NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 13/05/2011 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique
	Calculs avancés
Débutants Calcul	SOMMES			Glossaire Opérations
INDEX CALCUL	Introduction Somme de 1 à 100	Progression arithmétique	Progression géométrique
	Sommaire de cette page >>> Approche >>> Somme de 1 à 100 & généralisation >>> Combien de segments ?

---

SOMME DES NOMBRES de 1 à 100

5 050 = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 100

= ½ x 100 x 101

Calcul d'une facilité déconcertante … si on connaît le truc.

On apprendra que la somme T des nombres de 1 à n est égale à:

T =	n (n + 1)
	2

Voir Énigme junior

APPROCHE
Voici la somme jusqu'à 9 ou jusqu'à 10 Jusque-là pas trop difficile à calculer. Mais essayez donc pour les nombres jusqu'à 100. Gauss enfant l'a fait en un tour de main, ou de cerveau.	1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55
Gauss, enfant prodige Fait historique ou légende, on raconte qu'à 7 ans (ou 10 ans, selon les auteurs), Karl Gauss a trouvé la manière de calculer la somme des nombres de 1 à 100 très rapidement, à la grande surprise de son professeur. Il remarqua que faire la somme deux à deux en partant des extrémités allait plus vite: chaque somme vaut 101 et il y en a 50, soit le résultat 101 x 50 = 5 050.	( 1 + 100) + ( 2 + 99) + ( 3 + 98) + ... + (50 + 51) = 101 x 50 = 5 050
Problème classique 10 personnes se partagent 1100 €. Le deuxième prend 2 fois plus que le premier. Le troisième trois fois plus que le premier … Le dixième 10 fois plus que le premier. Combien revient au premier?	x + 2x + 3x + … + 10x = 1100 x ( 1+ 2 + 3 +… + 10) = 1100 55 x = 1100 x = 20 €

SOMME 1 + 2 + … + 99 + 100 = 5 050

Astuce!

Posez deux fois la suite des nombres dans un sens et à l'envers.

Sommez en remarquant que la somme est la même sur chaque colonne.

Soit 100 colonnes avec 101, ce qui donne 10 100.

La moitié donne 5050.

T	=	1	+	2	+	3	+	...	+	97	+	98	+	99	+	100
T	=	100	+	99	+	98	+	97	+	...	+	3	+	2	+	1
2T	=	101	+	101	+	101	+	...	+	101	+	101	+	101	+	101

2T	=	100 x 101 = 10 100
T	=	5 050

Généralisation

Même procédé que ci-dessus.

Chaque colonne vaut n+1.

Il y en a n.

La double- somme vaut n fois n+1.

Et la somme cherchée la moitié de cette valeur.

T =	1	+ 2	+ 3	+ …	+ (n - 2)	+ (n - 1)	+ (n - 0)
T =	(n)	+ (n - 1)	+ (n - 2)	+ …	+ 3	+ 2	+ 1
2T =	n + 1	+ n + 1	+ n + 1	+ …	+ n + 1	+ n + 1	+ n + 1

2T =	(n + 1)	x n	T = ½ n (n+1)
T =	n (n + 1) / 2

EXEMPLES

de 1 à n	Calcul	T
10 100 1000	1/2 x 10 x 11 1/2 x 100 x 101 1/2 x 1000 x 1001	55 5 050 500 500
9 99 999	1/2 x 9 x 10 1/2 x 99 x 100 1/2 x 999 x 1000	45 4 950 499 500

COMBIEN DE SEGMENTS ENTRE n POINTS
Dessinez 5 points, non alignés (tel que jamais 3 points ne soient alignés). Combien de segments possibles entre ces points ? Du point A : 4 segments B : 3 C : 2 D : 1 Ce qui revient à faire la somme des nombres de 1 à 4 T = 1/2 x 4 x 5 = 10

Débutants, voir explication détaillée en Quantité de segments dans un polygone

Souvenirs (début des années 60)
Je me souviens avoir donné ce genre d'exercice comme punition lorsque j'étais pion. Mais il y eut un inconvénient majeur! Une fois la solution connue, les étudiants m'ont redemandé d'autres trucs comme celui-ci. Ce que j'ai fait, bien volontiers. Bénéfice: j'avais gagné leur attention, et le calme dans l'étude et le dortoir … Et peut-être la naissance d'une vocation …

---

Suite	Progression arithmétique Somme des entiers et autres
Voir	Calcul des carrés Calcul mental Carrés Magiques Gauss Initiation à l'addition Jeux Multiplications védiques Nombre 5050 Nombres triangulaires Progression Arithmétique Quantité de segments dans un polygone Sommes des entiers, carrés … Théorie des nombres