NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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DIVISION

 

Débutants

Division

Divisibilité

 

Glossaire

Division

 

INDEX

Divisibilité

 

Introduction

Par 27

Par 37

Critères

 

Sommaire de cette page

>>> Nombres de 1, 2 ou 3 chiffres

>>> Permutations sur les blocs de trois

>>> Nombres de plus de 3 chiffres

>>> Multiples de 37

>>> Règle et démonstration pour plus de trois chiffres

>>> Méthode continue avec clé = – 11

>>> Pannumériques

>>> Quantité de nombres à chiffres distincts divisibles par 37

 

 

 

 

 

DIVISIBILITÉ par 37

 

Critère de divisibilité par 37 (valable aussi pour 27):

*    Séparez classiquement les chiffres en blocs de trois.

*    Faites la somme de ces nombres.

*    Si la somme est divisible par 37, le nombre complet est divisible par 37.

 

Notez que: 37 x 3 = 111 et 37 x 27 = 999 = 1000 – 1.

 

Voir Divisibilité par 37 (terminale)

 

 

 

 

Nombres de 1, 2 ou 3 chiffres

 

Nombres  divisibles par 37 (ou multiples de 37):

 

1 chiffre: aucun.

2 chiffres: 37 et 74

 

3 chiffres: 111, 148, 185 … 222  … 333 … 999.

 

Notez que: 11 multiples à trois chiffres sur 25 sont facilement reconnaissables.

 

 

Comment reconnaitre si un  nombre à trois chiffres est divisible par 7?

 

Comme tous les repdigits (111, 222, 333 …)  sont divisibles par 37, il suffit de calculer la "distance" à un de ces nombres.

 

Exemples:

456 divisible par 37?

456 – 444 = 12   Non divisible par 37

 

481 divisible par 37?

481 – 444 = 37

 

 

Les nombres repdigits de 3k chiffres sont divisibles par 37.

 

Les nombres dont les blocs de trois sont des repdigits sont divisibles par 37.

 

Attention: Ne pas en déduire qu'un nombre est divisible par 37 si ses blocs de trois chiffres le sont.

 

 

 

Exemples:

 

333 333 333 = 333 . 106 + 333 . 103 + 333

= 9 . 37 .106 + 9 . 37 .103 + 9 . 37

= 9 . 37 (106 + 103 + 1)   Divisible par 37.

 

 

333 666 777 = 333 . 106 + 666 . 103 + 777

= 9 . 37 .106 + 18 . 37 .103 + 21 . 37

= 37 (9 .106 + 18.103 + 21)   Divisible par 37

 

 

 

 

 

Les premiers multiples de 37

 

 

La première colonne permet de retrouver tous les autres à trois chiffres:

*    37 et 74 pour 370 et 740;

*    111 pour 222, 333 … ; et

*    148, 185, 259, 296 pour leurs permutations circulaires.

 

 

 

 

Permutations sur les blocs de trois

 

 

Si un nombre de trois chiffres est divisible par 37, toutes ses permutations circulaires le sont.

 

Attention: Ne pas en déduire Que cela est vrai pour tous les blocs de trois chiffres dans un nombre; ni pour les trois derniers chiffres d'un nombre de plus de trois chiffres.

 

 

 

Démonstration

Idem pour l'autre configuration en 100u + 10c + d

 

Exemple

148, 481 et 814 sont divisibles par 37.

 

 

Les cas de divisibilité par permutations circulaires (PC) sont nombreux:

 

Ci-contre, l'exemple montre les six permutations circulaires; elles sont toutes divisibles par 37.

Les permutations circulaires sur les blocs de trois chiffres ne sont  divisibles par 36 que pour les trois permutations synchronisée.

 

 

Soit un nombre de 3k chiffres. Toutes les PC sur l'ensemble des chiffres sont divisibles par 37, ainsi que toutes les PC synchronisées sur chaque bloc de 3 chiffres.

 

Prudence si le dernier bloc de gauche ne comporte pas trois chiffres, ajouter les 0 nécessaires!

 

 

Exemple

 

 

Nombres de plus de 3 chiffres

Règle

On se ramène à un nombre de trois chiffres au plus en ajoutant tous les blocs de trois chiffres du nombre.
On répète cette opération de sommation si nécessaire.

 

Exemples

123 456 789 divisible par 37 ?

123 + 456 + 789 = 1 368

1 368 = 1 + 368 = 369

369 – 333 = 36  Non divisible par 37

De justesse! Manque une unité.

 

Alors

123 456 790 est sûrement divisible par 37.

123 + 456 + 790 = 1 369

1 + 369 = 370   Divisible par 37.

 

Pourquoi cela marche?

Cela tient au fait que 999, proche de 1000 est divisible par 37

Séparons le nombre N en blocs de trois chiffres et indiquons que ce nombre est divisible par 37.

 

Voir Modulo

 

Exemple

45 678 979 = 45 x 106 + 678 x 103 + 979

 

 

Exploitons le fait que les nombre 999, 999999 … sont des nombres divisibles par 37.

De même que tous leurs multiples.

 

Note: comme 999 est aussi divisible par 27, cette démonstration est valable pour 27.

 

 

 

 

Etc.

 

 

Retranchons de tels nombres de chaque côté de l'égalité.

 

Limitons nous à 106 pour faciliter l'écriture. La méthode s'applique à aux puissances 3 k suivantes

 

 

 

En ne conservant que la partie de droite et en effectuant les soustractions. Introduisons également le fait que cela est vrai pour les blocs de trois de puissances supérieures.

 

 

 

Miracle! Nous avons la somme des blocs de trois!

Il suffit de tester la somme des blocs de trois chiffres.               

 

Magie

Demander à choisir un nombre de trois chiffres.

321

Mentalement calculer le complément à 555 ou à 999.

234

Prétendez que vous avez un nombre divisible par 37 incluant le sien.

234 321

ou

321 234

Voir Magie

 

 

 

 

 

Méthode continue avec clé = – 11

 

*    Méthode alternative:

*    Multiplier le dernier chiffre par 11;

*    Soustraire du nombre courant; et

*    recommencer jusqu'à épuisement des chiffres.

 

Exemples

1 369 divisible par 37 ?

136 – 9 x 11 = 37

1 369  Divisible par 37.

 

138269 divisible par 37 ?

13826 – 9 x 11 = 13 727

13 72 – 7 x 11 = 1 295

129 – 5 x 11 = 74

138 269  Divisible par 37.

 

93 092

9309 – 22 = 9 287

928 – 77 = 851

85 – 11 = 74   Divisible par 37.

 

 

Programmation sur tableur

 

Voici un exemple avec un nombre de 10 chiffres non répétés, programmé sur tableur.

 

Notez que dans ce cas N est un pannumérique (tous les chiffres, une fois).

 

Pour chaque ligne N est égal à N' de la ligne précédente.

 

 

 

 

Pannumériques

 

 

*    Question posée par un internaute: Combien y-a-t'il de nombres pannumériques à 10 chiffres (exactement, excluant ceux commençant par 0)?

*    Malgré toutes les propriétés énoncées ci-dessus, il ne semble pas exister de méthode simple évitant une recherche systématique par ordinateurs.

 

*    L'exemple ci-contre peut être décliné selon diverses permutations cycliques.

*    Deux 0 ont été ajoutés pour former des blocs de trois chiffres.

*    Cette déclinaison est jolie, mais ne répond pas à la question, car 12 chiffres.

 

Quantité de nombre pannumérique à 10 chiffres
 

Premier chiffres: de 1 à 9

Pour les neuf autres: de 0 à 10

Soit: 9 x 9! = 3 265 920.

 

Quantité de tels nombres divisible par 37
 

Dénombrement par programme: 85 104

 

Ces permutations sont divisibles par 37

Etc.

Au total 63 tels nombres permutés.

 

 

Quantité de nombres à "Qté" de chiffres distincts, divisibles par 37

 

 

English corner

Subtract eleven times the last digit from the remaining leading truncated number. If the result is divisible by 37, then so was the first number. Apply this rule over and over again as necessary.

 

 

 

Avec 37

*         Nombre 37

*         Divisibilité par 37, 137 …

Suite

*         Divisibilité par 42

*         Divisibilité de formes polynomiales

Voir

*         Nombres parfaits 

*         Théorie des nombresIndex

*         Calcul mentalIndex

DicoNombre

*         Nombre  999

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