NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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CM2

 

Sommaire de cette page

>>> Combien de CD chacun?

>>> Les cailloux du Petit Poucet

 

 

 

 

Exercices typiques de logique

Comment résoudre un problème

en faisant des suppositions

 

De nombreux élèves voudraient mieux comprendre la résolution des problèmes qui leur sont présentés. Ces pages donnent la solution classique (directe) des problèmes, suivies d'une explication illustrée et détaillée. Le but étant de bien suivre le mécanisme du raisonnement et de le visualiser pour être capable de l'appliquer à d'autres problèmes semblables.

 

 

 

Combien de CD chacun?

 

Problème

Audrey et Bernard comptent leurs CD.

Ils en ont 54 à eux deux.

Audrey en a 12 de moins que Bernard.

Combien possèdent-ils de CD chacun?

 

Solution par raisonnement (supposition).

Si Audrey avait le même nombre de CD que Bernard, il y en aurait 12 de plus

54 + 12 = 66

C'est deux fois la quantité de CD de Bernard

66 / 2 = 33 CD

Et Audrey en a 12 de moins:

33 – 12 = 21 CD

 

Solution méthodique (équations)

Il faut trouver deux nombres avec une somme de 54.

A + B = 54

Bernard a le même nombre de CD qu'Audrey plus 12.

B = A + 12

En mettant les CD de Bernard dans la somme (on remplace B par sa valeur):

A + A + 12 = 54

   2A   + 12 = 54

Je retire 12 de chaque côté:

2A + 12 – 12  = 54 – 12

2A = 42

  A = 21 CD

Je calcule B:

B = A + 12 = 21 + 12 = 33 CD

 

Voir Équations – Initiation

 

Solution détaillée et illustrée

 

 

 

Les cailloux du Petit Poucet

 

Problème

Le Petit Poucet s’amuse dans un escalier. Il a 55 cailloux dans la poche de son pantalon.
Il vide sa poche en posant les cailloux de la manière suivante :

*    Un caillou sur la première marche.

*    Deux cailloux sur la deuxième marche.

*    Trois cailloux sur la troisième marche.

Et ainsi de suite… Sur quelle marche pose-t-il le dernier caillou ?

 

 

Solution par dénombrement (en comptant)

La somme des cailloux va croissant de cette manière:

M1:   1

M2:   1 + 2 = 3

M3:   1 + 2 + 3 = 6

M4:   1 + 2 + 3 + 4 = 10

M5:   1 + 2 + 3 + 4 +   5 = 15

M6:   1 + 2 + 3 + …+   6 = 21

M7:   1 + 2 + 3 + …+   7 = 28

M8:   1 + 2 + 3 + …+   8 = 36

M9:   1 + 2 + 3 + …+   9 = 45

M10: 1 + 2 + 3 + …+ 10 = 55

 

Voir Somme des nombres de 1 à 100

 

 

Solution astucieuse

Supposons que pendant que le Petit Poucet dépose ses cailloux, son frère part du haut des escaliers et fait la même chose jusqu'en bas.

Imaginons qu'il y a 10 marches. Si ce n'est pas cela on recommencera avec un autre nombre.

Sur la première marche il y aura 1 + 10 = 11 cailloux; sur la deuxième, il y aura 2 + 9 = 11 cailloux. En effet, il y aura la même quantité de cailloux sur les 10 marches.

Il y en a 10 x 11 = 110  en tout

Comme chaque garçon a déposé autant de cailloux, Le Petit Poucet en a déposé:

110 / 2 = 55. Bravo! C'est le nombre cherché.

 

Illustration

 

 

 

 

 

 

 

Suite

*         Problèmes de dénombrement (CM2)

Voir

*         Calculs – JuniorsIndex

*         La méthode de la fausse position

Livre

*         130 problèmes de robinets qui fuient et de trains qui se croisent – Larousse – 2013

Site

*         Saurez-vous résoudre ces 10 exercices de mathématiques de niveau CM2? – Le Huffington Post – 17/05/2015

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http://villemin.gerard.free.fr/aMaths/Primaire/Logique/LOEXO01.htm