NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

Accueil                           DicoNombre            Rubriques           Nouveautés      Édition du: 24/09/2018

Orientation générale        DicoMot Math          Atlas                   Références                     M'écrire

Barre de recherche          DicoCulture              Index alphabétique          Brèves de Maths                      

     

SOMMES

 

Débutants

Sommes

Sommes des entiers

 

Glossaire

Addition

 

 

INDEX

 

Index et formules

 

Identités

 

Calcul

 

 

Somme des entiers (1/2)

Sommes des pairs

Sommes alternées

Sommes des entiers (2/2)

Somme des impairs

Somme des carrés …

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Somme de 1 à 100 & généralisation

>>> Combien de segments ?

>>> Combien de points ?

>>> La véritable histoire à propos de Gauss

 

 

 

 

 

 

SOMME des ENTIERS consécutifs (1/2)

 

Calcul d'une facilité déconcertante … si on connaît le truc.

On apprendra que la somme S des nombres de 1 à n est égale à:

 

Formule générale

Exemple

Voir Énigme junior  / Énigme de l'entier manquant

 

 

 

Formulaire

Entiers

S = 1 + 2 + 3 + … + n

S = m + m+1 + m+2 + …+ n

S = m + m+1 + m+2 + … + m+k

Pairs

S = 2 + 4 + 6 + … + 2n

 

S = 2 + 4 + 6 + … + n Pair

 

Impairs

S = 1 + 3 + 5 + … + 2n – 1

 

S = 1 + 3 + 5 + … + 2n + 1

 

S = 1 + 3 + 5 + … + n Impair

 

 

 

 

 

Suite de k termes

 

S = m + m+1 + m+2 + …+  n k termes

Ex: 3 + 4 + 5 + 6 = 4 (3+6) / 2 = 2 x 9 = 18

S = m + m+a + m+2a … n k termes

Ex: 3 + 6 + 9 + 12 = 4 (3+12) / 2 = 2 x 15 = 30

Voir Suites arithmétiques

Suite Sommes alternées 

 

 

 

Quelques sommes (classiques ou alternées)

Addition

 

Somme

1 + 2 + 3 + …

+ 10

55

1 + 2 + 3 + …

+ 100

5050

1 – 2 + 3 – 4  + …

– 10

– 5

10 – 9  + 8 – 7 + …

– 1

5

1 – 2 + 3 – 4  + …

– 100

– 50

100 – 99  + 98 – 97 + …

– 1

50

 

 

 

APPROCHE

 

Voici la somme jusqu'à 9 ou jusqu'à 10

*  Jusque-là pas trop difficile à calculer.

*  Mais essayez donc pour les nombres jusqu'à 100.

*  Gauss enfant l'a fait en un tour de main, ou de … cerveau.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9         = 45

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55

Gauss, enfant prodige

*  Fait historique ou légende, on raconte qu'à 7 ans (ou 10 ans, selon les auteurs), Karl Gauss a trouvé la manière de calculer la somme des nombres de 1 à 100 très rapidement, à la grande surprise de son professeur.

*  Il remarqua que faire la somme deux à deux en partant des extrémités allait plus vite: chaque somme vaut 101 et il y en a 50, soit le résultat 101 x 50 = 5 050.

 

Voir Véritable histoire

   ( 1 + 100)

+ ( 2 +   99)

+ ( 3 +   98)

+ ...

+ (50 +  51)

=      101        x 50  = 5 050

Problème classique

*  10 personnes se partagent 1100 €.
Le deuxième prend 2 fois plus que le premier. Le troisième trois fois plus que le premier … Le dixième, 10 fois plus que le premier.

*  Combien revient au premier?

x + 2x + 3x + … + 10x = 1100

x ( 1+ 2 + 3 +… + 10) = 1100

 

55 x = 1100

     x =     20 €

Voir Les cailloux du Petit Poucet

 

 

 

Devinette

 

Dix piles de 10 pièces. Toutes les pièces pèsent le même poids sauf les dix pièces d'une pile complète qui pèsent plus ou moins 10 grammes de différence. Comment déterminer la pile fautive et en combien de pesées sur une balance à aiguille.

Réponse

 

 

SOMME 1 + 2 + … + 99 + 100 = 5 050

 

*    Astuce!

*         Posez deux fois la suite des nombres dans un sens et à l'envers.

*         Sommez en remarquant que la somme est la même sur chaque colonne.

*         Soit 100 colonnes avec 101, ce qui donne 10 100.

*         La moitié donne 5050.

 

T

=

1

+

2

+

3

+

...

+

97

+

98

+

99

+

100

T

=

100

+

99

+

98

+

97

+

...

+

3

+

2

+

1

2T

=

101

+

101

+

101

+

...

+

101

+

101

+

101

+

101

 

 

2T

=

100 x 101 = 10 100

T

=

                       5 050

*    Généralisation

*         Même procédé que ci-dessus.

*         Chaque colonne vaut n+1.

*         Il y en a n.

*         La double- somme vaut  n fois n+1.

*         Et la somme cherchée la moitié de cette valeur.

 

T =

1

+ 2

+ 3

+ …

+ (n - 2)

+ (n - 1)

+ (n - 0)

T =

(n)

+ (n - 1)

+ (n - 2)

+ 

+ 3

+ 2

+ 1

2T =

n + 1

+ n + 1

+ n + 1

+ …

+ n + 1

+ n + 1

+ n + 1

 

2T =

(n + 1)

x n

T = ½ n (n+1)

T =

n (n + 1) / 2

 

 

 

 

EXEMPLES

 

de 1 à n

Calcul

T

10

100

1000

1/2   x 10     x 11

1/2  x 100   x 101

1/2 x 1000 x 1001

55

5 050

500 500

9

99

999

1/2    x 9     x 10

1/2   x 99   x 100

1/2  x 999 x 1000

45

4 950

499 500

 

 

 

ASTUCE pour les puissances de 10

Exemples

Somme de 1 à 10 => (10/2) = 5 => répété, soit 55

Somme de 1 à 100 => (100/2) = 50 => répété, soit 5050

Somme de 1 à 1000 => (1000/2)= 500 => répété, soit 500500

Règle générale

Somme de 1 à 10k = 50…0k-1 50…0k-1

Prendre la puissance de 10, la diviser par 2 et répéter ce nombre.

Justification

Le premier terme est suivi d'autant de 0 que nécessaire pour y loger le deuxième terme (pas de retenue).

Voir Puissance de 10

 

 

Devinette du ramassage des melons (des cailloux)

Vingt melons espacés d'un mètre sur une rangée en ligne droite. Le panier de ramassage est situé à un mètre du premier melon de la rangée. Ils sont lourds et il faut les ramener un par un dans le panier. Quelle est melons.jpgla distance parcourue par le cueilleur?

 

Réponse:

Premier aller-retour: 2 x 1 m

Deuxième: 2 x 1 x 1 m

Troisième: 2 x 2 x 1 m

Vingtième: 2 x 20 x 1 m

Total: L = 2 x (1 + 2 + 3 + … + 20) m

 

Énigme originale d'Ozanam: 100 cailloux espacés d'une toise (environ 2 m).

 

 

 

COMBIEN DE SEGMENTS ENTRE n POINTS

 

*       Dessinez 5 points, non alignés (tel que jamais 3 points ne soient alignés). Combien de segments possibles entre ces points ?

 

Du point     A : 4 segments

B : 3

C : 2

D : 1

 

*       Ce qui revient à faire la somme des nombres de 1 à 4

T = ½  x 4 x 5 = 10

 

 

Débutants, voir explication détaillée en Quantité de segments dans un polygone / Hexagone

 

 

Souvenirs (début des années 60)

Je me souviens avoir donné ce genre d'exercice comme punition lorsque j'étais pion.

Mais il y eut un inconvénient majeur!

Une fois la solution connue, les étudiants enthousiasmés m'ont redemandé d'autres trucs comme celui-ci. Ce que j'ai fait, bien volontiers.

Bénéfice: j'avais gagné leur attention, et le calme dans l'étude et le dortoir … Et peut-être la naissance d'une vocation pour certains d'entre eux …

 

 

Nombre de points avec n lignes

 

 

La quantité maximale de points d'intersection obtenue avec dix lignes droites qui se croisent est égale à la somme des nombres de 1 à 9, soit 9 x 10 / 2 = 45.

 

Illustration avec la technique des fils tendus



Note: la programmation du dessin des fils tendus reste un excellent exercice d'entrainement pour débutant en programmation. Le rendu à l'écran est immédiatement gratifiant. Faciele à réaliser avec Scratch.

 

 

 

 

La "véritable" histoire à propos de Gauss

 

Histoire

Karl Friedrich Gauss (1777-1855) n'était pas un petit génie, mais un très grand génie. L'anecdote courante de la somme de 1 à 100 est une simplification que la légende a retenue. En fait, le problème posé par le professeur Büttner était nettement plus déroutant pour l'élève moyen.  Voici le problème originel posé pour avoir la paix dans la classe. Gauss avait bien 10 ans. Non seulement, il donne sa réponse immédiatement. Une heure se passe, lui les bras croisés et les autres continuant à calculer. Finalement, seule son ardoise montre le bon résultat.

 


Problème posé

Additionnez les cent nombres suivants:

81 297 + 81 495 + 81 693 + …

à chaque fois, il faut ajouter 198.

 

La réponse est 9 109 800.

Voir Calcul ci-dessous

 

 

Versions trouvées dans la littérature

Laquelle est la vraie? Mystère!

1 + 2 + … 100

176 + 195 + …+ 2057

5 192 + 5229 + … + 8792

81 297 + 81 495 + … + 100 899

 

 

 

 

Méthode de la progression arithmétique

 

S = a.n +  ½  r.n (n – 1)

S = 81 297 x 100 + ½ 198 x 100 x 99

    = 8 129 700 + 980 100

              = 9 109 800

Méthode du tableur

Inscrivez les deux premiers nombres en A1 et A2.

 

Sélectionnez ces deux cases et tirez la poignée en bas à droite jusqu'à la 100e ligne.

 

En ligne 101, faire la somme () de ces cent lignes.

 

La réponse est immédiate.

 

 

Méthode à la Gauss

 

Premier terme

Pour atteindre le 100e (99 intervalles)

Centième terme

Somme du 1er et du 100e

Cent fois cette somme

La moitié de cette double somme

 

81 297

99 x 198 = 19 602

100 899

182 196

1 8219 600

9 109 800

 

Anglais: Gauss Schoolroom Anecdote

 

Source: La vie secrète des nombres – Joaquim Navarro – Le monde est mathématique – 2013 – Pages 19 et 20

Voir Recueil de textes décrivant cette anecdote /  Statistiques sur citations de l'une ou l'autre des versions

 

Actualité de juillet 2017

Maryam Mirzakhani

Mathématicienne iranienne et médaille Fields, meurt à 40 ans, suite à un cancer du sein.

Elle s'est passionnée pour les maths grâce à son frère, qui lui a transmis un livre racontant l'histoire de Friedrich Gauss, qui permet de faire la somme des nombres entiers de 1 à 100.

 

 

Devinette – Solution

 

Prendre une pièce de la pile n°1, deux de la pile n°2, etc.

Soit 1 + 2 + 3 … + 10 = 55 pièces.

Si toutes les pièces étaient normales, elles pèseraient 55p (p le poids de la pièce normale).

Si la pile n°1 est fautive, la mesure de poids donnera 55p + 10g, si c'est la pile n°2, elle donnera 55p + 20g.

Le supplément de poids indique directement la pile fautive.

Retour

Voir Le sac de pièces

 

 

 

Démonstrations

 

Se référer aux liens suivants:

*    Somme de 1 à 100 = 5050 Méthode de calcul utilisée par Gauss enfant

*    Démonstration par calcul

*    Démonstration par récurrence

*    Somme des entiers, carrés, cubes … Démonstration

*    Quantité de traits (segments) dans un polygone

*    Quantité de régions dans un cercle avec n cordes

*    Somme 1 + 2 + 3 + … = 1/12 (?)

 

Voir utilisation dans les  Carrés Magiques

Voir Division des factorielles par la somme des entiers

 

 

 

 

 

Retour

*        Sommes des entiers – Approche

Suite

*        Somme des entiers: page 2/2

*        Sommes alternées des entiers

 

Suite

 

*        Progression arithmétique

*       Progression géométrique

*        Somme des entiers et autres

*        Sommes particulières de consécutifs

*        Somme des chiffres de 0 à 99

*        Énigme des deux œufs qui tombent

*        Énigme des 19 balles

Voir

*        Calcul des carrés

*        Calcul mental

*        Carrés Magiques

*       Énigme de l'entier manquant

*        Gauss

*        Initiation à l'addition

*        Jeux

*        Multiplications védiques

*        Nombre 5050

*        Nombres triangulaires

*        Progression Arithmétique

*        Quantité de segments dans un polygone

*        Sommes des entiers, carrés …

*        Théorie des nombres

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Calcul/Som1a100.htm