NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

Accueil / Dictionnaire / Rubriques / Index / Atlas / Références / Nouveautés

ORIENTATION GÉNÉRALE  - M'écrire - Édition du: 14/01/2012

RUBRIQUE VITESSE

Débutants

Vitesse

ROBINETS

Glossaire

Vitesse

Problèmes qui font peur Pourtant simple à résoudre en s'y prenant par le bon bout

Sommaire de cette page >>> LES TROIS RIVIÈRES >>> LES TROIS ROBINETS

Attention

Les problèmes de vitesses et de débits

n'ont pas de réponses immédiates

LE TRUC !

Il faut toujours repasser par une constante comme

la longueur à parcourir (Longueur = v.t)

ou un volume à remplir (Volume = d.t).

Voir Problème de robinets résolu pas à pas

---

Les trois rivières
Problème Un étang est alimenté par trois rivières R1, R2 et R3 Combien de temps faut-il aux trois rivières pour remplir l'étang?	Seule, chaque rivière remplirait l'étang en R1 => 1 jour R2 => 2 jours R3 => 3 jours
Solution La valeur constante ici est le volume du bassin Ce qui est spécifique c'est le débit de chaque rivière et la durée du remplissage Si le débit de la première rivière était de 1 m^3 par heure Sur une durée de 1 jour (24h), il s'écoule 24 m^3 qui serait la contenance (le volume) de l'étang Autrement dit la formule est bien V = d x T (Volume = débit x temps) Si deux rivières coulent ensemble, l'une avec un débit de 1 m^3 par heure et l'autre 2 m^3 par heure. Au bout d'une heure, ensemble elles auront versées 1 + 2 = 3 m^3 d'eau, soit un débit équivalent à 3 m^3 par heure. Les débits s'ajoutent V = (d1 + d2) x T
Formule appliquée dans les trois cas connus et pour celui inconnu, pour lequel les trois rivières sont en action	V = d1 x 1 jour V = d2 x 2 V = d3 x 3 V = (d1 + d2 + d3) x T
Des trois premières équations, tirons la valeur du débit Que nous plaçons dans la quatrième équation Et après simplification par V Afin d'obtenir la durée demandée	d1 = V / 1 d2 = V / 2 d3 = V / 3 V = V (1/1 +1/2 + 1/3) T 1 = 1 (6/6 + 3/6 + 2/6) T 1 = 11 / 6 x T T = 6 / 11 jour ≈ 13,1 heures

Problème connu des anciens mathématiciens arabes

Les trois robinets

Problème

Trois robinets et une cuve.

Combien de temps pour remplir la cuve avec les trois à la fois?

On remplit la cuve

en 1h 12 avec le gros et le moyen robinets (72 minutes)

en 1h 30 avec le gros et le petit, et

en 2h avec le moyen et le petit

Solution

V = D . T
V = (D1 + D2) 72 V = (D1 + D3) 90 V = (D2 + D3) 120	=> D1 + D2 = D.T / 72 (en minutes) => D1 + D3 = D.T / 90 => D2 + D3 = D.T / 120
calcul	2(D1 + D2 + D3) = D.T (1/72 + 1/90 + 1/120) 2 D = D.T (1/30) T = 60 min

La réponse est 1 heure

Pas évident tout de suite! Le calcul est un peu long.

Calcul détaillé de la somme des fractions

1	+	1	+	1
72		90		120

1	+	1	+	1
6 x 12		6 x 15		6 x 20

15 x 20	+	12 x 20	+	12 x 15
6 x 12 x 15 x 20		6 x 12 x 15 x 20		6 x 12 x 15 x 20

On remarque que 3 divise tous les numérateurs, de même que 4 et 5

Les numérateurs sont divisibles par 3 x 4 x 5 = 60

Ayant été mis au même dénominateur, on peut les ajouter

60 (5 x 1 + 4 x 1 + 3 x 1)

6 x 12 x 15 x 20

10 (12)

1 x 12 x 15 x 20

1

15 x 2

1

30

Note: on aurait pu calculer le plus grand commun diviseur (PGCD)

PGCD (72, 90, 120)

72 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3

90 = 2 x 3 x 5

120 = 2 x 2 x 2 x 3 x 5

PGCD = 2 x 3

Pour simplifier les fractions par 6 directement
(tout en conservant 6 en facteur pour le calcul final)

1	+	1	+	1
12		15		20

Dans ce cas, on observe que le gain de temps de calcul n'est pas notable

---

Voir	Vitesse et trains Vitesse – Glossaire Tonneau
Aussi	Calculs Problèmes divers Jeux Vitesses Récipients Nombre 60