NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Logique

Rubrique  LOGIQUE

Glossaire

Logique

 

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Débutants

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Théorie des ensembles

Historique

Logique de Boole

Logique des propositions

 

Sommaire de cette page

>>> La sécurité, c'est logique

>>> L'ascenseur, c'est logique (ET)

>>> Coucou (OU)

>>> Mais NON

>>> La logique de tous les jours

>>> les deux, mon général!

 

 

 

 

 

LOGIQUE – Spécial Débutants

 

Comment commencer en logique?

Comprendre les bases.

 

 

 

 

La sécurité, c'est logique

 

*      Dans une usine, la presse à emboutir est dangereuse pour les doigts. La presse ne doit être actionnée que lorsque que la pièce à emboutir est positionnée et que l'ouvrier a bien retiré ses mains de dessous la mâchoire.

*      Pour cela, un dispositif de sécurité est mis en place. Il s'agit de deux interrupteurs électriques. les deux doivent être actionnés en même temps pour que la presse fonctionne. Les mains, chacune sur un interrupteur, sont alors hors de danger.

 

*      Voici un exemple de circuit logique qui traduit la condition: les deux interrupteurs à la fois.

*     Un moteur électrique sert à actionner la presse. Il est branché sur une alimentation secteur. Le circuit est coupé par deux interrupteurs toujours en positon ouverte.

*     Chacun des interrupteurs ne passe en position fermée, et permet alors le passage du courant, que si le poussoir est enfoncé.

*     Aussitôt la main retirée du poussoir, l'interrupteur repasse en positon ouverte.

*     De sorte que le moteur ne peut fonctionner que si chacune des mains est sur son poussoir, à l'abri de la mâchoire de la presse.

 

Une presse

presse -a-col-de-cygne corrige.jpg

Les poignées jaunes de cette presse doivent être actionnées toutes les deux à la fois pour que la presse fonctionne;

La droite ET la gauche

La poignée rouge en avant et un arrêt d'urgence de l'ensemble de l'installation.

 

Circuit de sécurité

 

Le moteur ne marche que si les deux poussoirs sont enfoncés en même temps.

 

Nous retenons

L'un ET l'autre

(c'est-à-dire: Les deux à la fois)

Les deux interrupteurs doivent être fermés pour que le courant passe.

 

 

 

L'ascenseur, il  ET EST logique

 

*      L'ascenseur est au niveau du premier étage. Je suis au rez-de-chaussée et j'appelle l'ascenseur.
Bien entendu il doit descendre dès que j'appuie sur le bouton d'appel du rez-de-chaussée.

*      Comment traduire cela logiquement ?

 

*     Lorsque j'appuie sur le bouton d'appel du RdeC, un signal électrique est émis: nous le baptisons: "Appel du RdeC".

*     Ascenseur qui se trouve au premier étage active un détecteur (cellule photoélectrique, par exemple) qui émet un signal que nous baptisons: "Ascenseur au 1er".

*     Chacun des deux signaux agit comme nos boutons-poussoirs et permettent l'alimentation du signal de commande du moteur dans le sens de la descente.

 

*        En logique, nous représentons cette fonction par un symbole en demi-cercle. Il témoigne de la fonction ET.

 

*        Nous pouvons aussi recenser tous les cas possibles et en faire un tableau, dit table de vérité.

 

*        Il y a quatre cas possible:

*     Ascenseur au 1er et l'ascenseur est appelé au RdeC => commande du moteur pour descendre.

*     Ascenseur au 1er et personne n'appelle => pas de commande.

*     Ascenseur pas au 1er ( donc au RdeC*) et quelqu'un appelle => pas de commande, il est déjà là.

*     Ascenseur pas au 1er et personne n'appelle => pas de commande.

Ascenseur à l'étage

 

L'ascenseur doit descendre pour me rejoindre

 

 

Commande logique

 

 

Le demi-cercle est le symbole de la fonction ET

 

Table de vérité: liste de tous les cas possibles.

 

Ascenseur au 1er

Appel du RdeC

Commande descendre

OUI

OUI

OUI

OUI

Non

Non

Non

OUI

Non

Non

Non

Non

 

Il est commode de remplacer le OUI par 1 et le Non par 0

 

* On suppose que cette maison ne compte que deux niveaux: le RdeC et le 1er .

Suite Logique des ascenseurs (juniors)

 

 

 

COUCOU

 

*      L'immeuble comporte maintenant deux étages. Comment faire?

Ajouter le signal témoignant que l'ascenseur est au 2e.

*      Dressons la table de vérité.

*     Notez que l'ascenseur ne peut pas être au 1er et au 2e à la fois.

*     Pour que la commande du moteur soit activée il faut remplir la condition suivante: il y a un appel et l'ascenseur est soit au 1er soit au 2e .

 

*      Traduisons cela en schéma logique en introduisant le symbole de la fonction OU.

 

Si l'ascenseur est au 1er (A1) ou s'il est au 2e (A2) et s'il y a un appel du RdeC, alors lancer la commande du moteur.

*      Et, voici notre première relation logique combinant plusieurs fonctions. Les fonctions ET et OU sont appelés des connecteurs (ou opérateurs), et sur le schéma logique, on parle de portes logiques.

 

Table de vérité

 

Ascenseur

 au 1er

Ascenseur

 au 2e

Appel du

 RdeC

Commande

 descendre

1

1

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

1

1

0

/

1

1

1

0

1

0

1

1

0

1

1

1

1

1

1

/

 

 

 

 

Commande logique

 

 

 

Commande = (A1 OU A2) ET (Appel)

 

 

 

Mais non!

 

*      Plutôt que de dire: l'ascenseur est au 1er, ou au 2e ou au 3e …, il serait préférable de dire: l'ascenseur n'est pas dans les étages, il est déjà au RdeC. C'est plus simple, non?

Comment traduire cela?

*      Le moteur doit être commandé si l'ascenseur n'est pas au RdeC (0) et s'il y a un appel (1).

Le connecteur NON inverse les choses: sa sortie est à 1 si son entrée est à 0 et inversement.

Si l'ascenseur est aux étages, le signal "ascenseur au RdeC" (RdeC) est à 0; derrière la porte NON, il est à 1. Lorsque le signal d'appel est lui-aussi à 1, alors le signal derrière la porte ET est à 1, et le moteur est commandé.

 

Table de vérité

 

Ascenseur

 au RdeC

Appel du

 RdeC

Commande

 descendre

1

1

0

1

0

0

0

1

1

0

0

0

 

 

Commande logique

 

 

Commande = (Non RdeC) ET (Appel)

 

 

Nous retenons

Nous venons de rencontrer trois opérateurs (connecteurs ou portes) logiques:

-      le Non inverse les choses;

-      le ET exprime l'un et l'autre; et

-      le OU signifie l'un ou l'autre.

Leurs combinaisons permettent d'exprimer toutes les fonctions logiques rencontrées dans l'ascenseur comme dans de nombreuses autres applications, comme l'ordinateur.

Et aussi pour raisonner en français de tous les jours …

 

 

 

La logique de tous les jours

 

Mon premier raisonnement

 

*      La nuit tous les chats sont gris.            Je considère que c'est vrai.

*      Je possède moi-même un chat.          Sans doute vrai (si je sais ce que je dis).

*      La nuit, mon chat est gris.                    Déduction que je fais aisément.

 

*      Mon chat est comme tous les autres, la nuit, il sera gris; si tant est que la première phrase soit juste.

Or, au pied d'un lampadaire allumé, le chat roux ne sera pas gris. Il faudrait être plus précis et dire: la nuit, par faible clair de lune et aucune autre lumière, tous les chats sont gris. Alors, la nuit, par faible clair de lune et aucune autre lumière, mon chat est gris.
Mais, laissons de côté de telles arguties à ce stade des explications.

 

*      Nous venons de mener un raisonnement logique.

*      Essayons de le visualiser en dessinant des domaines, chacun représentant un ensemble de choses.

*     Parmi les choses grises, il y a tous les chats; mais pas que les chats. C'est pourquoi le domaine chat est inclus dans le domaine des choses grises.

*     Mon chat est un chat parmi les autres, il est à l'intérieur du domaine des chats

*        Cette représentation montre clairement que mon chat est dans le domaine du gris.

Diagramme montrant les ensembles et leur imbrication

 

Tous les chats sont gris la nuit; mon chat est gris la nuit

 

 

 

Les deux mon général

 

* En 2010, la révolution des écrans plats est largement avancée, mais ceux qui possèdent encore un écran cathodique classique sont encore très nombreux.

*      Il est fort à parier que certains possèdent même les deux: écran cathodique ET écran plat.

*      Le diagramme ci-contre montre la situation. Vous observez que tous ceux qui possèdent les deux sont situés dans un espace qui est l'intersection des deux domaines.

*      Notez également que tous ceux qui possèdent une télé à écran cathodique OU à écran plat sont représentés par toute la zone colorée du diagramme: l'union des deux domaines.

*      On retrouve les notions de ET et de OU que nous avons vues ci-dessus.

 

Diagramme

 

 

Ceux qui possèdent les deux écrans:

     Intersection de deux ensembles

 

Ceux qui possèdent un écran:

     Réunion de deux ensembles

 

Devinette

Nous connaissons 100 personnes qui ont des téléviseurs. Parmi elles 70 ont un écran plat et 50 ont un écran cathodique. Combien possèdent les deux?

Réponse: 70 + 50 = 120, or ils ne sont que 100. Donc, 20 possèdent à la fois le cathodique et le plat.

 

 

 

Nous retenons

La logique classique s'applique aussi bien à la représentation de fonctions logiques à la base de la réalisation de l'électronique numérique et de l'informatique.

La logique s'applique aussi au raisonnement habituel en français, dit calcul des propositions.

L'algèbre booléenne (ou de Boole) est une abstraction mathématique, outil qui s'applique à de nombreux domaines dont la théorie des ensembles et la logique propositionnelle.

 

 

 

 

 

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