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NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Motifs

 

Magie

 

Pépites

66 x 67

66 x 99

Carrés

 

Sommaire de cette page

>>> Produit 3 x 4

>>> Produit 6 x 7

>>> Produit 9 x 10

>>> Produit 1 x 2

>>> Formation des produits pour 1 x 2

>>> Formation des produits pour 6 x 7

 

 

 

 

  

Motifs répétitifs

Produit d'un nombre et de son successeur

 

Exemple:

6    x      7     =       42

66          67            4422

666        667          444222

etc.

Produits itératifs

3 x 4;   3 x 5;   3 x 6 …

6 x 7;   6 x 9;   6 x 10 …

9 x 10; 9 x 11; 9 x 12 …

 

 

Ci-dessous, en fond jaune, les motifs parfaitement itératifs

 

 

 

 

3 x 4

 

1 =>    3     x                          4    =                         12

2          33                               34                             1122

3          333                             334                          111222

4          3333                           3334                        11112222

5          33333                        33334                      1111122222

6          333333                      333334                    111111222222

7          3333333                    3333334                 11111112222222

8          33333333                  33333334               1111111122222222

9          333333333               333333334             111111111222222222

10       3333333333             3333333334           11111111112222222222

Etc.

 

Le motif se poursuit avec autant de 4 et de 2 que de 6 dans le nombre initial.

Un autre motif avec 34

Suite Carrés en croissance cristalline

 

 

Autour de 3 x 4

 

3 x 2 = 6

33 x 32 = 1056

333 x 332 = 110556

3333 x 3332 = 11105556

33333 x 33332 = 1111055556

 

 

3 x 3 = 9

33 x 33 = 1089

333 x 333 = 110889

3333 x 3333 = 11108889

33333 x 33333 = 1111088889

 

 

3 x 5 = 15

33 x 35 = 1155

333 x 335 = 111555

3333 x 3335 = 11115555

33333 x 33335 = 1111155555

 

 

3 x 6 = 18

33 x 36 = 1188

333 x 336 = 111888

3333 x 3336 = 11118888

33333 x 33336 = 1111188888

 

Ensuite, par exemple pour 3 x 7:

33333 x 33337 = 1111222221

 

Voir Carré des repdigits

 

 

 

 

 

6 x 7

 

1 =>    6              x                 7               =              42

2          66                               67                             4422

3          666                             667                          444222

4          6666                           6667                        44442222

5          66666                        66667                      4444422222

6          666666                      666667                    444444222222

7          6666666                    6666667                 44444442222222

8          66666666                  66666667               4444444422222222

9          666666666               666666667             444444444222222222

10       6666666666             6666666667           44444444442222222222

11       66666666666           66666666667        4444444444422222222222

12       666666666666         666666666667      444444444444222222222222

Etc.

 

Le motif se poursuit avec autant de 4 et de 2 que de 6 dans le nombre initial.

 

 

Autour de 6 x 7

 

6 x 5 = 30

66 x 65 = 4290

666 x 665 = 442890

6666 x 6665 = 44428890

66666 x 66665 = 4444288890

 

 

6 x 6 = 36

66 x 66 = 4356

666 x 666 = 443556

6666 x 6666 = 44435556

66666 x 66666 = 4444355556

 

 

6 x 8 = 48

66 x 68 = 4488

666 x 668 = 444888

6666 x 6668 = 44448888

66666 x 66668 = 4444488888

 

 

6 x 9 = 54

66 x 69 = 4554

666 x 669 = 445554

6666 x 6669 = 44455554

66666 x 66669 = 4444555554

 

Le motif est itératif mais avec une coquetterie pour les unités

Notez le motif itératif sur la base du carré de 65:

 

65 x 65 = 4225

665 x 665 = 442225

6665 x 6665 = 44422225

66665 x 66665 = 4444222225

666665 x 666665 = 444442222225

6666665 x 6666665 = 44444422222225

66666665 x 66666665 = 4444444222222225

666666665 x 666666665 = 444444442222222225

6666666665 x 6666666665 = 44444444422222222225

 

Voir Explications du produit 6x 7

 

 

 

 

 

9 x 10

 

1 =>    9      x                         10     =                     90

2          99                               100                          9900

3          999                             1000                        999000

4          9999                           10000                      99990000

5          99999                        100000                    9999900000

Etc.

 

Résultat qui paraît plus évident que ci-dessus!

 

 

Autour de 9 x 10

 

9 x 8 = 72

99 x 98 = 9702

999 x 998 = 997002

9999 x 9998 = 99970002

99999 x 99998 = 9999700002

 

 

9 x 9 = 81

99 x 99 = 9801

999 x 999 = 998001

9999 x 9999 = 99980001

99999 x 99999 = 9999800001

 

 

9 x 11 = 99

99 x 101 = 9999

999 x 1001 = 999999

9999 x 10001 = 99999999

99999 x 100001 = 9999999999

 

 

9 x 12 = 108

99 x 102 = 10098

999 x 1002 = 1000998

9999 x 10002 = 100009998

99999 x 100002 = 10000099998

 

 

 

 

 

1 x 2

 

Motif semi-régulier. Le 5 est le premier à dérailler pour la progression à gauche 12346 au lieu de 12345.

 

Croissance à droite

Il est logique que les (n – 1) derniers chiffres du résultat soient ceux du résultat précédent.

En effet par exemple:

11 x 12 = 132 on doit retrouver 32 dans le résultat suivant.

Or

111 x 112 = (100 + 11)(100 + 12) = 100x100 + 11x100 + 12x100 + 11x 12

                  = 12400 + 132

Les deux 0 finaux laissent se matérialiser les deux chiffres finaux du produit précédent.

 

Croissance à gauche

Moins évident à percevoir.

Par exemple: 111 x 112 = (110 + 1)(110 + 2) = 12100 + 110 + 220 + 2
Tout seul l'exemple ne permet pas d'imaginer la croissance à gauche.

Voyons la progression du produit en montrant les résultats intermédiaires:

 

11x 12 =

100

+ 20

+ 10

+ 2

= 132

 

111x 112 =

+ 12100

+ 220

+ 110

+ 2

= 12432

 

1111x 1112 =

+ 1232100

+ 2220

+ 1110

+ 2

= 1235432

 

11111x 11112 =

+ 123432100

+ 22220

+ 11110

+ 2

= 123465432

 

111111x 111112 =

+ 12345432100

+ 222220

+ 111110

+ 2

= 12345765432

 

La progression du premier nombre (en haut) croit comme le carré du nombre initial alors que les deux du milieu sont du même ordre de grandeur que le nombre initial laissant la place aux chiffres de gauche du nombre d'en haut.

 

Quelques autres

 

5 x 6 = 30

55 x 56 = 3080

555 x 556 = 308580

5555 x 5556 = 30863580

55555 x 55556 = 3086413580

555555 x 555556 = 308641913580

5555555 x 5555556 = 30864196913580

 

 

8 x 10 = 80

88 x 90 = 7920

888 x 890 = 790320

8888 x 8890 = 79014320

88888 x 88890 = 7901254320

888888 x 888890 = 790123654320

8888888 x 8888890 = 79012347654320

 

 

 

 

6 x 7 – Formation des produits

 

Sur le même modèle que pour le produit 1 x 2 nous allons examiner la progression des produits basés sur 6 x 7.

66 x 67 = (65 + 1)(65 + 2) = 65² + 3x65 + 2 = 4225 + 195 + 2 = 4422

 

66 x 67=

4225

+ 195

+ 2

= 4422

 

666 x 667=

442225

+ 1995

+ 2

= 444222

 

6666 x 6667=

44422225

+ 19995

+ 2

= 44442222

 

66666 x 66667=

4444222225

+ 199995

+ 2

= 4444422222

 

666666 x 666667=

444442222225

+ 1999995

+ 2

= 444444222222

 

 

Surprenante conjonction des nombres à additionner qui se reproduit sans fin.

Il possible de faire le même raisonnement avec 66² = 4356. Par exemple:

666 x 667 = 666 (666 + 1) = 443556  + 666 = 444222.

Le motif itératif est tout aussi visible.

 

 

 

 

 

 

 

Suite

*    Motif itératif sur 66 x 99

*    Magie avec les nombres

Voir

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*    Nombres à motifIndex

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*    Nombres pour débutants

*    Pépites

Diconombre

*    Nombre 12

*    Nombre 34

*    Nombre 42

Livre

*    Maths – La petite encyclopédie collège – André Deledicq – Éditions de la Cité – 2004 (impression 2007)

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