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Sommaire de cette page

>>> Camion en perdition

>>> La méthode de la fausse position

>>> Les trois rivières

>>> Les trois robinets

 

 

 

 

 

Problèmes de Robinets

 

Robinet%20col%20cygneProblèmes très classiques. Comment les résoudre par l'algèbre et les fractions ou plus simplement par la méthode de la fausse position?

 

Problèmes qui font peur.

Pourtant simple à résoudre en s'y prenant par le bon bout.

 

 

 

 

 

Pourquoi harcèle-t-on les enfants avec des problèmes de baignoires dont le robinet débite 56 litres à la minute tandis que ne s'écoulent que 6,7 décilitres à la seconde quand on sait pertinemment que dans la vie il suffit de fermer le robinet pour ne pas s'emmerder avec de l'eau qui déborde ?

Geluck enfonce le clou de Philippe Geluck

Voir Pensées & humour

 

 

Attention

Les problèmes de vitesses et de débits

n'ont pas de réponses immédiates

LE TRUC !

Il faut toujours repasser par une constante comme

la longueur à parcourir (Longueur = v.t)

ou un volume à remplir (Volume   = d.t).

Voir Problème de robinets résolu pas à pas

 

 

 

 

Camion en perdition – Fuite de gazole

 

Problème

Un camion part pour sa livraison à 8 h.

Il constate une consommation anormale de gazole à 10 h. Il ne lui reste plus que 20 litres.

Il décide de faire demi-tour, mais n'arrive pas à rejoindre son dépôt. À 10h 20 c'est la panne sèche.

Sa consommation est constante et la fuite est régulière.

Quel est la capacité du réservoir du camion?

 

 

Solution

Après demi-tour, la consommation et la fuite consomment le total des 20 litres qui restaient dans le réservoir, et cela en 20 minutes. Soit 1 litre par minute.

Durant la première partie du trajet qui dure 120 minutes, il consomme (moteur  + fuite): 120 x 1 = 120 litres.

La capacité du réservoir, égale à la totalité de la consommation, vaut:

C = 20 + 120 = 140 litres.

 

 

 

La méthode de la fausse position

 

Problème

Une cuve et trois robinets. Avec le Gros robinet la cuve se vide en 1 heure; avec le Moyen en 2 heures et avec le Petit, il faut 5 heures. Les trois robinets sont ouverts, combien de temps faudra-t-il pour viser la cuve?

 


La méthode de la fausse position consiste à deviner la réponse, même si elle est fausse. Le raisonnement permettra de corriger. Cette méthode était couramment utilisée avant le développement de l'algèbre.

Méthode classique

Méthode de la fausse position

 

V = volume de la cuve.

G, M, P = débits des robinets.

T = durée de vidange de la cuve avec les trois robinets ouverts.

 

 

 

 

Soit 0,588 x 60 = 35,29 minutes

                          = 35 min 17,64 s

 

 

Hypothèse (fausse sans doute): T = 10 h

 

Avec G, la cuve se viderait 10 fois;

Avec M, elle se viderait         5 fois;

Avec P, ce serait                    2 fois.

 

Avec les trois, en 10 h,

elle se viderait      17 fois.

 

Règle de trois:

Elle se vide en 10/17 heures.

Voir Fractions / Poids du tonneau

 

 

 

Les trois rivières

 

Problème

 

Un étang est alimenté par trois rivières R1, R2 et R3.

Combien de temps faut-il aux trois rivières pour remplir l'étang?.

 

 

 

 

Seule, chaque rivière remplirait l'étang en:

R1 => 1 jour

R2 => 2 jours

R3 => 3 jours

 

Solution 

 

La valeur constante ici est le volume du bassin.

Ce qui est spécifique c'est le débit de chaque rivière et la durée du remplissage.

 

Si le débit de la première rivière était de 1 m3 par heure

Sur une durée de 1 jour (24h), il s'écoule 24 m3

qui serait la contenance (le volume) de l'étang.

Autrement dit la formule est bien:

V = d x T  (Volume = débit x temps)

 

Si deux rivières coulent ensemble, l'une avec un débit de 1 m3 par heure et l'autre 2 m3 par heure. Au bout d'une heure, ensemble elles auront versées 1 + 2 = 3 m3 d'eau, soit un débit équivalent à 3 m3  par heure. Les débits s'ajoutent:

V = (d1 + d2) x T

 

 

Formule appliquée dans les trois cas connus:

 

 

et pour celui inconnu, pour lequel les trois rivières sont en action.

 

V = d1 x 1 jour

V = d2 x 2

V = d3 x 3

 

V = (d1 + d2 + d3) x T

 

Des trois premières équations, tirons la valeur du débit.

 

 

Que nous plaçons dans la quatrième équation.

Et après simplification par V.

 

 

Afin d'obtenir la durée demandée:

d1 = V / 1

d2 = V / 2

d3 = V / 3

 

 

V = V (1/1 +1/2 + 1/3) T

 

1 =  1  (6/6 + 3/6 + 2/6) T

1  = 11 / 6  x  T

 

T = 6 / 11 jour ≈ 13,1 heures

 

 

 

Méthode de la fausse position

Hypothèse: 6 jours

Avec R1, l'étang est rempli 6 fois

Avec R2, l'étang est rempli 3 fois

Avec R3, l'étang est rempli 2 fois

Avec les trois, 11 fois en 6 jours

Soit une fois en 6/11 jour

 

Problème connu des anciens mathématiciens arabes

 

 

Les trois robinets

Problème

 

Trois robinets et une cuve.

Combien de temps pour remplir la cuve avec les trois à la fois?

 

 

 

On remplit la cuve

en 1h 12 avec le gros et le moyen robinets (72 minutes)

en 1h 30 avec le gros et le petit, et

en 2h       avec le moyen et le petit.

 

 

Méthode de la fausse position

 

Compte-tenu des trois nombres (72, 90 et 120 minutes), on imagine que la réponse est 360 minutes, le PGCD des trois nombres:

Rappel: on conserve tous les facteurs et on leur attribue l'exposant le plus élevé de tous.

 

Alors en 320 minutes:

G + M remplissent la cuve 5 fois (5 x   72 = 360);

G + P remplissent la cuve  4 fois (4 x   90 = 360);

M + P remplissent la cuve  3 fois (3 x 120 = 360);

Total de ces débits:

2 (G + M + P) 12 fois la cuve en 360 minutes

Les trois remplissent la cuve en

360 / (2 x12) = 60 min.

 

 

 

Solution classique

V = D . T

 

V = (D1 + D2)   72

V = (D1 + D3)   90

V = (D2 + D3) 120

=> D1 + D2 = D.T /   72  (en minutes)

=> D1 + D3 = D.T /   90

=> D2 + D3 = D.T / 120

Calcul 

 

 

2(D1 + D2 + D3) = D.T  (1/72 + 1/90 + 1/120)

2           D              = D.T          (1/30)

 

T =  60 min

 

 

La réponse est 1 heure. Pas évident tout de suite! Le calcul est un peu long.

 

 

Calcul détaillé de la somme des fractions

 

1

+

1

+

1

72

90

120

 

1

+

1

+

1

6 x 12

6 x 15

6 x 20

 

15 x 20

+

12 x 20

+

12 x 15

6 x 12 x 15 x 20

6 x 12 x 15 x 20

6 x 12 x 15 x 20

 

On remarque que 3 divise tous les numérateurs, de même que 4 et 5.

Les numérateurs sont divisibles par 3 x 4 x 5 = 60.

Ayant été mis au même dénominateur, on peut les ajouter.

 

60 (5 x 1   +    4 x 1   +   3 x 1)

6 x 12 x 15 x 20

 

10 (12)

1 x 12 x 15 x 20

 

1

15 x 2

 

1

30

 

Note: on aurait pu calculer le plus grand commun diviseur (PGCD).

 

PGCD (72, 90, 120)

       72 = 2 x 2 x 2 x 3  x 3

       90 = 2             x 3       x 5

     120 = 2 x 2 x 2 x 3       x 5

PGCD =  2            x 3

 

Pour simplifier les fractions par 6 directement.
(tout en conservant 6 en facteur pour le calcul final).

 

1

+

1

+

1

12

15

20

 

Dans ce cas, on observe que le gain de temps de calcul n'est pas notable.

 

 

 

 

 

 

 

 

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