

*       Cléo dispose de 12 bonbons

Nous sommes 5.

12 bonbons

5

 

 

*       Il est possible de faire deux tournées, mais pas trois.

*       À l'école, on dit il y va deux fois.

12 bonbons

5

- 10 distribués

2

reste 2

 

*       Écriture simplifiée.

  12

5

- 10

2

    2

 

 

 

Vocabulaire

La division sans reste est dite       division exacte.

La division avec reste est appelée division euclidienne.

Voir DicoMot

 

 

 

ÉTAGES

Quand le résultat a plusieurs chiffres

*       Cléo dispose de 120 euros.

Nous sommes 5.

Combien chacun?

120

5

 

 

*       Nous allons adopter une règle qui sera justifiée a posteriori.

Une règle bien pratique qui nous demande de balayer les chiffres du nombre à diviser de gauche à droite.

*       Prendre autant de chiffres que nécessaires pour pouvoir réaliser une division.

Je vérifie que ma division se présente bien. Le reste (2) doit être inférieur au diviseur (5). Car autrement, j'aurais pu faire au moins une distribution supplémentaire.

120

5

 

1

 

Dans 1, il va 0 fois 5, pas possible!

 

120

5

 

12

 

Dans 12, il va 2 fois 5, c'est possible!

Nous retenons ces deux chiffres 12

Et calculons la division.

 

 120

5

 

 12

2

2 fois 5 = 10

-10

 

je retire 10

   2

 

il reste 2  et 2 est plus petit que 5, c'est bien.

 

 

*       La deuxième partie de la règle nous demande de prendre un chiffre supplémentaire dans le nombre à diviser.

120

5

 

 12

2

Ayant abaissé un nouveau chiffre (0)

-10

 

Le nombre à diviser devient 20

   20

 

Avec 20, je peux faire 4 distributions

 

 

car 4 x 5 = 20

 

120

5

 

 12

24

Je place le petit nouveau trouvé (4)

-10

 

à droite du précédent (2)

   20

 

ce qui donne 24 pour quotient

 

 

 

*       Reste à compléter le calcul

Le reste étant nul, nous avons tout distribué. La division est terminée.

120

5

 

 12

24

On calcule 4 x 5 = 20

-10

 

Que nous retranchons

   20

 

Puis nous effectuons la soustraction

  -20

 

Reste 0. Terminé!

     0

 

 

 

Et voici le travail: 120 / 5 = 24

Vérification:       24 x 5 = 120

 

 

 

Quand le résultat a plusieurs chiffres

et avec reste

*       Cléo dispose de 122 euros.

Nous sommes 5.

Combien chacun?

 

*       Reprenons le calcul précédent

Le reste final (2) est inférieur au diviseur (5).

Il est impossible de procéder à une nouvelle distribution à chacun.

La division est terminée.

122

5

 12

24

-10

 

   22

 

  -20

 

     2

 

 

Résultat: 122 / 5 = 24, reste 2

Vérification:  24 x 5 + 2 = 122

Autre exemple

*       Cléo dispose de 12004 euros

Nous sommes 5

Combien chacun?

 

*       Ne pas se laisser piéger par les zéros

ou par le fait que le nombre à diviser est inférieur au diviseur.

Il suffit d'abaisser un chiffre en plus s'il en existe encore.

Sinon la division est terminée.

12004

5

 

 12

2400

 

-10

 

 

   20

 

Reste 2 et nous abaissons le 0

  -20

 

 

     00

 

Reste 0 et nous abaissons le 0

    -00

 

Il y va 0 fois, nous retranchons 0

       04

 

Reste 0 et nous abaissons le 4

Le reste 4 est inférieur au diviseur 5

La division est terminée

 

Résultat:

   12004 / 5 = 2400, reste 4

Vérification:

  2400 x 5 + 4 = 12004

 

 

 

CAS GÉNÉRAL

Il n'y a pas assez pour soustraire! Que faire?

*       Cléo dispose de 12014 euros.

Nous sommes 5.

Combien chacun?

 

Illustration d'un nombre à diviser inférieur au diviseur.

12014

5

 

 12

2402

 

-10

 

 

   20

 

 

  -20

 

 

     01

 

Reste 0 et nous abaissons 1

    -00

 

En 1, il va 0 fois 5

       14

 

Reste 1, et nous abaissons 4

      -10

 

En 14, il va 2 fois 5

         4

 

Et il reste 4.

 

Résultat:

  12014 / 5 = 2402, reste 4

Vérification:

  2402 x 5 + 4 = 12014

Notation à la française

 

*       Les anglo-saxons écrivent les divisons comme je l'ai fait ci-dessus. Les français ont coutume de ne pas écrire la soustraction. Celle-ci est faite mentalement et seul le résultat est reporté.

 

 

12014

5

 12

2402

   20

 

     01

 

       14

 

         4

 

 

 

Bilan

Nous savons effectuer des divisions d'une manière générale. Quelques cas particuliers nous attendent encore sur les pages suivantes, mais les principes de base sont ceux indiqués ici.

Pour nous rassurer, nous pouvons vérifier la vraisemblance de nos résultats en utilisant la preuve par neuf.

Avec l'usage des calculettes, la pratique de la division se perd. Raison de plus pour y porter une attention particulière. C'est aussi un bon entraînement au calcul mental.

 

Orientation

Initiation

Avancé

Décimales

Polynôme

Complexes

 

 

Histoire archi-célèbre du reste du papier peint

Il veut refaire la tapisserie et s'adresse à son voisin qui dispose du même appartement et qui vient de changer le papier peint il y a moins de trois mois.

- Combien de rouleaux de dix mètres avez-vous pris ?

- Vingt-huit.

Il achète les vingt-huit rouleaux, s'active à poser le papier et à la fin, il lui reste encore pas mal de rouleaux.

- Je suis surpris, dit-il au voisin. J’ai tapissé toute la pièce, et il me reste six rouleaux…

- Ben, moi aussi, j'ai eu la même chose!

 

 

 

 

 

Voir suite en

*    Divisions à plusieurs chiffres

*    Divisions avec décimales

*    Division impossible: diviseur > dividende

*    Division euclidienne (théorie)

Voir résumé en

*    Glossaire – Division

Très utile

*    La preuve par neuf

Voir

*      Barre magiques des premiers

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